1、工程數(shù)學第10講,1,第七章微分方程的級數(shù)解 和特征函數(shù),我們在高等數(shù)學里學過線性常微分方程的解法，常微分方程：含有未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，該方程含有未知函數(shù)本身及其導數(shù)，自變量的已知函數(shù)及常數(shù)。 例如,(1),(2),(3),我們知道上述方程的通解分別為：,2,從上述方程的通解可以看到，如果方程的系數(shù)是常數(shù)，那么其解可以通過計算用已知的初等函數(shù)(多項式，三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù))的有限代數(shù)組合來表示，這樣的通解也稱閉合形式解。如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，那么,3,通過計算得到的通解就不一定是這種閉合形式解，例如方程(3)的解，因為其解中含有積分項。對這種非閉合形式解，我將用數(shù)值近似來分析這種解在

2、某一指定點的物理意義。而函數(shù)的級數(shù)表示可以用于函數(shù)的近似計算。,級數(shù)解法是解含有非常系數(shù)微分方程的一種標準解法。它以冪級數(shù)的形式給出微分方程的解，這些級數(shù)解有利于數(shù)值近似，畫出解的曲線，計算解在某一點的值，給出解系數(shù)間的遞推關系等。,4,7.1 初值問題的級數(shù)解,考慮一階線性微分方程的初值問題,5,我們知道，如果p(x)和q(x)在 x0 的某一開區(qū)間I上連續(xù)，那么上述方程在該區(qū)間有唯一解。同時，我們還知道，如果函數(shù)f(x)在點x0解析，那么可以把它在x0的某一開區(qū)間上展成冪級數(shù)（泰勒級數(shù)）。,例如，sin (x) 在0點是解析的，有冪級數(shù)展開,該級數(shù)對一切x都收斂。,6,如果函數(shù)f(x)在

3、點解析，那么要求f(x)至少在 點是無限可導的，但該條件不是充分的，也就是說f(x)在 點是無限可導的，不能保證它在 點是解析的。,7,定理：如果p(x)和q(x)在 x0 解析, 那么初值問題 的解在 x0 解析。,該定理表明初值問題的系數(shù)在 x0 解析,那么 該微分方程的解也在 x0 解析.其解可以展成 冪級數(shù).,我們斷言，當初始值問題的系數(shù)是解析的， 那么其解也是解析的。于是有下述定理：,例7.1用級數(shù)法求解,(7.1.1),解：,由于ex和x2在0點解析，所以方程在0點,有一個解析解。于是該解在0點的泰勒展開為,8,如果決定了, y(0), y(0), y (0), y (0), ,

4、我們就可以知道這個級數(shù)。將y(0)=4, x=0代入上述微分方程，得到,那么,接下來決定 y (0), 對(7.1.1)式求導，得到,(7.1.2),將y(0)=4, y(0)=-4, x=0代入上述微分方程，得到 y (0)+ y(0)+y(0)=0, 那么 y (0)=0.,9,接下來決定 y (0), 對(7.1.2)式求導，得到,(7.1.3),將y(0)=4, y(0)=-4, y (0)=0, x=0代入上述微分方程，得到 y (0)+ 2y(0)+y (0)+y(0)=2, 那么 y (0)=6.,接著對(7.1.3)式求導，得到,將y(0)=4, y(0)=-4, y (0)=

5、0, y (0)=6, x=0代入上述微分方程，得到 y(4) (0)=2.,10,現(xiàn)在我們已經(jīng)得到解的泰勒（或Maclaurin)展開的前5項，級數(shù)解可以寫為：,繼續(xù)求導，我們可以寫出級數(shù)解的更多項。,例7.2 用級數(shù)法求解,11,解：,由于sin(x)和(1- x)在點解析，所以方程,在點有一個解析解。于是該解在點的泰勒展開為,我們知道第一項, y()=-3, 從微分方程得, y ()=1- , 求微分2階導數(shù)，得到y(tǒng)()=-4,求微分方程的3階導數(shù)得到, y()=2(1-). 現(xiàn)在我們已經(jīng)得到級數(shù)的前4項系數(shù)，級數(shù)為,12,對一階線性初始值問題的級數(shù)求解法可以擴展到二階線性初始值問題的級

