1、2014年本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))論文標(biāo)題：函數(shù)極值的理論與應(yīng)用學(xué)科：數(shù)學(xué)科學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)完成時(shí)間：2014-05-20函數(shù)極值的理論與應(yīng)用摘褥子函數(shù)的極值不僅是反映函數(shù)性質(zhì)的重要特征，在解決實(shí)際問題上也占有非常重要的位置。將許多經(jīng)濟(jì)和生活上的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的功能極值問題進(jìn)行討論，可以得到這個(gè)問題的最佳方案。本文主要討論函數(shù)極值的理論和解法，并附加相應(yīng)的例子，說明函數(shù)極值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，重點(diǎn)討論一元函數(shù)和多元函數(shù)的極值理論及應(yīng)用等問題。關(guān)鍵字：函數(shù)極值、多元函數(shù)、極值應(yīng)用程序the extreme value theory of function and its applicatio

2、nsAbstractthe extreme value is not only a significant character istic of a function，But also play an important role in solving practical Problems . a lot ofthis thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the func Tion extreme value，Together with the corresponding ene

3、the main contents focus on the theory and applications Of the single variable functions and multivariate functions。keywords 3360 function extreme value，multivariate functions，application of extreme value theory列表一、簡介1二、一元函數(shù)極值理論及其判別方法22.1一元函數(shù)極值的概念22.2一元函數(shù)極值的確定22.3一元函數(shù)極值的解3三、多元函數(shù)的極值理論及其判別方法33.1二進(jìn)制函數(shù)極值

4、的概念33.2二進(jìn)制函數(shù)極值的確定33.3二進(jìn)制函數(shù)的兩類極值解43.4 n元函數(shù)極值的概念63.5 n元函數(shù)極值的確定63.6 n元函數(shù)的兩類極值解7四、函數(shù)極值理論的應(yīng)用94.1一元函數(shù)極值的應(yīng)用94.2二進(jìn)制函數(shù)極值的應(yīng)用104.3 n元函數(shù)極值的應(yīng)用114.4函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用12五、結(jié)論13參考文獻(xiàn)14辭呈15一、引言1.1概論函數(shù)極值是函數(shù)性的重要特征，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或其他學(xué)科領(lǐng)域具有不可替代的地位。在這樣的快速發(fā)展時(shí)代，解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的問題最終歸結(jié)為追求極值或最大值的問題，以最大限度地實(shí)現(xiàn)人們預(yù)期的效果。為此，經(jīng)常以數(shù)學(xué)建模等形式建立與函數(shù)的關(guān)系，通過函數(shù)類型或函數(shù)特性尋

5、找最佳解決方案。函數(shù)的極值理論對人們的生產(chǎn)和生活都有特殊的意義，因此研究函數(shù)的極值理論尤為重要。本文系統(tǒng)地介紹了一元函數(shù)、多元函數(shù)的極值理論。其次，介紹了確定函數(shù)極值的幾種方法。最后將主要結(jié)論應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題。1.2研究的背景在數(shù)學(xué)分析中，在研究函數(shù)極值問題的基礎(chǔ)上，極值理論在實(shí)際生活中經(jīng)常得到普及和應(yīng)用。如果出現(xiàn)實(shí)際問題，通常具體分析實(shí)際問題，通過分析建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，然后轉(zhuǎn)換為函數(shù)的極值問題進(jìn)行研究。無論是國內(nèi)還是國外，這方面的理論都比較完備，但系統(tǒng)地整理，以便應(yīng)用于實(shí)際生活仍然很重要。1.3研究現(xiàn)狀在函數(shù)極值理論研究中，涉及到更多的變量，因此，解決復(fù)雜多函數(shù)的極值問題有時(shí)

6、更加困難。目前國內(nèi)外對函數(shù)極值的解法有替代法、拉格朗日乘數(shù)法、不等式等?？傮w上，對函數(shù)極值問題的研究形成了較為完善的體系。1.4研究的目的和意義為了在現(xiàn)實(shí)生活中更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的極值原理，需要系統(tǒng)地歸納和總結(jié)它。極值問題，無論是在經(jīng)濟(jì)生活中還是勞動農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，都有很廣泛的應(yīng)用，一般用于解決少投入、少投入、利潤最大化、節(jié)約材料最多等問題，這些問題的解決能使我們更快地進(jìn)入更高水平的生活，因此極值理論在現(xiàn)實(shí)生活中具有不可替代的地位。二、一元函數(shù)極值理論及其判別方法2.1一元函數(shù)極值的概念定義12.1.1設(shè)置函數(shù)在地塊內(nèi)具有定義，可以設(shè)置為內(nèi)部點(diǎn)。(1)如果有一個(gè)點(diǎn)的近旁，并且除了該近內(nèi)的所有點(diǎn)外，

