1、.,第一章 統(tǒng)計案例,1.1回歸分析的基本思想及其初步應用,學.科.網(wǎng),.,a. 比數(shù)學3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學統(tǒng)計 畫散點圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應用問題,選修-統(tǒng)計案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因 了解相關指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結果,問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間 的函數(shù)關系是,問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否 -有一個確定性的關系？,例如：在 7 塊并排、形狀大小相同的試驗田上 進行施肥量

2、對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：,復習:變量之間的兩種關系,自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。,1、定義：,1）：相關關系是一種不確定性關系；,注,2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入。等等,探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。,探索2：在這些點附近可畫直線不止一條， 哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？,施化肥量,水稻產(chǎn)量,散點圖

3、,例1 從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為 172cm的女大學生的體重。,案例1：女大學生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：,2、由散點圖知道身高和體重有比較好的 線性相關關系，因此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關系。,3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機誤差。,思考P3 產(chǎn)生隨機誤差

4、項e 的原因是什么？,思考 產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？,隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）： 1、其它因素的影響：影響體重y 的因素不只是身高 x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差； 3、身高 x 的觀測誤差。,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,可以提供 選擇模型的準則,根據(jù)最小二乘法估計 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計，,所以回歸方程是,所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報 其體重為,探究P4： 身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,探究

5、P4： 身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。,60.136kg不是每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，而是所有身高為172cm的女大學生平均體重的預測值。,zxxkw,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。,在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預報變量。,1.用相關系數(shù)

6、 r 來衡量,2.公式：,求出線性相關方程后， 說明身高x每增加一個單位,體重y就增加0.849個單位,這表明體重與身高具有正的線性相關關系.如何描述它們之間線性相關關系的強弱呢?,、當 時，x與y為完全線性相關，它們之間存在確定的函數(shù)關系。 、當 時，表示x與y存在著一定的線性相關，r的絕對值越大，越接近于1，表示x與y直線相關程度越高，反之越低。,3.性質：,相關關系的測度 （相關系數(shù)取值及其意義）,r,.,對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗,思考P6： 如何刻畫預報變量（體重）的變化？這個變化在多大程度上 與解析變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？,假設身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任

7、何影響，那么所有人的體重將相同。在體重不受任何變量影響的假設下，設8名女大學生的體重都是她們的平均值， 即8個人的體重都為54.5kg。,在散點圖中，所有的點應該落在同一條水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如此。這就意味著預報變量（體重）的值 受解析變量（身高）和隨機誤差的影響。,例如，編號為6的女大學生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析變量和隨機誤差的組合效應。,編號為3的女大學生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名

8、學生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，這時解析變量和隨機誤差的組合效應為-4.5kg。,用這種方法可以對所有預報變量計算組合效應。,在例1中，總偏差平方和為354。,那么，在這個總的效應（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？有多少來自于隨機誤差？,假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。,在例1中，殘差平方和約為128.361。,例如，編號為6的女大學生，計算隨機誤差的效應（殘差

9、）為：,解析變量和隨機誤差的總效應（總偏差平方和） =解析變量的效應（回歸平方和）+隨機誤差的效應（殘差平方和）,顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。,如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。,總的來說： 相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。,表1-3,從表3-1中可以看出，

10、解析變量對總效應約貢獻了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。,zxxkw,.,在研究兩個變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及

11、相應的殘差數(shù)據(jù)。,使用公式 計算殘差,.,殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。,一般地，建立回歸模型的基本步驟為

12、：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。,（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。,（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。,.,什么是回歸分析？ （內(nèi)容）,從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學關系式 對這些關系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的

13、諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預測或控制的精確程度,.,回歸分析與相關分析的區(qū)別,相關分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預測因變量的變化 相關分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量 相關分析主要是描述兩個變量之間線性關系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預測和控制,.

14、,練:某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如表所示數(shù)據(jù):,(1)求x,y之間的相關系數(shù); (2)求線性回歸方程;,.,離差平方和的分解 （三個平方和的意義）,總偏差平方和(SST) 反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差 回歸平方和(SSR) 反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之間的線性關系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和 殘差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和,.,樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) r2 ）,回歸平方和占總離差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度 取值范圍在

15、 0 , 1 之間 r2 1，說明回歸方程擬合的越好；r20，說明回歸方程擬合的越差 判定系數(shù)等于相關系數(shù)的平方，即r2(r)2,.,2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入。等等,探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？,.,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。,探索2：在這些點附近可畫直線不止一條， 哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？,施化肥量,水稻產(chǎn)量,散點圖,.,什么是回歸分析：,“回歸”一詞是由英國生物學家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時首先提出的。,根據(jù)遺傳學的觀點，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。 雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此， X和Y之間存在一種相關關系。,一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身 高必然向兩極分化，而事實上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩 的身高有向中心回歸的特點。“回歸”一詞即源于此。,雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領域里的結論，并不具有普遍性，但從它 所描述的關