6、數(shù)求解。,定理：如果p(x),q(x)和f(x)在 x0 解析, 那么初值問題 有唯一解，該解也在 x0 解析。,13,例7.3用級數(shù)法求解,解：由于x, ex,4在0點解析，該方程有一個級數(shù)解，不能用通常求解微分方程的方法來解該方程，設級數(shù)解為,14,由初始條件可以得到級數(shù)的前2項系數(shù)，從微分方程得到y(tǒng)(0)=3, 對微分方程求導得到,從而有y(3)=-1, 微分方程的級數(shù)解為,我們已經(jīng)用級數(shù)法得到了微分方程的一個解，但也可以用級數(shù)法得到微分方程的通解。,15,例7.4 用級數(shù)法求微分方程,關于0點 的通解。,解：我們可以把它看作初值問題來求解,a ,b 是通解中的任意常數(shù)，從微分方程可以

7、得到y(tǒng) (0)= -y(0)-4y(0)-1=-b-4a-1, 接著對 微分方程求導 , 得到,16,于是有,繼續(xù)上述過程，我們可以得到微分方程的通解為,17,7.2 利用遞歸關系求級數(shù)解,上 一節(jié)我們利用微分方程和初始條件得到了級數(shù)解的系數(shù)，這一節(jié)我們將利用遞歸關系來獲得級數(shù)解的系數(shù)。,例7.2.1 求齊次方程,關于0點的級數(shù)解,18,解：設方程的級數(shù)解為 ，為了將y(x)代入微分方程，先計算y(x)的1階,2階導數(shù),將上述導數(shù)代入微分方程有,(7.2.1),19,對上式求和中的n進行調(diào)整，以便每一級數(shù)中x的冪次相同。為了做到這點，上式中的級數(shù)可以寫為,利用這些級數(shù)，方程(7.2.1)可以寫

8、為,20,我們合并 x n 項，于是有,對關于0某一開區(qū)間上的所有x，上式成立的 唯一情況就是，x的所有次冪的系數(shù)為0. 因此,，對于n=2,3,也就是,(7.2.2),這樣就得到了微分方程解系數(shù)的上述關系式,21,利用公式(7.2.1), 可以得到,22,等等,23,這實際是微分方程的通解，因為a0,a1是任意常數(shù)，a0=y(0), a1=y(0). 所以只要給出y(0) 和y(0), 就完全可以決定一個解。,例7.2.2 求非齊次方程 關于0點的級數(shù)解。,解：設方程的級數(shù)解為 ，將y(x)代入微分方程，得到,那么,24,(7.2.3),(7.2.3)式變?yōu)?從n=3開始合并x n項的系數(shù)，

9、得到,25,對關于0某一開區(qū)間上的所有x，上式成立的 唯一情況就是，上式兩邊x n的所有次冪的 系數(shù)必須匹配. 因此有,從上述關系，可以得到,26,27,這樣就得到了微分方程解系數(shù)的上述關系式， 如果知道an和an-1，就可得到an+2 , 當n = 3, 4時， 可以分別的得到,28,于是得到的級數(shù)解為,29,利用遞歸關系，我們想得到多少級數(shù)項的系數(shù)都可以。遞歸關系特別適合用計算機來得到級數(shù)項的系數(shù)，因為當n 3時，只要知道已得到的兩個系數(shù)，就可以得到an . 例如，給定任意兩個常數(shù)a0, a1就可以得到an. 事實上y(0)=a0, y(0)=a1, 所以，這兩個常數(shù)唯一地決定微分方程的解

10、。,有時，我們必須用現(xiàn)在的方法將一個或更多的系數(shù)表示成冪級數(shù)的系數(shù)。其基本思想就是合并 x n項的系數(shù)，并求解這些系數(shù)。,例7.2.3 求非齊次方程 關于0點的級數(shù)解。,30,解：因為方程的每一系數(shù)在0點解析,所以我們將求關于0點展開的冪級數(shù)解.將 和 代入微分方程，得到,為了合并x n的系數(shù)，上述方程變?yōu)?我們從n=1開始合并x n的系數(shù), 得到,31,上述方程x次冪的系數(shù)必須相等，得到,于是,32,使用上述關系，我們可以得到前幾項的系數(shù)，于是微分方程的級數(shù)解為,33,7.3 奇點和 Frobenius 方法,這節(jié)我們將討論二階線性微分方程,(7.3.1),如果我們可以用P(x)除以該方程的

