1、二項式定理的性質(zhì),學(xué)海導(dǎo)航:了解楊輝三角,掌握二項式的幾個重要性質(zhì),復(fù)習(xí)回顧:,二項式定理及展開式:,(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6,=,=,=,=,=,=,a + b,a3+3a2b+3ab2+b3,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6,a2+2ab+b2,二、新課,(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4

2、= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7= ? (a+b)8= ? (a+b)n= ?,(a+b)1 _ (a+b)2 _ (a+b)3 _ (a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _ (a+b)n+1_,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,楊

3、輝三角,(a+b)1 _ (a+b)2 _ (a+b)3 _ (a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _ (a+b)n+1_,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,楊輝三角,詳解九章算法中記載的表,這樣的二項式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261 年所著的 詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似左面的表：,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,性質(zhì)1：對稱性,二 項 式 系 數(shù) 的 性 質(zhì),由于：,所以 相對于 的增減

4、情況由 決定,性質(zhì)2：增減性與最大值,由：,可知，當(dāng) 時，,二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。,當(dāng)n= 6時,其圖象是7個孤立點,20,10,30,35,O,n,f（r）,n為奇數(shù),n為偶數(shù),在二項式定理中，令 ，則：,這就是說， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：,同時由于 ，上式還可以寫成：,這是組合總數(shù)公式,性質(zhì)3：各二項式系數(shù)的和,性質(zhì)4:,在(ab)n展開式中,奇數(shù)項的二項 式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.,例1：求(1+2x)8 的展開式中二項式系數(shù)最大的項,解：已知二項式冪指數(shù)是偶數(shù)，展開式共項，依二 項式系數(shù)性質(zhì) 中間一項的二

5、項式系數(shù)最大，則： T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4,三、例題,解：依題意, n 為偶數(shù)，且,例2 已知 展開式中只有第10 項系數(shù)最大，求第五項。,例、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,則 (1)a1+a2+a3+a7=_ (2)a1+a3+a5+a7 =_,分析：求解二項式系數(shù)和時，靈活運(yùn)用賦值 法可以使問題簡單化。通常選取賦值時取1，1。,2、在(ab)10展開式中，二項式系數(shù)最大 的項是( ).,1、在(ab)20展開式中，與第五項二項式 系數(shù)相同的項是( ).,A,A.第6項 B.第7項 C.第6項和第7項 D.第5項和第7項

6、,C,A.第15項 B.第16項 C.第17項 D.第18項,此種類型的題目應(yīng)該先找準(zhǔn)r的值，然后再確定第幾項。,注：,四、練習(xí),3.(a+b)n展開式中第四項與第六項的系數(shù)相等，則n為 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二項式(1-x)4n+1的展開式系數(shù)最大的項是（ ） A.第2n+1項 B. 第2n+2項 C. 第2n項 D第2n+1項或2n+2項 5.若(a+b)n的展開式中，各項的二項式系數(shù)和為8192， 則n的值為 （ ） A16 B.15 C.14 D.13,A,A,D,（3） 數(shù)學(xué)方法 ： 賦值法 、遞推法,（1）二項式系數(shù)的三個性質(zhì),五、小結(jié),二項展開式中的二項式系數(shù)都

7、是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系數(shù)最大的才是中間項，而系數(shù)最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段。,第3課時 二項式定理,基礎(chǔ)知識梳理,基礎(chǔ)知識梳理,思考？,在公式中，交換a，b的順序?qū)ζ涠椪归_式是否有影響？,基礎(chǔ)知識梳理,二項展開式,r1,(4)在二項式定理中，如果設(shè)a1，bx，則得到公式(1x)n .,基礎(chǔ)知識梳理,基礎(chǔ)知識梳理,距首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等,基礎(chǔ)知識梳理,遞減的,遞增的,基礎(chǔ)知識梳理,基礎(chǔ)知識梳理,2n1,2n,A15 B2

8、0 C15 D20 答案：B,三基能力強(qiáng)化,答案：C,三基能力強(qiáng)化,3二項式(13x)6的展開式中系數(shù)最大的項是( ) A第3項 B第4項 C第5項 D第6項 答案：C,三基能力強(qiáng)化,4(2008年高考安徽卷改編)設(shè)(1x)7a0a1xa7x7，則a0，a1，a7中所有奇數(shù)的和為_ 答案：128,三基能力強(qiáng)化,答案：5,三基能力強(qiáng)化,課堂互動講練,求二項展開式中的特定項，一定要抓住展開式中的通項Tk1Cnkankbk，要注意通項是(ab)n的展開式的第k1項，而不是第k項，這里k0,1，n.求解時要將通項化成常數(shù)乘一個未知數(shù)多少次方的形式，然后根據(jù)需要求適合條件的項,課堂互動講練,(1)求n；

