1、數(shù)學(xué)試題第 1頁 揚州市 2020 屆高三考前調(diào)研測試 數(shù)學(xué) 2020.06 （全全卷卷滿滿分分 160 分分，考考試試時時間間 120 分分鐘鐘） 注意事項： 1答卷前，請考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規(guī)定的地方 2試題答案均寫在答題卷相應(yīng)位置，答在其它地方無效 一一、填填空空題題（本本大大題題共共 14 小小題題，每每小小題題 5 分分，共共 70 分分，請請將將答答案案填填寫寫在在答答題題卷卷相相應(yīng)應(yīng)的的位位置置上上） 1已知集合 2 1,0,Aa ， 1,1B ，則ABB，則實數(shù)a的值是 2已知復(fù)數(shù)z滿足 34i i z (i 為虛數(shù)單位)，則| z 3某校在高一、

2、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個 年級的志愿者人數(shù)，已知高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:3:3，則應(yīng)從高三年 級抽取名志愿者 4一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為 S0 I 1 WhileI4 SS+5 I I +1 End While Print S 第 4 題圖第 9 題圖 5已知拋物線 2 2yx 的準線也是雙曲線 22 1 3 xy m 的一條準線，則該雙曲線的兩條漸近線方 程是 6某校機器人興趣小組有男生 3 名，女生 2 名，現(xiàn)從中隨機選出 3 名參加一個機器人大賽， 則選出的人員中恰好有一名女生的概率為 7已知數(shù)列 n

3、 a是等比數(shù)列， n T是其前n項之積，若 567 aaa，則 7 T的值是 8已知( )cos x f xxe，則(3)(31)0fxfx的解集為 9如圖，已知正ABC是一個半球的大圓O的內(nèi)接三角形，點P在球面上，且OP 面ABC， 則三棱錐PABC與半球的體積比為 10已知 3 sin() 283 ，則sincos. 新高考數(shù)學(xué)研究基地群：682269625 數(shù)學(xué)試題第 2頁 11設(shè) t表示不超過實數(shù)t的最大整數(shù)(如 1.32 ，2.62)，則函數(shù) ( )21f xxx的 零點個數(shù)為. 12 已知點M是邊長為 2 的正ABC內(nèi)一點， 且AMABAC ， 若 1 3 ， 則MB MC 的最小

4、值為. 13已知等腰梯形ABCD中，60AB ，2AB ，若梯形上底CD上存在點P，使得 2PAPB，則該梯形周長的最大值為. 14銳角ABC中，, ,a b c分別為角, ,A B C的對邊，若cos(1cos)aBbA，則 2 2 ab bc 的取值 范圍為. 二、解答題： （本大題共 6 道題，計 90 分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 15.（本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) 2 3 ( )cossin()3cos 34 f xxxx ，Rx. (1) 求( )f x的最小正周期和對稱中心； (2) 若函數(shù)( )() 4 g xf x ，求函數(shù)( )g x在區(qū)間, 6 6

5、 上的最值 16 （本小題滿分 14 分） 如圖， 四面體ABCD被一平面所截， 平面與四條棱,AB AC CD BD分別相交于,E F G H四 點，且截面EFGH是一個平行四邊形，AD 平面BCD，BCCD. 求證： (1)EFBC； (2)EF 平面ACD. 數(shù)學(xué)試題第 3頁 17.（本小題滿分 14 分） 如圖，邊長為 1 的正方形區(qū)域 OABC 內(nèi)有以 OA 為半徑的圓弧AEC. 現(xiàn)決定從 AB 邊上一 點 D 引一條線段 DE 與圓弧AEC相切于點 E，從而將正方形區(qū)域 OABC 分成三塊：扇形 COE 為區(qū)域 I，四邊形 OADE 為區(qū)域 II，剩下的 CBDE 為區(qū)域 III.