11、兩邊，得到,(7.3.2),并且系數(shù)p(x)、q(x)和f(x)在x0的某一開區(qū)間解析，那么我們可以求(7.3.2)的級數(shù)解。也就是得到了(7.3.1)的解。,34,這時x0稱為微分方程(7.3.1)的常點，否則x0不是常點，我們就不能用級數(shù)法求解微分方程(7.3.2), 必須用其它方法解方程(7.3.2).,常點和奇點的定義,如果P(x0) 0, 且Q(x)/P(x)、R(x)/P(x)和F(x)/P(x) 在x0點解析，x0稱為微分方程(7.3.1)的常點。 如果x0不是微分方程(7.3.1)的常點，則把x0稱為奇點。,35,如果P(x0) = 0, 或如果Q(x)/P(x)，R(x)/P

12、(x) 和F(x)/P(x)中的任何一個在x0不解析，那么x0是一個奇點。,例7.3.1 微分方程,因為P(x)=x3(x-2)2 , 且P(0)=P(2)=0, 那么0和2是該方程的奇點。其它實數(shù)都是該方程的常點。,方程在奇點某一區(qū)域解的性質(zhì)完全不同于方 程在常點某一區(qū)域解的性質(zhì)。,36,具體的說，就是方程(7.3.1)在奇點某一區(qū)域的通解可能含有對數(shù)項，當x-x0時，該對數(shù)項趨于無窮。,為了對奇點某一區(qū)域解的性質(zhì)有所了解，我們只討論齊次微分方程,(7.3.3),一旦我們對齊次方程解的性質(zhì)有所了解，那么對非齊次方程解的性質(zhì)理解解沒有什么困難。經(jīng)驗和研究已經(jīng)表明方程的解在某一區(qū)域奇點的性性質(zhì)比

13、在其它區(qū)域奇點的性質(zhì)要差。這種微妙的差別有利于加深對試解的了解。,37,因此必須對兩類奇點加以區(qū)分。,正則奇點和非正則奇點的定義,如果x0是方程(7.3.3)的一個奇點，且函數(shù),在x0點解析，那么x0稱為方程(7.3.3)的正則奇點；不是正則奇點的稱為非正則奇點。,例7.3.2 我們已經(jīng)知道方程,38,有兩個奇點0和2，現(xiàn)在判斷哪個是正則奇點或非正則奇點。在這個例子中P(x)=x3(x-2)2, Q(x)=5(x+2)(x-2), R(x)=3x2. 先看x0=0。,該函數(shù)在0點沒有定義，所以它在0點不是解析的，這就說明0是微分方程的非正則奇點。,再看x0=2,39,上述兩個函數(shù)在點2處解析，

14、所以點2是微分方程的正則奇點。,假設方程P(x)y+ Q(x)y + R(x)y=0有一個正則奇點x0, 那么該方程或許在點x0處沒有級數(shù)解。 在這種情況下，我們可以選擇兩個數(shù)c n和r，設試解為,該級數(shù)稱為 Frobenius 級數(shù)。求這種形式的級數(shù)解稱為 Frobenius 法。由于 r 可能是負數(shù)或非負數(shù)，所以 Frobenius 級數(shù)不是冪級數(shù)。,(7.3.4),40,由于(7.3.4)式的首項是c0 xr,當 r = 0時，該項是常數(shù)，對(7.3.4)式求一階導數(shù)可以得到,上式繼續(xù)從0開始求和，因為n=0的項在求導數(shù)時不一定是0. 二階導數(shù)類似,我們下面看 Frobenius 法,4

