1、乘法公式述評一、復(fù)習(xí)：(a b)(a-b)=a2-B2(a b)2=a2 2ab B2(a-b)2=a2-2ab B2(a b)(a2-ab B2)=a3 B3(a-b)(a2 ab B2)=a3-B3總結(jié)歸納公式的變化，準(zhǔn)確靈活地使用公式：(1)位置變化，(x y)(-y x)=x2-y2(2)符號變化，(-x y) (-x y)=(-x) 2-y2=x2-y2指數(shù)變化，(x2 y2)(x2-y2)=x4-y4系數(shù)變化，(2a b)(2a-b)=4a2-b2公式變更，xy (z m)xy-(z m)=(xy)2-(z m)2=x2y2-(z m)(z m)=x2y2-(z2 zm zm m2

2、)=x2y2-z2-2zm-m2增加項目的變更，(x-y-z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy y2-z2=x2-2xy y2-z2連續(xù)公式的變化，(x y)(x-y)(x2 y2)=(x2-y2)(x2 y2)=x4-y4反公式變化，(x-y-z)2-(x-y-z)2=(x-y z) (x y-z)(x-y z)-(x y-z)=2x(-2y 2z)=-4xy 4xz、的值是已知的。解決方案：=例2。的已知值。解決方案： =示例3:計算19992-20001998在這個問題中，2000=1999 1和1998=1999-1正好符合平方偏差公式。

3、解決方案：19992-20001998=19992-(19991)(1999-1)=19992-(19992-12)=19992-19992 1=1例4:給定a b=2和ab=1，求a2 b2和(a-b)2的值。分析這個問題可以通過變形的完全平方公式來解決。解決方案：a2 b2=(a b)2-2ab=4-2=2(a-b)2=(a b)2-4ab=4-4=0例5: x-y=2，y-z=2，x-z=14是已知的。找到x2-z2。如果你想根據(jù)現(xiàn)有條件找到x，y和z的值，那就相當(dāng)麻煩了?？紤]到x2-z2是x-z和x-z的乘積，您只需要找到x-z的值。解決方案：因為x-y=2，y-z=2，將兩個公式相加

4、得到x-z=4，所以x2-z2=(x z)(x-z)=144=56。例6:(21)(22 1)(24 1)(22 048 1)1的位數(shù)是多少？通過直接計算這個問題來計算一個數(shù)的答案是不可能的，所以有一定的規(guī)則要遵循。觀察到1=(2-1)和上述公式可以形成循環(huán)平方偏差。解決方案：(2 1) (22 1) (24 1) (22 048 1) 1=(2-1)(22 1)(24 1)(22048 1) 1=24096=因為當(dāng)一個數(shù)的位數(shù)是6時，該數(shù)的任何正整數(shù)的冪的位數(shù)是6，所以上述公式的位數(shù)必須是6。例7。使用公式的簡單計算(1)1032 (2)1982解決方案：(1)1032=(1003)2=10

5、02 21003 32=10000 600 9=10609(2)1982=(200-2)2=2002-22002 22=40000-800 4=39204例8。計算(1)(a 4 b-3c)(a-4 b-3c)(2)(3x y-2)(3x-y 2)解決方案：(1)原始公式=(A-3C)4B(A-3C)-4B=(A-3C)2-(4B)2=A2-6A 9 C2-16B 2(2)原始公式=3x(y-2)3x-(y-2)=9 x2-(y2-4y 4)=9 x2-y24y-4例9。理解以下內(nèi)容(1)給定a2 b2=13，ab=6，求(a b)2，(a-b)2的值。(2)知道(a b)2=7，(a-b)2

6、=4，求出a2 b2，a b的值。(3)給定a(a-1)-(a2-b)=2，獲得的值。(4)已知的計算值。分析：在公式(a b)2=a2 b2 2a b中，如果a b、a2 b2和a b分別視為一個整體，則公式中有三個未知數(shù)，如果已知兩個，則可得到第三個未知數(shù)。解決方案：(1)a2 B2=13，ab=6(a-b)2=a2 B2 2ab=13 26=25(a-b)2=a2 B2-2ab=13-26=1(2 ):(a b)2=7，(a-b)2=4 a2 2ab b2=7 a2-2ab b2=4 獲取2(a2 b2)=11，即- get 4ab=3，即(3) a-b=-2來自a(a-1)-(a2-b