6、區(qū)域 I 內(nèi)栽樹，區(qū)域 II 內(nèi)種花， 區(qū)域III內(nèi)植草.每單位平方的樹、 花、 草所需費用分別為5a、4a、a， 總造價是W， 設(shè)2AOE. (1) 分別用表示區(qū)域 I、II、III 的面積； (2) 將總造價 W 表示為的函數(shù)，并寫出定義域； (3) 求為何值時，總造價 W 取最小值？ 18.（本小題滿分 16 分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右準線為直線4x ，左 頂點為A，右焦點為F. 已知斜率為 2 的直線l經(jīng)過點F，與橢圓E相交于,B C兩點，且O到 直線l的距離為2 5 5 . (1) 求橢圓E的標準方程； (2) 若過O

7、的直線:m ykx與直線,AB AC分別相交于,M N兩點，且OMON，求k的 值. 數(shù)學(xué)試題第 4頁 19 （本小題滿分 16 分） 已知函數(shù) 2 ( )(R) x f xeaxa. (1) 若曲線( )f x與直線:(2)(R)l yexb b在1x 處相切. 求a b 的值； 求證：當 0 x 時， ( )(2)f xexb ； (2) 當0a 且(0,)x時，關(guān)于的x不等式 2 ( )2ln1x f xmxx有解，求實數(shù)m的取 值范圍. 20 （本小題滿分 16 分） 已知數(shù)列 n a的各項均為非零實數(shù)，其前n項和為 n S，且 +12 = nn nn Sa Sa . (1) 若 3=

8、3 S，求 3 a的值； (2) 若 20211 =2021aa，求證：數(shù)列 n a是等差數(shù)列； (3) 若 1=1 a， 2=2 a，是否存在實數(shù)，使得 22 22 nm a m a n aa對任意正整數(shù)mn，恒成 立，若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由. 數(shù)學(xué)試題第 5頁 揚州市 2020 屆高三考前調(diào)研測試 數(shù)學(xué) （全卷滿分全卷滿分 40 分，考試時間分，考試時間 30 分鐘分鐘） 202006 21. 已知矩陣 1 0 02 A ，求矩陣A的逆矩陣 1 A的特征值 22. 在直角坐標系xOy中， 曲線C的參數(shù)方程是： 2cos , 2sin x ym (為參數(shù)).以O(shè)為極點,

9、x軸 正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為cos1 3 若直線l與曲線C相 交于PQ、兩點,且2 3PQ ,求實數(shù)m的值. 數(shù)學(xué)試題第 6頁 23. 如圖，在三棱錐ABCD中，已知ABD，BCD都是邊長為 2 的等邊三角形，E為BD 中點，且AE 平面BCD，F(xiàn)為線段AB上一動點，記 BF BA (1) 當 1 3 時，求異面直線DF與BC所成角的余弦值； (2) 當直線CF與平面ACD所成角的正弦值為 15 10 時，求的值. 24. 一個籠子里關(guān)著 10 只貓，其中有 7 只白貓，3 只黑貓把籠門打開一個小口，使得每次只 能鉆出 1 只貓貓爭先恐后地往外鉆.如果 10 只貓都鉆

10、出了籠子，以X表示 7 只白貓被 3 只黑 貓所隔成的段數(shù)例如，在出籠順序為“”中，則3X (1) 求三只黑貓挨在一起出籠的概率； (2) 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 數(shù)學(xué)試題第 7頁 揚州市 2020 屆高三考前調(diào)研測試 參考答案 一、填空題 1.12. 53. 154. 155.3yx 6. 3 5 7. 18. 1 2, 2 9. 3 3 8 10. 2 3 11. 212. 1 3 13.3+ 514. 7 3 2 ， 二、解答題 15解解：(1) 由已知，f(x)cos x(1 2sin x 3 2 cos x) 3cos2x 3 4 1 2sin xcos x 3 2 cos2x 3

11、 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos 2x)+ 3 4 1 4sin 2x 3 4 cos 2x1 2sin(2x 3) 4 分來 最小正周期為T，對稱中心為)0 , 62 k （Zk .7 分 (2) 6 2sin( 2 1 )( xxg 8 分 )(xg在區(qū)間 6 , 6 上單調(diào)遞增.10 分 2 1 ) 6 ()( max gxg12 分 min 1 ( )() 64 g xg 14 分 16. 證明：證明：(1) 因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以EFHG， 又EF 平面BCD，HG 平面BCD，所以EF平面BCD，.4 分 又EF 平面ABC，平面ABC平面BCDBC，所以