7、恒常成立，則稱為函數(shù)的最小值。(2)如果有一個(gè)點(diǎn)的近旁，并且對該近內(nèi)的所有點(diǎn)除了點(diǎn)之外均成立，則稱為函數(shù)的最大值。函數(shù)的最大值和最小值都稱為函數(shù)的極值，函數(shù)獲取極值的點(diǎn)稱為極值。2.2一元函數(shù)極值的確定定理12.2.1極值的第一個(gè)充分條件：函數(shù)在點(diǎn)上是連續(xù)的，可以由鄰居引導(dǎo)。(1)當(dāng)時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)有，點(diǎn)得到了很小的值。(2)當(dāng)時(shí)，地點(diǎn)可能已獲得極值。(。定理12.2.2極值的第二個(gè)充分條件：一根可以誘導(dǎo)一次，二次誘導(dǎo)，以及。如果(1)，則獲取最小值。如果(2)，則獲取最大值。證明：已知條件已知的二次泰勒公式而且，因?yàn)?。所?1)因此，正數(shù)存在，那時(shí)，和相同的號碼在一起。因此，(1)是取負(fù)數(shù)給出的

8、。由此可見，獲得了極值。定理12.2.3極值的第三個(gè)充分條件：到N-1階的導(dǎo)數(shù)，n階，和具有以下項(xiàng)的相鄰內(nèi)存(1)如果n是偶數(shù)，則取極值，求出當(dāng)時(shí)的極值，求出當(dāng)時(shí)的極值。(2)如果n為奇數(shù)，則不使用極值。證明：類似于定理2.2.2的證明過程，在此省略。2.3一元函數(shù)的極值解通常，解決函數(shù)極值的步驟如下：(1)確定函數(shù)的范圍。(2)尋找停車點(diǎn)和不存在的點(diǎn)。(3)判斷點(diǎn)左右兩邊的正號，判斷是否是極值點(diǎn)。(4)求出相應(yīng)的極值。三、多元函數(shù)的極值理論及其判別方法3.1二進(jìn)制函數(shù)極值的概念定義13.1.1函數(shù)已在點(diǎn)的相鄰位置定義。對于任意點(diǎn)，函數(shù)從點(diǎn)獲取最大(最小)值，點(diǎn)成為最大(最小)值點(diǎn)的不等式成立

9、。最大值和最小值統(tǒng)稱為極值。最大點(diǎn)，最小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。3.2二進(jìn)制函數(shù)極值的確定定理13.2.1二進(jìn)制函數(shù)極值的充分條件：二進(jìn)制函數(shù)在點(diǎn)的特定鄰域中具有二次連續(xù)部分微分，是穩(wěn)定點(diǎn)。如果是正定矩陣，則從點(diǎn)獲取最小值。在負(fù)固定矩陣時(shí)，從點(diǎn)獲得最大值。如果是無限矩陣，則不使用極值。其中(1)當(dāng)時(shí)，得到了很小的值。(2)當(dāng)時(shí)正在達(dá)到最大值。(3)當(dāng)時(shí)不能獲得極值。(4)不確定是否得到了極值。證明：根據(jù)條件，有一個(gè)點(diǎn)的二次泰勒公式，已知，已知。由于正整數(shù)，隨機(jī)具有二次型。因此，必須存在與無關(guān)的正數(shù)。因此，對于所有，如果足夠小，則必須存在。所以從點(diǎn)得到很小的值。同樣，如果可以用負(fù)固定矩陣證明，則從點(diǎn)獲取

10、最小值。證明不明確的矩陣時(shí)，不在點(diǎn)上取極值。(反證法)假設(shè)可以去極值點(diǎn)，也可以設(shè)定去極值點(diǎn)。請注意，通過點(diǎn)的線也需要最小值。我們對一元函數(shù)的極值有充分的條件。也因?yàn)檫@個(gè)緣故這表示將是一個(gè)正的半固定矩陣。這與假設(shè)相矛盾。因此，我們不采取極端值。3.3二進(jìn)制函數(shù)的兩類極值解3.3.1極值的分類：(1)無條件極值問題：對于函數(shù)的極值問題，除了在該范圍內(nèi)限制變元外，沒有其他條件限制的極值問題稱為無條件極值問題。(2)條件極值問題：在許多實(shí)際應(yīng)用問題中，通常發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)設(shè)置后，變量之間存在其他條件約束。具有這些其他約束的極值問題稱為條件極值問題。一般形式是尋找函數(shù)的極值，其中條件是有限的。3.3.2解決

11、兩類極限問題：(1)無條件地解決極限問題：根據(jù)定義解決。(2)條件極值問題解決3:方法1:用目標(biāo)函數(shù)替換條件極值問題的條件，將其轉(zhuǎn)換為無條件極值問題求解。方法2:拉格朗日乘數(shù)方法：欲望函數(shù)的極值受條件限制。引入稱為拉格朗日乘數(shù)的輔助變量和輔助函數(shù)，是拉格朗日函數(shù)。點(diǎn)是條件極值點(diǎn)的必要條件是滿足以下方程式：點(diǎn)是否是極值點(diǎn)通?？梢杂蓡栴}本身的特性來決定(或者在目標(biāo)函數(shù)中使用替代函數(shù)和無條件極值的判別條件)。方法3 2:設(shè)置二進(jìn)制函數(shù)以在點(diǎn)的鄰居中滿足：有連續(xù)部分微分，是這附近的任意點(diǎn)。如果(I)，則獲取嚴(yán)格的最大值。(ii)取得嚴(yán)格的最小值。證明：輔助函數(shù)構(gòu)造，易于理解。由于連續(xù)的，微小的，可以看

