1、2010年中國礦業(yè)大學(xué)（北京）第三屆數(shù)學(xué)建模競賽 承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國礦業(yè)大學(xué)（北京）數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號為

2、： 26 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：姓名_學(xué)號_參賽院系_姓名_學(xué)號_參賽院系_ 姓名_學(xué)號_參賽院系_ 日期： 2010 年 5 月 23日未找到目錄項(xiàng)。2010年中國礦業(yè)大學(xué)（北京）第三屆數(shù)學(xué)建模競賽 評 閱 頁評閱人評分評語總分： 獎(jiǎng)項(xiàng)： 客房預(yù)定的價(jià)格和數(shù)量問題摘要 本文通過綜合分析賓館的月平均價(jià)格和對賓館定價(jià)進(jìn)行研究，且根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)學(xué)知識、賓館管理策略等方面，對經(jīng)濟(jì)的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行假設(shè)，進(jìn)而建立一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型。 對于第一個(gè)問題，酒店給出了2005年到2010年的標(biāo)準(zhǔn)間月均價(jià)格，對于這么多的數(shù)據(jù)，初看雜亂無章，但目前要進(jìn)行一個(gè)有條理，有邏輯的處理，這是一個(gè)非常冗雜的過程。對此

3、，我們借助于MATLAB軟件和EXCEL軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，把處理后的數(shù)據(jù)在進(jìn)行分析。在這個(gè)過程中，我們首先借助EXCEL繪出每一年的月均變化規(guī)律，然后觀察曲線的走勢，把2006-2009年這四年的圖像進(jìn)行比較，初步確立每一年的變化情況，初步假設(shè)函數(shù)關(guān)系。在這之后，再用MATLAB軟件，進(jìn)行描點(diǎn)、繪圖、最后擬合函數(shù)，把擬合出來的函數(shù)和最初假設(shè)的進(jìn)行比較，綜合分析，再結(jié)合實(shí)際經(jīng)濟(jì)發(fā)展的狀況，確立初數(shù)學(xué)模型。在分析之后所建立的數(shù)學(xué)模型中，我們根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)中國近幾年經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長，據(jù)此，我們在有效數(shù)據(jù)分析中舍棄了2006年和2007年的數(shù)據(jù)，然后用具有可比性的2008年和2009年的數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)的求

4、解。在求解過程中，為使函數(shù)精確，我們又采取了分段求解的方法，并且對于某些月份價(jià)格的突變進(jìn)行單獨(dú)的求解。最后用擬合出來的函數(shù)算出預(yù)測值，再把這些值和實(shí)際2010年的真實(shí)值進(jìn)行比較，求出相對誤差。除此之外，為驗(yàn)證預(yù)測數(shù)據(jù)的可靠性，我們求出每年的最高值和最低值之差（每一年的值基本不變），然后與我們預(yù)測數(shù)據(jù)的最高值和最低值經(jīng)行比較，從而驗(yàn)證模型建立函數(shù)求解的可靠。對于問題二,我們先將模型中涉及的各個(gè)量設(shè)為變量，通過求解客房利潤的數(shù)學(xué)期望，將利潤期望值和客房費(fèi)用之差最為衡量客房盈利狀況的指標(biāo)，同時(shí)將確定被擠掉客人數(shù)量的的概率作為信譽(yù)損失的大小，再通過市場調(diào)查，確定賓館收支平衡客房的入住率，模型建立完成后

5、再根據(jù)現(xiàn)狀設(shè)定其中的變量，然后將假定的預(yù)訂房間數(shù)帶入模型，由利潤及信譽(yù)損失大小確定假定值是否合適，最后即得各類客房預(yù)訂數(shù)?？头款A(yù)定價(jià)格和數(shù)量之建模求解一、問題重述本問題是一個(gè)賓館客房預(yù)訂的價(jià)格和數(shù)量的合理安排的問題。由于客房通過電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定的不確定性很大，客戶很可能由于各種原因取消預(yù)定。為此，賓館采用一些措施。首先，要求客房提供信用卡號，預(yù)付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動(dòng)價(jià)格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價(jià)格，一般來說旅游旺季價(jià)格比較高，淡季價(jià)格略低。在旅游旺季，賓館往往可以預(yù)定出超過實(shí)際套數(shù)的客房數(shù), 以減低客戶取消預(yù)定