7、)=2從，即也就是說，例10。四個連續(xù)自然數(shù)加1的乘積是一個平方數(shù)嗎？為什么？分析：因為1234 1=25=522345 1=121=1123456 1=361=192.猜想：任何四個連續(xù)自然數(shù)加1的乘積都是一個平方數(shù)。解：讓n，n 1，n 2，n 3是四個連續(xù)的自然數(shù)那么n(n1)(N2)(n3)1=n(n3)(n1)(N2)1=(N2 n)2 2(N2 n)1=(n2 3n)(n2 3n 2) 1=(n2 3n 1)2n是一個整數(shù)。 n2，3n是整數(shù) n2 3n 1必須是整數(shù)(N2 3n 1)是一個平方數(shù)四個連續(xù)整數(shù)和1的乘積之和必須是一個完整的平方數(shù)。例11。計算(1)(x2-x 1)2

8、 (2)(3m n-p)2解決方案：(1)(x2-x1)2=(x2)2(-x)212 x2(-x)2x 21 2(-x)1=x4 x21-2x 3 2x 2-2x=x4-2x3 3x2-2x 1(2)(3m n-p)2=(3m)2 N2(-p)2 23mn 23m(-p)2n(-p)=9 m2 N2 p2 6mn-6mp-2np分析：兩個數(shù)之和的平方的推廣(a b c)2=(a b)c2=(a b)2 2(a b)c C2=a2 2ab B2 2ac 2bc C2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac，即(a b c)2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac幾個數(shù)之和的平方等于它們的平

9、方和加上每兩個數(shù)乘積的兩倍。二、乘法公式的使用(一)、應(yīng)用：這是公式應(yīng)用的初始階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)該找出乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確把握其特點，為識別和使用公式打下基礎(chǔ)，同時可以提高學(xué)生的觀察能力。例1。計算：解決方案：原始公式(2)連續(xù)：次使用同一公式或兩個以上公式解決問題。例2。計算：解決方案：原始公式例3。計算：解決方案：原始公式三、逆向：學(xué)習(xí)公式不僅可以用在正向，有時還需要切換公式的左右兩邊，以獲得公式的逆向形式，并用它來解決問題。例4。計算：解決方案：原始公式四、改：題后變形用公式解決問題。例5。計算：解決方案：原始公式5.靈活使用：來適當(dāng)?shù)刈冃喂奖旧恚缓髮⑵鋺?yīng)用于解決問題。以完全

10、平方公式為例，經(jīng)過變形或重組后，可以得到以下幾個有用的導(dǎo)出公式：這些公式的靈活應(yīng)用可以經(jīng)常處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合應(yīng)用知識的能力。例6。已知值。解決方案：例7。計算：解決方案：原始公式例8。假設(shè)實數(shù)x，y，z滿足，則()解答：由兩個完整的平方公式導(dǎo)出：因此三、學(xué)習(xí)乘法口訣應(yīng)注意的問題(1)注意公式的特點，識別公式中的“兩個數(shù)”。示例1計算(-2x2-5)(2x2-5)分析：在本主題的兩個因素中“-”5是相同的，“2x2”有相反的符號，所以在公式(a b)(a-b)=a2-b2中“-”5是a，而在公式中“2x2”是b。解決方案：原始公式=(-5-2x 2)(-5 2x 2)=(-5)2-

11、(2 x2)2=25-4x 4。示例2計算(-a2 4b)2分析：當(dāng)使用公式(a b)2=a2 2ab b2時，公式中的“-a2”為a，公式中的“4b”為b。如果標(biāo)題改為(4b-a2)2，則公式中的“4b”是a，公式中的“a2”是b。(略)(2)、注意為公式的使用創(chuàng)造條件示例3計算(2xy-z5) (2x-yz5)。分析：乍一看，該公式不能用于計算，但要注意觀察到兩個因素中的“2x”和“5”符號相同，“y”和“z”符號不同。因此，可以通過添加括號將原始公式轉(zhuǎn)換成符合平方方差公式的形式。解決方案：原始公式=(2x5) (y-z) (2x5)-(y-z)=(2x 5)2-(y-z)2=4x2 20