12、EFBC.7 分 (2) 因為AD 平面BCD，BC 平面BCD，所以ADBC， 由(1)知EFBC，所以EFAD.10 分 因為BCCD，所以EFCD.12 分 又ADCDD，AD、CD 平面ACD， 所以EF 平面ACD.14 分 17. 解解：(1)如圖， 1 1 (2 ) 1 224 S 2 分 連接 OD，則ODEODA，tanDA， 2 1 21 tantan 2 S ，4 分 數(shù)學(xué)試題第 8頁 3 1tan 4 S . 5 分 (2) 123 54(3tan41)WaSaSaSa，7 分 由20, 2 ，知(0,) 4 ，所以函數(shù)的定義域為(0,) 4 9 分 (3) 2 3 (

13、4) cos Wa ，11 分 由0W ，得 3 cos 2 或 3 cos 2 （舍去） 又(0,) 4 ，所以 6 當0 6 時，0W ，函數(shù)在0, 6 上單調(diào)遞減， 當 62 時，0W ，函數(shù)在, 6 2 上單調(diào)遞增， 所以當 6 時，W取最小值. 答：= 6 時，總造價 W 取最小值14 分 18解：解：(1) 設(shè)橢圓E的焦距為2c， 則直線l的方程為2()yxc，即220 xyc. 因為O到直線l的距離為 2 5 5 ， 22 2002 2 5 21 c c d ， 所以 22 5 55 c ，則1c .3 分 因為橢圓E的右準線的為直線4x ，則 2 4 a c ，所以 2 4a

14、， 222 3bac， 故橢圓E的標準方程為 22 1 43 xy .4 分 (2) 由(1)知l：2(1)yx，設(shè) 11 (,)B x y， 22 (,)C xy. 由 22 2(1), 3412 yx xy 得 2 193240 xx，則 2 12 12 324 1940, 32 , 19 4 . 19 xx x x .6 分 由( 2,0)A ， 11 (,)B x y可知 1 1 :(2) 2 y AB yx x ， 數(shù)學(xué)試題第 9頁 由 1 1 , (2) 2 ykx y yx x 得 1 11 2 (2) M y x k xy ，.9 分 同理 2 22 2 (2) N y x k

15、 xy ，因為OMON，所以 22 11 MN kxkx， 由圖可知0 MN xx，.12 分 所以 122211 2 (2)2 (2)0y k xyy k xy， 即 122211 (1) (2)2(1)(1) (2)2(1)0 xk xxxk xx， 所以 121212 12211212 4(1)(1)4()1 (1)(2)(1)(2)2()4 xxx xxx k xxxxx xxx .14 分 432 41 4(43219) 1919 1 432 8324 19 24 1919 .16 分 19. 解：解：(1) 因為 2x f xeax，所以 2 x fxeax. 因為曲線 f x與直

16、線: l(2)yexb在1x 處相切， 所以 122feae，所以1a . 所以 2x f xex，所以 11fe. 又切點(1,1)e 在直線l上，所以12eeb ， 所以1b ，所以2ab；4 分 由知1,1ab，可設(shè) 2 210 x h xexexx， 則 ( )22 ,2 xx g xh xexegxe， 當ln2x 時， 0g x，當ln2x 時， 0g x， 所以 h x在0,ln2上單調(diào)遞減，在ln2,上單調(diào)遞增， 由 030,10,0ln21heh，所以ln20 h ， 所以存在 0 0,ln2x ，使得 0 0h x，8 分 所以當 0 0,1,xx時， 0h x，當 0,1

17、 xx時， 0h x， 所以 h x在 0 0,x上單調(diào)遞增，在 0,1 x上單調(diào)遞減，在1,上單調(diào)遞增. 因為 010hh，所以 0h x ， 即 21f xex，當且僅當1x 時取等號， 所以當0 x 時， 2 21 x exex， 故當0 x 時，( )2f xexb10 分 (3）先證1 x ex. 構(gòu)造函數(shù)( )1 x p xex，則( )1 x p xe. 數(shù)學(xué)試題第 10頁 故當(0,)x時，( )0p x，( )p x在(0,)上遞增，當(,0)x 時，( )0p x，( )p x 在(,0)上遞減， 所以( )(0)0p xp，即1 x ex12 分 又當0a ，且(0,)x