6、時(shí)賓館的損失，但是萬一屆時(shí)有超出客房數(shù)的客戶出現(xiàn), 賓館要通過升級客房檔次或賠款來解決糾紛, 為此賓館還會(huì)承擔(dān)信譽(yù)風(fēng)險(xiǎn)。表中列出了2005年10月2010年3月期間，每月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格。我們的任務(wù)就是建立模型說明價(jià)格變動(dòng)的規(guī)律，并據(jù)此估計(jì)未來一年內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)房參考價(jià)格，并未賓館制定合理的預(yù)定策略。二、問題分析顧客通過電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定客房，預(yù)定具有很大的不確定性因數(shù)，由于要求一個(gè)良好的信用問題和一個(gè)高質(zhì)量的服務(wù)態(tài)度，不可能對訂房顧客進(jìn)行收費(fèi)，但如果不收取費(fèi)用，必然會(huì)遇到定了房卻又不來的情況，這樣便會(huì)使得后訂房的顧客沒有機(jī)會(huì)訂房，而且賓館住房沒有人住，收益下降的問題。一方面要爭取客戶，另一方面要降低客

7、戶取消預(yù)定遭受的損失。對此，酒店采取了半收費(fèi)得方法，即：首先，要求訂房客房提供信用卡號，預(yù)付一定的房租作為保險(xiǎn)定金。如果客戶在前一天中午以前取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收，作為取消訂房給酒店帶來損失的補(bǔ)償。其次，賓館采用變動(dòng)價(jià)格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價(jià)格，一般來說旅游旺季價(jià)格比較高，淡季價(jià)格略低。針對動(dòng)態(tài)價(jià)格這個(gè)問題，如果動(dòng)態(tài)定價(jià)的話，就需要一個(gè)預(yù)定動(dòng)態(tài)價(jià)格的依據(jù)。目前，這個(gè)酒店給我們提供了近幾年的月份價(jià)格走向，我們可以通過對這個(gè)價(jià)格走向的動(dòng)態(tài)分析。但由于實(shí)際情況的偶然性，表中的某些數(shù)據(jù)需要進(jìn)行處理，比如2006年和2007年的數(shù)據(jù)距現(xiàn)在的時(shí)間已經(jīng)比較長了，在這個(gè)日新月異的社會(huì)中，

8、這兩年的數(shù)據(jù)參考性價(jià)值就應(yīng)該低于2008年和2009年的。用MATLAB和excel等軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并得出一定的規(guī)律，然后預(yù)測出今后一年或幾年的價(jià)格。對于問題二，從客房利潤來考慮，由于客房利潤是隨機(jī)變量，這時(shí)就需要用數(shù)學(xué)期望來考察。從客房盈利狀況和被擠掉客人數(shù)量的概率來制定合理的預(yù)定策略。三 、模型假設(shè)（1）國家法定節(jié)假日等影響旅游淡季旺季的因素不變，即每年的旅游淡季旺季不變；（2）每年相同時(shí)期旅客人數(shù)基本相同，每年旅客變化趨勢基本相同；（3） 國家總體經(jīng)濟(jì)環(huán)境呈平穩(wěn)上升趨勢，物價(jià)水平平穩(wěn)上升，人民幣幣值基本 ， 不變；（4）表中數(shù)據(jù)均為真實(shí)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)；（5）酒店服務(wù)質(zhì)量與酒店信譽(yù)基本不變

9、；（6）酒店標(biāo)準(zhǔn)間每年最高定價(jià)呈線性關(guān)系；（7）政府和行業(yè)組織的價(jià)格約束不變；（8）無社會(huì)、政治形勢影響客源及經(jīng)營費(fèi)用；（9）行業(yè)競爭不變即當(dāng)?shù)鼐频陻?shù)量無較大變化；（10）取消預(yù)訂賓館的客戶在所有預(yù)定客戶中所占比例基本不變；（11）已訂票客人按時(shí)入住預(yù)訂客房是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件；（12）設(shè)f為為酒店客房一天的管理費(fèi)用，且旅客是否入住對f影響不大；（13）假設(shè)房間種類預(yù)定之間沒有聯(lián)系。四、模型建立、求解與驗(yàn)證問題一 ：1. 模型建立作出2005年10月到2010年3月標(biāo)準(zhǔn)間月平均價(jià)格統(tǒng)計(jì)折線圖：圖（1）為提高所取數(shù)據(jù)精確度，取各年內(nèi)兩個(gè)最高（最低）預(yù)定價(jià)格的平均值作為相應(yīng)年份的最高（最低）預(yù)定價(jià)

