1、微型培優(yōu)專題課(三) 巧用基本圖形,證明三角形全等,基本圖形是最常見、最簡單的幾何圖形,但它往往具有非常重要的性質.證幾何題時,我們一要善于從較復雜的圖形中分解出基本圖形,二是會根據(jù)圖形特征添加輔助線構造出基本圖形,進而利用基本圖形的性質使問題獲證.下面我們介紹有關全等三角形的基本圖形,供同學們復習參考.,一、角平分線+翻折全等三角形 【知識點睛】如圖,OZ平分XOY,A,B分別為 射線OX,OZ上的點,將AOB繞角平分線OZ翻 折,點A落在OY上的A點(添加輔助線時,敘述 為“在OY上取A,使OA=OA”). 在AOB與AOB中,OA=OA,AOB=AOB,OB=OB, AOBAOB.,【培

2、優(yōu)訓練】 1.如圖,在ABC中,C=2B,AD是ABC的角平分線,1=B.求證:AB=AC+CD.,【解題指南】發(fā)現(xiàn)圖中ACD與AED全等是解題的關鍵. 【證明】1=B,AED=2B,DE=BE, C=AED. 在ACD和AED中, CAD=EAD,AD=AD,C=AED, ACDAED.AC=AE,CD=DE,CD=BE. AB=AE+EB=AC+CD.,【方法技巧】發(fā)現(xiàn)圖中的基本圖形 沿角平分線翻折得到全等三角形.因此,當題目條件中給出角平分線時,就可以借助角平分線構造出全等三角形,從而得到相等的線段或相等的角.,2.如圖,在四邊形ABCD中,A+C=180, BD平分ABC.求證:DC=

3、AD. 【解題指南】借助角平分線這個平臺,構造全等三角形.在BC上截取BE=BA,根據(jù)已知條件證明BADBED,所以DA=DE,再證DE=DC,即可得證.,【證明】在BC上截取BE=BA,連接DE.BD平分ABC, ABD=EBD. 在BAD和BED中, BA=BE,ABD=EBD,BD=BD, BADBED(SAS),DA=DE,A=BED. BED+DEC=180,A+C=180, C=DEC,DE=DC,DC=AD.,【變式訓練】如圖,已知APBC,PAB的平分 線與CBA的平分線相交于點E,CE交AP于點D. 求證:AD+BC=AB. 【證明】在AB上截取AF=AD,連接EF. AE平

4、分PAB, DAE=FAE. 在DAE和FAE中, AD=AF,DAE=FAE,AE=AE,DAEFAE(SAS),AFE=ADE. ADBC,ADE+C=180. AFE+EFB=180,EFB=C. BE平分ABC,EBF=EBC. 在BEF和BEC中,EFB=C,EBF=EBC,BE=BE, BEFBEC(AAS),BC=BF, AD+BC=AF+BF=AB.,二、中線+加倍延長全等三角形 【知識點睛】1.如圖所示,延長AD至點E, 使DE=AD,連接EC. AD為ABC的中線, BD=CD. 在ABD和CED中, BD=CD,ADB=EDC,AD=ED,ABDECD(SAS).,2.如

5、圖,已知AD是ABC的中線,分別過點B,C作BEAD于點E,CFAD交AD的延長線于點F. AD是ABC的中線,BD=CD. BEAD,CFAD,BED=CFD=90. 又BDE=CDF,BDECDF. 這一基本圖形稱為間接“中線+加倍延長全等三角形”,在幾何證明中,也相當有用.,【培優(yōu)訓練】 3.已知:如圖,AD是ABC的中線,點E在AD上, BE=AC,延長BE交AC于點F,求證:AF=EF. 【證明】如圖,延長AD至M,使DM=AD,連接BM. AD是ABC的中線,BD=CD.,在ACD和MBD中, AD=DM,ADC=MDB,CD=BD, ACDMBD(SAS), CAD=M,AC=B

6、M. BE=AC,BM=BE, M=BEM,BEM=CAD. BEM=AEF,AEF=CAD, AF=EF.,4.如圖,AD是ABC的中線,點E在BC的延長線上,CE=AB,BAC=BCA. 求證:AE=2AD. 【證明】延長AD至點M,使DM=AD. AD是ABC的中線,DB=CD. 在ABD和MDC中, BD=CD,ADB=MDC,AD=DM,ABDMCD(SAS), AB=MC,B=MCD. AB=CE,CM=CE. BAC=BCA,B+BAC=ACB+MCD, 即ACE=ACM.在ACE和ACM中, AC=AC,ACM=ACE,CM=CE, ACMACE(SAS),AM=AE. AM=2AD,AE=2AD.,三、平移、旋轉全等三角形 【知識點睛】1.平移型全等三角形 如圖所示,B=E,AB=DE,當A=D或 ACB=DFE或BC=EF時,ABCDEF. 這里的DEF可以看作是ABC平移得到的.因此,稱這一基本圖形為平移型全等三角形.,2.旋轉型全等三角形 如圖所示,在ABC和ADE中,AB=AD, BAC=DAE,AC=AE, ABCADE(SAS). 這里的ADE可以看作是ABC繞點A旋轉得到的.因此,稱這一基本圖形為旋轉型全等三角形.,【培優(yōu)訓練】 5.如圖,已知A=F,ABEF,B