1、第一章 行列式,1. 二元一次方程組與二階行列式,一、二元一次方程組的求解公式,設關于 x1, x2 的二元一次方程組為,(1.1),其中a11, a12, a21, a22, b1, b2均為已知參數(shù). 用中學的消元法解此方程組.,(1.2),將它代入第一個方程并化簡, 得,(1.3),式(1.2)和(1.3)給出了兩個變量兩個方程的方程組(1.1)的求解公式(當 a11 a22 a12 a21 0時). 但公式(1.2)與(1.3)形式復雜難記.,二、二階行列式的概念,其中橫排稱為行, 豎排稱為列. 數(shù) aij (i, j=1, 2)表示第 i 行第 j 列的元素.,副對角線,主對角線,在

2、方程組,中, 若令,其中D稱為系數(shù)行列式, 則當系數(shù)行列式 D 0時, 上述方程組的解可簡記為,(1.4),公式(1.4)與公式(1.2)及(1.3)表示的是同一式子, 但顯然公式(1.4)簡單易記得多.,公式(1.4)稱為解兩個方程兩個未知量的二元一次方程組的克萊姆(Cramer)法則.,解：,=2+9=110,= 4,在1中我們利用二階行列式已得到了二元一次方程組的求解公式. 但實際問題中, 往往要解多個變量的一次方程組(稱為線性方程組), 其中最簡單、最重要的是未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相同的線性方程組. 因此有必要引入高階行列式的概念.,一、三階行列式,其中 aij (i, j =1,

3、2, 3)表示第 i 行第 j 列上的元素.,2 n 階行列式,三階行列式的計算可如下圖:,+,+,+,例1. 求三階行列式,解：原式=32+4+012 (16) 0,=32+412 +16=40,以后我們將證明三元一次方程組,的解將與它的系數(shù)行列式,密切相關.,二、排列與逆序數(shù),為了得到 n 階行列式的定義和討論其性質, 先引 入排列和逆序數(shù)的概念.,n 級排列 (i1 i2in ) 的逆序數(shù)記為 (i1i2in), 簡記為 . 例如, 四級排列 2314 中, 2與1, 3與1構成逆序, 故 (2314) = 2; 再如六級排列 243516 中, 2與1, 4與1, 3與1, 5與1,

4、4與3均構成逆序, 故 (243516) = 5.,奇偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列, 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.,如四級列 2314 是偶排列，而六級排列 243516 為奇排列.,對換：將一個排列中兩個位置上的數(shù)互換而其余不動, 則稱對該排列作了一次對換.,每一次對換改變排列的奇偶性.,定理1,*證: 先考察相鄰兩個數(shù)字的對換. 設排列,( 表不動的數(shù)字) 經 j, k的對換, k j ,顯然這時排列中除 j 與 k 兩數(shù)順序改變外, 其它任意兩數(shù)的順序并沒有變, 而 j 與 k 之間, 若 j k , 則經對換后成自然順序而使排列的逆序數(shù)減少1, 總之，排列的奇偶性改變了.,

5、j k ,變成排列,再看一般情形的對換. 設排列, j i1i2 im k ,經 j 與 k 對換變成排列, k i1i2 im j ,這可看作是通過一系列相鄰對換得到的. 從排列 j i1i2 im k 出發(fā)把 k 與 im 對換, 再與 im1 對換, 一位位地向左移動, 經 m 次相鄰對換就變成了排列 j k i1i2 im , 再把 j 一位一位地右移, 經 m+1次相鄰對換就變成 k i1i2 im j , 總共經過 2m+1 (奇數(shù))次對換. 排列的奇偶性也改變了.,由上述定理可知, 在 n 級排列中, 奇偶排列各占一半,三、n 階行列式的定義,利用排列與逆序數(shù)的概念, 可以看出三

6、階行列式,中共 3!=6 項, 其中一半帶正號, 一半帶負號.,(123)=0,(312)=2,(231)=2,(321)=3,(132)=1,(213)=1,其中是對所有三級排列( j1j2j3 )求和.,三階行列式可記為,其中是對所有二級排列 (j1j2) 求和.,同樣, 二階行列式,仿此, 可得,其中是對所有 n 級排列 ( j1j2jn )求和, 而 aij仍稱為第 i 行第 j 列的元素.,由定義3 可知, n 階行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 個元素乘積的代數(shù)和, 且共有 n!項, 其中一半帶正號, 一半帶負號.,例2. 在一個五階行列式中 a13 a24 a32 a41