10、格，將所有數(shù)據(jù)輸入Excel,并得到最高（最低）預(yù)定價(jià)格變化曲線圖，如下：圖（2）圖（3）觀察圖（1），易得結(jié)論：賓館各年標(biāo)準(zhǔn)間預(yù)定價(jià)格變化曲線大體相同，即各年內(nèi)價(jià)格變化的規(guī)律是基本相同的。圖（2）、（3）表明標(biāo)準(zhǔn)間預(yù)定價(jià)格最大值、最小值成整體上升趨勢而各年兩者之差又基本不變，即價(jià)格為隨年份穩(wěn)步上升，這進(jìn)一步證明了各年價(jià)格變化規(guī)律相同的結(jié)論。由客觀規(guī)律知，一年內(nèi)旅游淡旺季變化走勢有較大變化，不同時(shí)間段賓館預(yù)定價(jià)格變化趨勢因淡旺季的變化而大有不同，故此處宜將變化趨勢不同的部分獨(dú)立開來，以求的更加精確的曲線函數(shù)。觀察20062009年標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)變化曲線可知，每年15月基本呈線性變化，后七個(gè)月（去掉

11、九月）呈拋物線走勢即曲線函數(shù)應(yīng)為二次函數(shù)，對于九月，因其變化與后七個(gè)月的整體變化趨勢相差較大，故為提高精確度應(yīng)將其挑出單獨(dú)研究，現(xiàn)將20062009定價(jià)趨勢圖拆分如下：觀察以上四圖，可知2006、2007兩年標(biāo)準(zhǔn)間變化規(guī)律基本相同，2008、2009兩年標(biāo)準(zhǔn)間變化規(guī)律基本相同。而根據(jù)客觀規(guī)律，2010年標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)走勢應(yīng)與較近的年份即2008、2009年較接近，故為了使模型更準(zhǔn)確，此處應(yīng)選取2008、2009年的價(jià)格走勢作為模型建立的根據(jù)。再觀察2008、2009年價(jià)格走勢圖，可發(fā)現(xiàn)每年前五月呈線性變化；后七個(gè)月（去掉九月）呈拋物線走勢即曲線函數(shù)應(yīng)為二次函數(shù)，對于九月，因其變化與后七個(gè)月的整體變

12、化趨勢相差較大，故為提高精確度應(yīng)將其挑出單獨(dú)研究。綜合以上分析，設(shè)：2008年15月定價(jià)趨勢線為 2009年15月定價(jià)趨勢線為 2010年15月定價(jià)趨勢線為 2008年612月定價(jià)趨勢線為 2009年612月定價(jià)趨勢線為 2010年612月定價(jià)趨勢線為 2010年九月的定價(jià)為 Z（其中y、Y表示月份標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)，t表示相應(yīng)月份數(shù)）2.模型求解2.1、一到五月份的求解將2008年和2009年1-5月定價(jià)用Matlab分別做出變化曲線，并擬合函數(shù)如下：2008年1-5月：2008年1-5月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線圖由Matlab程序可得（Matlab程序見附件程序1）： a2008= 27.2000 b2

13、008=346.0000即程序擬合函數(shù)為：y2008= 27.2000t+346.00002009年1-5月：2009年1-5月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線圖由Matlab程序可得（Matlab程序見附件程序2）： a2009=29.0000 b2009=364.4000即程序擬合函數(shù)為：y2009= 29.0000 t+364.4000把2008年和2009年1-5月圖形用MATLAB合在一起，如圖：2008年和2009年1-5月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線合圖由圖形可知：2008年和2009年1-5月份的價(jià)格都近似成一條直線，斜率近似相等，且2009年均比2008年高一個(gè)近似相等的常數(shù)，這恰好吻合模型假設(shè)的經(jīng)