18、時， 2 ( )2ln1x f xmxx等價于 2 2ln1 x x ex m x 故原題等價于(0,)x時， 2 2ln1 x x ex m x 有解. 因為 2 2lnx2 2ln12ln1ln12ln1 1 xx x exexxxx xxx （當 2 ln0 xx時取等號） ， 所以1m .16 分 20. (1) 解：由 +12 = nn nn Sa Sa ，令1n ，得 11 23 = Sa Sa ， 因為數(shù)列 n a的各項均為非零實數(shù)，所以 2123 =+=Saaa， 所以 31233 =23Saaaa， 所以 3 3 = 2 a.3 分 (2) 證明： 由 +12 = nn nn

19、 Sa Sa 得： 11 23 = Sa Sa ， 22 34 = Sa Sa 33 45 = Sa Sa ， ， 11 1 = nn nn Sa Sa ，相乘得： 112 1 = nnn Sa a Sa a ， 因為數(shù)列 n a的各項均為非零實數(shù)，所以 21 = nnn a Sa a ， 當2n 時： 211 = nnn a Saa ，所以 22111 = nnnnnn a Sa Sa aaa ， 即 2111 = nnnnn aSSaaa ，即 211 = nnnn a aaaa ，因為0 n a ，所以 112 = nn aaa ， 所以數(shù)列 21n a 是等差數(shù)列，首項為 1 a，公差

20、為 2 a， 所以 2021121 =+1010=2021aaaa，所以 21 =2aa， 所以 21121 = +121 n aanana ， 2221 =+12 n aanana，所以 1 = n ana， 所以 11 = nn aaa ，所以數(shù)列 n a是等差數(shù)列.9 分 (3) 解：當 1=1 a， 2=2 a時，由(2)知= n an，所以 22 22 nm a m a n aa，即 22 22 nm nm， 不妨設(shè)mn，則22 mn ， 22 mn，所以 22 22 mn mn， 即 22 22 mn mn對任意正整數(shù)mn，（mn）恒成立， 則 22+1 +122 nn nn （）

21、，即220 n n對任意正整數(shù)n恒成立， 設(shè) 2 2n n Cn，則 2 +12 +1 2+12 +=221 nnn nn CCnnn， 設(shè)221 n n Dn，則 1 +1 22(1)122122 nnn nn DDnn ， 當5n 時， +1 0 nn DD，所以 5 0 n DD，所以 5 0 n CC，所以 2 2nn， 所以 2 222 n nnn，當5n 且 2 +n時，220 n n， 所以不存在滿足條件的實數(shù).16 分 數(shù)學(xué)試題第 11頁 三、加試題 21. 解：設(shè)矩陣 A 的逆矩陣為 ab cd ，則 10 02 ab cd = 10 01 ，即 22 ab cd = 10

22、01 ， 故1a ，0b ，0c ， 1 2 d . 所以矩陣 A 的逆矩陣為 1 10 1 0 2 A .5 分 矩陣 1 A的特征多項式為 10 1 1 1 20 2 f 令 0f，解得 1 A的特征值為 12 1 1, 2 10 分 22. 解：曲線C的直角坐標方程為 2 2 4xym，表示圓心為0,m，半徑為2的圓 由cos1 3 ，得 13 cossin1 22 ，320 xy2 分 設(shè)圓心到直線l的距離為d，則 2 |032|32| 2 13 mm d ， 4 分 所以 2 32 2 4 4 m PQ ， 令 2 32 2 42 3 4 m ，得0m 或 4 3 3 m 10 分 23. 解：連接 CE，因為BCD 為正三角形，所以AE DB 又因為AE 平面BCD，CE 平面 BCD，所以 AECE 以 ,EB EC EA 為正交基底建立如圖空間直角坐標系，