12、x 25-y 2yz-z2。例4計算(a-1)2(a2 a 1)2(a6 a3 1)2分析：如果我們首先使用完全平方公式，運算非常復(fù)雜，但我們應(yīng)該注意逆冪算法，然后我們可以使用乘法公式使運算簡單。解決方案：原始公式=(a-1)(a2 a 1)(a6 a3 1)2=(a3-1)(a6 a3 1)2=(a9-1)2=a18-2a9 1示例5計算(21) (22 1) (24 1) (28 1)。分析：乍一看，這個問題沒有現(xiàn)成的公式。硬乘法太復(fù)雜了。然而，如果增加一個項目(2-1)，公式可以用來簡化問題。解答：原公式=(2-1)(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)=(22-1)(22 1)

13、(24 1)(28 1)=(24-1)(24 1)(28 1)=(28-1)(28 1)=216-1(3)、注意配方的推廣計算多項式的平方可以從(a b)2=a2 2ab B2:(ab c)2=a2 2c 2 2ab 2 BC推廣。它可以描述為：多項式的平方等于項目的平方和，加上每兩個項目的乘積的兩倍。示例6計算(2x y-3)2解決方案：原始公式=(2x)2 y2 (-3)2 22xy 22x(-3) 2y(-3)=4x2 y2 9 4xy-12x-6y。(4)、注意公式的轉(zhuǎn)換，靈活運用變形公式例7 (1)假設(shè)x y=10，x3 y3=100，計算x2 y2的值；(2)已知：x 2y=7，x

14、y=6，求(x-2y)2的值。分析：乍一看，似乎不可能開始，但請注意乘法公式的以下變形：x2 y2=(x y)2-2xy，x3 y3=(x y)3-3xy(x y)，(x y) 2-(x y) 2=4xy，問題非常簡單。解決方案：(1)x3 y3=(x y)3-3xy(x y)，將已知條件代入100=10xy=30因此x2y2=(x y) 2-2xy=102-230=40。(2)(x-2y)2=(x 2y)2-8xy=72-86=1。例8計算(ab c)2(ab-c)2(a a b c)2(a b-c)2(a-b c)(b-a c)2.分析：直接展開，運算復(fù)雜，但請注意(a b)2 (a-b)

15、2=2(a2 b2)可由和差完全平方公式轉(zhuǎn)換而來，因此問題容易解決。解決辦法：原公式=(a b)c2(a b)-c2c(a-b)2c-(a-b)2=2(a b)2 c2 2c2 (a-b)2=2(a b)2 (a-b)2 4c2=4a2 4b2 4c2(5)注意乘法公式的逆應(yīng)用例9計算(a-2b3c) 2-(a2 b-3c) 2。分析：如果我們用完整的平方公式展開，然后再減去，操作會很復(fù)雜，但是如果我們顛倒平方方差公式，操作會簡單得多。解決方案：原公式=(a-2b 3c)(a2 b-3c)(a-2b 3c)-(a2 b-3c)=2a(-4b 6c)=-8ab 12ac。示例10計算(2a 3b)2-2(2a 3b)(5b-4a) (4a-5b)2分析：這個問題可以用乘法公式和多項式乘法展開來計算，但用完全平方公式求逆更簡單。解答：原公式=(2a 3b)2(2a 3b)(4a-5b)(4a-5b)2=(2a 3b) (4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab 4b2。四、如何巧用公式：(一)、明確配方結(jié)構(gòu)特征這是公式正確應(yīng)用的前提。例如，平方方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號的左側(cè)是兩個二項式項的乘積，這四個項中的兩個完全相同，而另外兩個項是相互相反的數(shù)；等號右邊是乘法公式中兩項的平方方差，它是同一項的