14、濟(jì)穩(wěn)步增長假設(shè)。因?yàn)樽兓厔菹嗤?，可?010年1-5月的變化曲線斜率應(yīng)該和前兩年相等，取平均值得：a2010=28.1根據(jù)經(jīng)濟(jì)增長穩(wěn)步變化得：b2010=b2009+（b2009 b2010）=382.8即2010年1-5月的擬合函數(shù)為： y2010=28.1t+382.8代入t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 可得2010年1-5月的預(yù)測價(jià)格分別為： 2.2、六到十二月份的求解將2008年和2009年6至12月定價(jià)用Matlab分別做出變化曲線，并擬合函數(shù)如下：（注：由于9月的價(jià)格有突變情形，MATLAB作圖的時(shí)候9月的數(shù)據(jù)經(jīng)過擬合。）2008年6-12月：2008年6-12月標(biāo)準(zhǔn)

15、間平均價(jià)格曲線合圖由Matlab程序可得（Matlab程序見附件程序3）： m2008=-14.3690 n2008=252.9643 q2008= -558.5952即程序擬合函數(shù)為： Y2008= -14.3690 t2+252.9643t -558.59522009年6-12月：2009年6-12月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線圖由Matlab程序可得（Matlab程序見附件程序4）： m2009 = -14.1667 n2009 = 243.2857 q2009= - 496.1190即程序擬合函數(shù)為：Y2009=-14.1667 t2+243.2857 t - 496.1190把2008年和20

16、09年6-12月圖形用MATLAB合在一起，如圖：2008年和2009年6-12月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線合圖由圖形可知：同以上分析1-5月的情況相似，兩條拋物線的開口方向相同，開口大小相同，走勢一樣，且2009年的拋物線在橫軸和縱軸的截距均大于2008年的拋物線在橫軸和縱軸上的截距，2009年每月價(jià)格均比2008年每月價(jià)格高出一個(gè)近似相等的數(shù)，這個(gè)也完全符合模型假設(shè)中提出的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長假設(shè)。因?yàn)閽佄锞€開口大小及方向及拋物線走勢一致，則在方程Y2010= m2010 x2+n2010x+q2010 中的一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該與Y2008和Y2009 中的相等，去平均數(shù)得： m2010 = - 1

17、4.268n2010 =248.125根據(jù)經(jīng)濟(jì)增長穩(wěn)步變化得： q2010 = q2009 +（q2009 q2008）= - 433.6428即2010年6-12月的擬合函數(shù)為： Y2010= - 14.268 t2+248.125 t - 433.6428代入t = 6，7，8，9，10，11，12 可得2010年6-12月的預(yù)測價(jià)格分別為：注：其中9月份得到的是一個(gè)虛擬的數(shù)據(jù)，不具可靠性，以下將進(jìn)行對9月份的單獨(dú)求解。2.3、九月份突變價(jià)格的求解2006年-2009年9月的價(jià)格折線圖如下：（2006年-2009年9月標(biāo)準(zhǔn)間平均價(jià)格曲線）從圖中可以看出九月的價(jià)格隨時(shí)間趨于不變，尤其是最三年

18、基本上是一條直線，把近三年較有可靠性的數(shù)據(jù)取平均值，可近似得出2010年9月份的價(jià)格。即2010年9月份的價(jià)格Z =4793、結(jié)果分析與檢驗(yàn)與2010年1-3月份的真實(shí)數(shù)據(jù)相比較，算出相對誤差1-3月平均為：= （）/3 =5.9%2010年中最高價(jià)格平均:H=629.82010年中最低價(jià)格平均:L = =424.952006-2009最高價(jià)格平均與最低價(jià)格平均之差的平均數(shù):S=156.42010年最高價(jià)格平均與最低價(jià)格平均之差的相對誤差： =7.1%綜上所述，誤差均較小，在允許范圍之內(nèi)，故所設(shè)的數(shù)學(xué)模型較為合理。問題二：1、建立模型設(shè)一個(gè)已訂客房的客人按時(shí)入住的概率為，未能按時(shí)入住的概率為

19、(=1-)，賓館預(yù)訂出的客房數(shù)為間，那么人中有k人未能按時(shí)入住的概率為，所以= ，(k=0，1，2,.,m)， 設(shè)N表示賓館的可預(yù)訂客房數(shù)，g表示一個(gè)客人所付的預(yù)訂費(fèi)，f表示賓館每天的運(yùn)營成本，b是每一位預(yù)訂客房而被擠掉的客人所得的補(bǔ)償，那么賓館客房循環(huán)一天的利潤為： 2、模型求解由于“m 預(yù)訂人中有k 人未能按時(shí)入住”是隨機(jī)事件，因此賓館利潤是隨機(jī)變量，這時(shí)需要用數(shù)學(xué)期望來考察。設(shè)表示賓館利潤的數(shù)學(xué)期望，那么則求解即3結(jié)果分析與檢驗(yàn)由市場調(diào)查數(shù)據(jù)知，旅游淡季客房入住率達(dá)到50%、旺季達(dá)到80%賓館可達(dá)到收支平衡，此處為簡化數(shù)學(xué)模型，取70%為賓館收支平衡客房入住率，即 0.7Ng取利潤期望值