9、 (2)求含x2項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項,課堂互動講練,【思路點撥】 利用通項確定n，進(jìn)而根據(jù)特定項的特征求解,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,【誤區(qū)警示】 這類帶有減號的二項展開式最容易出現(xiàn)的問題就是忽視了(1)r這個因素，導(dǎo)致最后結(jié)果產(chǎn)生符號的差異，出現(xiàn)錯誤,課堂互動講練,課堂互動講練,互動探究,課堂互動講練,要使展開式中的項為有理項，只要x的指數(shù)為整數(shù)， 則r0,4,8. 所以第1項，第5項與第9項為有理項，它們分別是x4,70 x，x2.,課堂互動講練,二項式定理實質(zhì)是關(guān)于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用這個恒等式，還可根據(jù)要求系數(shù)和的特征，讓a、b取相應(yīng)的

10、特殊值，至于特殊值a、b如何選取，視具體問題而定沒有一成不變的規(guī)律,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,【答案】 C,課堂互動講練,【名師點評】 本題主要使用賦值的辦法來解決,2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求： (1)a7a6a1； (2)a7a5a3a1； (3)a6a4a2a0； (4)|a7|a6|a0|.,課堂互動講練,跟蹤訓(xùn)練,解：(1)令x0，則a01； 令x1，則a7a6a1a027128， a7a6a1129. (2)令x1， 則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7.,課堂互動講練,課堂互動講練,(4)(3x1)7展開式中，a7、a5、a3

11、、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零， |a7|a6|a0| (a1a3a5a7)(a0a2a4a6) 8256(8128)16384.,課堂互動講練,1根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大 2求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項不同，求展開式中系數(shù)最大項的步驟是：先假定第r1項系數(shù)最大，則它比相鄰兩項的系數(shù)都不小，列出不等式并解此不等式組求得,課堂互動講練,課堂互動講練,【思路點撥】 根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求n，系數(shù)最大問題需列不等式組求解,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂

12、互動講練,課堂互動講練,跟蹤訓(xùn)練,課堂互動講練,課堂互動講練,1二項式定理的一個重要用途是做近似計算；當(dāng)n不很大，|x|比較小時，(1x)n1nx. 2利用二項式定理還可以證明整除問題或求余數(shù)問題，在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項都含有除式的因式，要注意變形的技巧,課堂互動講練,3由于(ab)n的展開式共有n1項，故可通過對某些項的取舍來放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的，而對于整除問題，關(guān)鍵是拆成兩項后利用二項式定理展開，然后說明各項是否能被整除,課堂互動講練,課堂互動講練,(滿分展示)(本題滿分12分) (1)已知nN，求證：12222325n1能被3

13、1整除； (2)求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.,【思路點撥】 (1)要先用等比數(shù)列的前n項和公式，然后應(yīng)用二項式定理轉(zhuǎn)化成含31的倍數(shù)的關(guān)系式； (2)把0.998變成10.002，然后應(yīng)用二項式定理展開,課堂互動講練,32n1 3分 (311)n1 31nCn131n1Cn231n2Cnn13111 31(31n1Cn131n2Cnn1)， 顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)， 5分 故原式能被31整除. 6分,課堂互動講練,(2)0.9986(10.002)6 1C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3 8分 第三項T315(0.002)2 0.000060.0

14、01，以后各項更小， 0.998610.0120.988. 12分 【反思感悟】 在解答第(2)問時，不需全部展開，直到滿足項比0.001還小即可,課堂互動講練,4(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(0)1，且對任意x，yR，f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2恒成立 (1)求f(x)的解析式； (2)若數(shù)列an滿足：an13f(an)1(nN)，且a11，求數(shù)列an的通項；,課堂互動講練,自我挑戰(zhàn),解：(1)f(0)1，令xy0得 f(1)f(0)f(0)f(0)022， 又令y0，得f(1)f(x)f(0)f(0)x2， f(x)x1，xR. 2分 (2)f(x)x1， an13f

15、(an)13(an1)1(nN)，,課堂互動講練,an113(an1)(nN)， 數(shù)列an1是公比為3的等比數(shù)列. 4分 a112，an123n1(nN)， an23n11(nN). 7分,課堂互動講練,課堂互動講練,課堂互動講練,1二項式定理及通項公式的應(yīng)用 (1)對于二項式定理，不僅要掌握其正向運(yùn)用，而且應(yīng)學(xué)會逆向運(yùn)用與變形運(yùn)用有時先作適當(dāng)變形后再展開較為簡便，有時需適當(dāng)配湊后逆用二項式定理,規(guī)律方法總結(jié),(2)運(yùn)用二項式定理一定要牢記通項Tk1Cnkankbk，注意(ab)n與(ba)n雖然相同，但用二項式定理展開后，具體到它們展開式的某一項時是不相同的，一定要注意順序問題 (3)在通項公式Tk1Cnkankbk(nN)中，要注意有nN，kN，kn，即k0,1,2，n.,規(guī)律方法總結(jié),2項的系數(shù)與項的二項式系數(shù)的區(qū)別 利用通項公式求二項展開式中指定的項(如常數(shù)項、系數(shù)最大項、有理項等)或某些項的系數(shù)是本節(jié)重點內(nèi)容，解題時，要正確區(qū)分展開式中的“項”、“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)