7、a55 的前面應取什么符號?,解: 由于 (3 4 2 1 5) = 5, 列下標為奇排列, a13 a24 a32 a41a55 前應帶負號。,例3: 計算下列 n 階行列式,(稱為(下)三角行列式),解: 由定義，D1中取自不同行不同列的n個元素的乘積，除了a11 a22 ann外，其余全為 0，而 a11 a22 ann 的 列下標的排列為(12 n), ( 1 2 n ) = 0,D1= (1)0 a11 a22 ann,故,作為例3的 特例，可知下面的n階行列式(稱為對角行列式),例4. 計算n 階行列式,解：取 D2 中不在同一行不在同一 列的n 個元素的乘積, 除 a1n a2,

8、 n-1 an1 外, 其余全為 0, 而 a1n a2,n-1 an1 的列下標的排列為 (n, n1, 1),故,由例4立即可知,在 n 階行列式的定義中，為了確定每一項的符號，把 n 個元素的行下標均按自然順序排列。事實上，數(shù)的乘法是可交換的，因而這 n 個元素相乘時次序可以是任意的，,證：將,重排使其行下標成自然順序,由乘法交換律知(2.4)與(2.5)是相等的.,(2.4),(2.5),由于 (2.5) 是由 (2.4) 經過一系列元素的對換得到的,而每作一次元素對換, 相應的行下標和列下標所成排列 i1 i2 in 和 j1 j2 jn 也同時作了一次對換, 由定理1知行下標和列下

9、標的排列的逆序數(shù)同時改變奇偶性, 因而行下標與列下標的排列的逆序數(shù)之 和不改變奇偶性.,從而,于是,由定理2還可知道, 若將列下標按自然順序排列, 則有,n階行列式的定義有三種形式：,小結,3 行列式的性質與行列式的展開,按定義計算行列式較麻煩, 因此有必要討論行列式的性質以簡化行列式的計算.,則 D = DT,即,如：,*證：令,則 bij = aji ( i, j = 1, 2 n), 由定義有,=D,由性質 1 知行列式中對行成立的命題對列也成立.,由上節(jié)例3及性質1還可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,性質2,互換n階行列式的任意兩行(列), 行列式僅改變符號.,即,*證:

10、設,其中 M 為D 經過互換第 p 行和第 q 行(1 p q n) 后得到, 則,ip, q 時, bij = aij ( j = 1, 2, , n);,i=p, q 時, bpj = aqj , bqj=apj( j = 1, 2, , n);,于是,若 n 階行列式有兩行(列)的對應元素相同, 則行列式為零.,這是因為行列式 D 的這兩行互換后得 D = D, 從而 D = 0,如二階行列式,而,兩者異號.,推論1,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以 k, 等于該行列式乘以數(shù) k.,由性質3可知, 若行列式某行(列)有公因式則可提出來, 性質 3 的證明略.,性質3,即,結合性質2和

11、性質3, 有,若 n 階行列式有兩行(列)對應元素成比例,則該行列式為零.,若 n 階行列式有某行(列)全為零, 則行列式為零.,推論2,推論3,性質4,若 n 階行列式的某行(列)的各元素是兩個數(shù)的和,則該行列式等于兩個行列式的和.,即,如,= 10,而,即,性質5,把 n 階行列式的某行(列)的各元素乘以數(shù) k 后加到另一行(列)的對應元素上去,行列式的值不變.,即,性質5可由性質 4 及性質 3 的推論 2 得出.,如,兩者相等,行列式有五條性質：,1. DT=D ;,2. 互換行列式的兩行 (列)，行列式僅變號;,3. 行列式某行(列)的公因式可提出；,4. 行列式某行(列)的元素均為