20、與客房費(fèi)用之差是作為衡量飯店客房盈利狀況的指標(biāo)，那么設(shè)被擠掉的客人數(shù)為，那么 計(jì)算結(jié)果如下：（一）對于總統(tǒng)套房， 而設(shè) 0.05 ，0.1g，在預(yù)訂出客房25套即 m=25 時(shí)，=5.62g Px1=0.93若m=21，則=5.58g Px1=0.341由以上計(jì)算可知，即使預(yù)訂房間數(shù)21，大于等于一人被擠出的概率仍然較大，故總統(tǒng)套房預(yù)訂數(shù)最大為20（二）對于豪華套房,若分別為N=100 而 0.05，0.1g 預(yù)訂出客房103間,即m=103時(shí)=27.7g Px2=0.037由以上計(jì)算可知，預(yù)訂房間數(shù)103，大于等于兩人被擠出的概率較小，故豪華套房預(yù)訂數(shù)可為103。（三）對于標(biāo)準(zhǔn)間，若分別為N

21、=500 而 0.05 ，0.1在預(yù)訂出客房515間，即m=515時(shí)=139g Px8=0.00032 Px2=0.043由以上計(jì)算可知，預(yù)訂房間數(shù)515，大于等于八人被擠出的概率較小，至少有2 位客人被擠掉的概率也只有0.043，故豪華套房預(yù)訂數(shù)可為515。綜上，在所設(shè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，豪華套房預(yù)定20套、豪華套房預(yù)定103套標(biāo)、準(zhǔn)間預(yù)定115套較為合理。五、模型評價(jià)及優(yōu)化優(yōu)點(diǎn)：（1）通過對數(shù)據(jù)的分段分析，可以得出更為可靠地函數(shù)圖形和表達(dá)式，消除了旺季和淡季價(jià)格的不一致性，繼而較好的預(yù)測今后的價(jià)格變化；（2）用MATLAB軟件擬合函數(shù)圖形及函數(shù)表達(dá)式，而合理的舍取，降低數(shù)據(jù)之間的偶然性；（3）對于

22、突變的月份價(jià)格，我們提出來單獨(dú)分析，以消除它在整個(gè)整數(shù)中的不一致性，這樣提高了數(shù)據(jù)分析的準(zhǔn)確性，有效抑制了突變的情形；（4）用概率的方法科學(xué)的計(jì)算訂房的比例情況，即方便又精準(zhǔn)，非常具有參考價(jià)值。優(yōu)化點(diǎn)：（1）我們目前只研究每一年價(jià)格隨月份的變化，但是還可以研究每一個(gè)月隨年份的變化，再把數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，綜合得出預(yù)測結(jié)果，使結(jié)果更具可靠性；（2）由于總統(tǒng)套房，豪華套房和標(biāo)準(zhǔn)間之間存在著相互聯(lián)系，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)間超出了實(shí)際客房數(shù)而豪華套間或總統(tǒng)套房未達(dá)到實(shí)際客房數(shù)時(shí)，為了保持賓館的信譽(yù)問題，則需優(yōu)先考慮升級客房檔次再考慮賠償問題，進(jìn)而來估計(jì)每種房間預(yù)訂的數(shù)量。六、參考文獻(xiàn)1袁震東， 數(shù)學(xué)建模J ，數(shù)學(xué)教學(xué)，2005，（1）：692王興志，初等代數(shù)解題研究M)北京：石油大學(xué)出版社,2002.252258. 3陳家鼎，劉婉如， 概率統(tǒng)計(jì)講義M 北京：高等教育出版社,2000.1112.4壽紀(jì)麟， 數(shù)學(xué)建模方法與范例M西安：西安交通大學(xué)出版社,2004.111-115.5旅游飯店顧客導(dǎo)向定價(jià)模式淺析J桂林旅游高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999，1