15、1,例7.3.2 求方程,的級數(shù)解,解：容易驗證點0該方程的一個正則奇點,將Frobenius 級數(shù) 代入微分方程得到,42,合并x n + r項的系數(shù)得到,要使上式成立，只有每一x n + r項的系數(shù)等于0, 于是得到,(7.3.5),(7.3.6),43,對n=1,2, 假設c0 0, 那么Frobenius 法的基本要求是,(7.3.7),該方程是微分方程的指示方程(indicial quation)，它決定后面將要用到的r值。解(7.3.7)式，得到r1 = 1, r2=-1/2。從(7.3.6)式可以得到cn與cn-1的遞推關系,44,首先將r=r1=1代入,從遞推關系可以得到一些系

16、數(shù),等等，一個 Frobenius 解是,45,因為r是一個非負整數(shù), 第一個 Frobenius 解實際是關于0點的冪級數(shù)。,現(xiàn)求第二個Frobenius 解。將r = r2 = -1/2代入遞推關系，為了避免混淆，在遞推關系中用 代替 ，得到,上式可以化簡為,46,在這個遞推關系中, , 所以,得到第二個 Frobenius 解為,Frobenius 解法可以用下述定理來證明,47,定理: Frobenius 級數(shù)法,假設x0是方程P(x)y + Q(x)y + R(x)y = 0的一個正則奇點, 那么至少存在一個Frobenius 解,而且, 如果(x-x0)Q(x)/P(x)及(x-x

17、0)2R(x)/P(x)在x0點的泰勒展開在開區(qū)間(x0-h, x0+h)上收斂，那么Frobenius 級數(shù)解也在這個區(qū)間上收斂，x0點除外。,48,7.4 一些特征函數(shù),一個函數(shù)具有與眾不同的特征，這些特征使得它值得人們?nèi)Q定和記錄它的性能和行為，這樣的函數(shù)稱為特征函數(shù)。我們最熟悉的特征函數(shù)就是 sin(kx) 和 cos(kx)，它們是微分方程 的解。,人們研究特征函數(shù)的最初動機是，他們出現(xiàn)在解常微分方程和偏微分方程中，而這些微分方程可以作為許多物理現(xiàn)象的模型。 在這一節(jié)，我們首先研究勒讓德多項式和貝塞爾函數(shù)(Legendre polynomials and Bessel functio

18、ns),49,7.4.1 Legendre Polynomials,有許多Legendre Polynomials 的形式, 我們從 Legendre微分方程,上式中-1 x 1, 是實數(shù)。該方程的等價形式為,(7.4.1),該方程在解實心球的恒溫分布時，可以碰到。 下面我們尋求以便Legendre方程有非平凡解. (恒等于零的解稱為平凡解),50,可以將Legendre方程寫為,我們可以發(fā)現(xiàn)0是它的一個常點，因此有關于0點的冪級數(shù)解，設試解為 將其代入微分方程得到,51,對第一個求和式中的指數(shù)及下標進行移位，得到,從n 2開始合并x n的系數(shù)有,52,x每次冪的系數(shù)必須是零，因此,(7.4.

19、2),(7.4.3),(7.4.4),從(7.4.4)式得到遞推關系,(7.4.5),從(7.4.2)式得到,53,從(7.4.5)式得到,等等，每一偶數(shù)下標系數(shù)a2n都涉及到a0, n, 的乘。,從(7.4.3)式得到,54,從(7.4.5)式得到,等等，每一奇數(shù)下標系數(shù)a2n+1都涉及到a1, n, 的乘。,從上面的例子可以看出(7.4.5)式，當n=0,1時也成立。,這樣, 我們就可以將Legendre方程的解寫為,55,大括號內(nèi)的兩個解線性獨立，一個只含x的偶次冪，另一個只含x的奇次冪。,設,56,57,Legendre方程的通解為,a1和a0是任意常數(shù)。,當 時，,當 時，,當 時，,當 時，,當 時， ,等等,取=n(n+1),那么上式可以寫為,58,選=n(n+1),Legendre方程的解是多項式(n=1,2,3,) 因為(7.4.5)式的分子含有n(n+1)-，如果對某一非負整數(shù)N，我們選=N(N+1),那么由(7.4.5)知aN+2=0；因此就有aN+4 = aN+6 =. =0, 這樣 或 只有限多個非零項，故其解是多項式。,59,Legendre微分方程的多項式解有許多應用, 例如, 天文學,