12、兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和；,5. 行列式某行(列)的各元素乘以數(shù) k 后加到另一行(列)對應元素上去，行列式的值不變；,小結,行列式還有三條推論：,1. 行列式 D 有兩行(列)各元素對應相同，則D=0；,2. 行列式 D 有兩行(列)各元素對應成比例，則D=0；,3. 行列式 D 有某行(列)各元素全為零，則D=0；,由上節(jié)例2可知三角行列式簡單易求, 因此對任一行列式,可利用行列式的性質, 將其化為 一個與之相等的三角行列式, 從而簡化行列式的計算.,例1.計算行列式,解：,例2. 計算 n 階行列式,解：,例3.計算 n 階行列式,解：,二、行列式按行(列)展開,計算行列式

13、時, 除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式, 因為二階行列式的計算極為簡單, 為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念.,在n階行列式中,去掉 aij(i, j =1, 2, n)所在的行與所在列后剩下的 n1 階行列式稱為元素 aij 的余子式,記為 Mij . 余子式 Mij帶上符號 (1)i+j 則稱為元素 aij 的代數(shù)余子式, 記為 Aij, 即 Aij= (1)i+j Mij .,定義,元素 a11=1的余子式和代數(shù)余子式分別為,元素 a12= 2 的余子式和代數(shù)余子式分別為,而元素 a13=3 的余子式和代數(shù)余子式分別為,通過直接計算可知,而,兩者相等

14、, 這個現(xiàn)象不是偶然的. 事實上, 有,(Laplace展開定理) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和.,D =,或,D =,定理1,即,*證: 先證明等式,(5.1),為此考慮特殊情形,(5.2),將上式左端表為,這就是 (5.2) 式.,(5.3),接下來將(5.1)式左端的行列式的第 i 行依次與其下面相鄰的行對換, 經 ni 次對換后換到第 n 行, 然后再將第 j 列依次與其右邊相鄰的列對換, 經 nj 次對換后換到第 n 列, 這時 aij 換到右下角的位置, 由性質 2, 式 (5.1) 左端的行列式等于,由于經上述行列互換，除第 i 行與第 j 列

15、元素外，其它各行各列元素相對位置都沒有改變，故上面行列式左上角的 n 1 階行列式即為 aij 的余子式 Mij , 由 (5.2) 式得 (5.1) 式左端的行列式為,于是(5.1)式得證,下面證明定理, 先把 D 寫成如下形式, 并利用行列式性質 5 及 (5.1) 式有,類似地按列證明便得,Laplace展開定理又稱為行列式按行(列)展開的法則. 利用這一法則并結合行列式的性質, 可把高階行列式的計算化為低階行列式的計算, 從而簡化計算.,例4. 用Laplace展開定理解例1,例5. 計算 n 階行列式,解: 將其直接按第一列展開, 得,例6.計算 n 階行列式,解:,(i2),例7.

16、 證明范德蒙 (Vandermonde) 行列式,其中 n 2, 稱為連乘號,這里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘積.,證: 用數(shù)學歸納法, 當 n = 2 時,結論正確.,假設對于 n1 階范德蒙行列式結論正確,現(xiàn)在來證 n 階的情形. 設法將 Dn 降階, 為此, 從第 n 行開始,下面一行減去上面一行的 x1倍, 得,上式右端的行列式為 n1 階范德蒙行列式, 于是由歸納假設有,例8. 求四階行列式,解: 此為四階范德蒙行列式, 于是,原式=,關于代數(shù)余子式, 還有下列定理,行列式的任一行(列)的所有元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之各等于零.,或,即,(

17、ij ),*證: 作行列式 ( i j),則其除第 j 行與行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均與 D 的對應元素相同. 由于第 i 行與第 j 行各元素對應相同, 故上行列式為零, 將其第 j 行展開可得,類似地, 有,例9. 設行列式為,解: 由定理 2 可知,4 克萊姆法則,有了 n 階行列式 概念后，可以把解二元一次方程組的克萊姆法則加以推廣。,(克萊姆法則) 設 n 個變量 n 個方程的線性方程組為,定理1,如果系數(shù)行列式,則方程組(4.1)有唯一解,且解可表示為,其中 Di ( i = 1, 2, , n)是用常數(shù)項 b1, b2, bn代替 D 中第 i列各元素而得到的 n 階行列式, 即,i=(1, 2, , n ),*證: 用行