12、出有一元函數(shù)的拉格朗日中值定理。即(2)因此，也就是說。因?yàn)橛?2)格式替換它；如果為任意，則將獲得嚴(yán)格的最大值(如果存在)。如果任何的都有，則將獲取嚴(yán)格的最小值。3.4 n元函數(shù)極值的概念點(diǎn)的鄰居定義了函數(shù)。如果任意點(diǎn)的不等式成立，則函數(shù)從點(diǎn)獲取最大(最小)值時(shí)，該點(diǎn)為最大(最小)值點(diǎn)。最大值和最小值統(tǒng)稱為極值。最大點(diǎn)，最小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。3.5 n元函數(shù)極值的確定多元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)置為該區(qū)域內(nèi)多元函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。函數(shù)是正定矩陣時(shí)，從點(diǎn)獲取最小值。在負(fù)固定矩陣時(shí)，從點(diǎn)獲得最大值。如果是無限矩陣，則不使用極值。其中.3.6 n元函數(shù)的兩類極值解3.6.1極值的分類：(1)無條件極值問題：

13、函數(shù)的自變量是僅受指定域限制的極值問題。(2)條件極值問題：函數(shù)的參數(shù)是除了指定域的約束外，受其他條件限制的極值問題。一般格式：在條件組的限制中查找目標(biāo)函數(shù)的極值。3.6.2解決兩類極端問題：(1)無條件解決極限問題4:方法1:用函數(shù)的正定性解決三元以上函數(shù)的極值問題。定義1:設(shè)定實(shí)際次要型態(tài)如果是任意的，這時(shí)叫做正定二次，正定矩陣。如果是任意的，這時(shí)叫負(fù)二次，負(fù)固定矩陣。如果任何一方，存在，存在，則稱之為正半定(semi-negative)次類型，稱之為正半定(semi-negative)矩陣。如果對任意性、留任性、其他的，稱為不確定二次、不確定矩陣。定義2: n元函數(shù)在鄰域中有一階和二階連

14、續(xù)部分微分，稱為函數(shù)點(diǎn)處的梯度。定理1: n元函數(shù)對每個(gè)參數(shù)都有一階連續(xù)部分微分。是的，停車點(diǎn)。獲得極值的必要條件是。定理2:函數(shù)的一個(gè)根有一階，二階連續(xù)部分微分，記憶=0(I)正定矩陣的最小值。(ii)負(fù)矩陣的最大值。(iii)無限矩陣時(shí)，不等于的最小值。方法2:使用不等式方法查找極值利用平均不等式求極值平均不等式的形式是建立等號的充分條件：柯西不等式求極值所有和總是成比例的，等號才成立。(2)條件極值問題的解決方法1:通過釋放約束中的隱藏函數(shù)，將其替換為目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換為無條件極值問題，無條件極值的解決方案可以解決相應(yīng)的極值。方法2:拉格朗日乘數(shù)法一般格式：在條件組的限制中查找目標(biāo)函數(shù)的

15、極值。配置輔助函數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù)，是拉格朗日函數(shù)。點(diǎn)是條件極值點(diǎn)的必要條件是滿足以下方程式：點(diǎn)是否是極值點(diǎn)一般可以通過問題本身的特性來判斷。四、函數(shù)極值理論的應(yīng)用4.1一元函數(shù)極值的應(yīng)用例1:一艘船的航行燃料費(fèi)與該速度的立方成正比。據(jù)悉，速度為10(km/h)時(shí)燃料費(fèi)為每小時(shí)6元，其他與速度無關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)96元。當(dāng)問到船的速度是多少時(shí)，每航行1公里消耗的費(fèi)用最少嗎？:將船速設(shè)定為(km/h)，問題是每航行1km需要花費(fèi)。已知時(shí)，因此比例系數(shù)。所以有搜查令，尋求穩(wěn)定點(diǎn)。極值的第一個(gè)充分條件用最小點(diǎn)進(jìn)行測試。這個(gè)函數(shù)可以在上面引用，并且有自己的極值點(diǎn)，所以它是最小值。船速為20公里/h時(shí)，航行1公里的費(fèi)用最低，值7.2元。(使用極值的第一個(gè)充分條件)示例2:創(chuàng)建一個(gè)邊長相等的正方形，剪切與這個(gè)矩形的正方形大小相等的正方形，創(chuàng)建一個(gè)沒有蓋子的箱子，當(dāng)被問及小正方形的邊長是什么值時(shí)，可以使箱子的體積最大。解決方案：將每個(gè)小矩形的邊長設(shè)置為，長方體的體積為在里面得