1、雙曲線題型總結(jié)題型一雙曲線定義的應(yīng)用1、如圖所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三內(nèi)角A、B、C滿足2sinA+sinC=2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即ba=.從而有|CA| |CB|=|AB|=2)【反思感悟】使用雙曲線的定義時(shí)易漏掉“差的絕對(duì)值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支2、P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲

2、線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|9，求|PF2|的值解在雙曲線1中，a4，b2.故c6.由P是雙曲線上一點(diǎn)，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.3、已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)F(x，y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2F的軌跡方程為：y21 (y1)題型二由方程研究幾何性質(zhì)4、求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)

3、方程1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.【反思感悟】求雙曲線的幾何性質(zhì)可先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式1 (或1)，再根據(jù)它確定a，b的值，進(jìn)而求出c.5若方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()Ak2，或2k5 B2k5 Ck5 D2k5解析由題意知：(|k|2)(5k)5，或2k0，b0)，由題意知c236279，c3.又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為，于是有解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得A(，4)，又兩焦點(diǎn)分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所

4、以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則可設(shè)雙曲線為1(270，b0)的一條漸近線為ykx (k0)，離心率ek，則雙曲線方程為()A.1 B.1 C.1 D.1解析雙曲線的漸近線方程可表示為yx，由已知可得k.又離心率ek，所以k.即，故a2b.答案C10、已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線方程為yx，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_(kāi)解析雙曲線頂點(diǎn)為(a,0)，漸近線為xy0，1，a2.又，b，雙曲線方程為y21.題型四雙曲線的實(shí)際應(yīng)用11、A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B的北偏西30相距4 km，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵

5、炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4 s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角解以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上kBC，BC中點(diǎn)D(4，)直線PD：y(x4)又|PB|PA|4，P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)P(x，y)則雙曲線方程為1(x0)聯(lián)立、式得x8，y5，P(8,5)，因此kPA.故炮擊的方位角為北偏東30.12、已知A、B兩地相距800 m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/

6、s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程解如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|PB|=3402=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2a2=44 400.因?yàn)閨PA|PB|=3402=6800，所以x0.因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡(雙曲線)的方程為 （x0.）知識(shí)點(diǎn)五求雙曲線的離心率13、(1)已知雙曲線的漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為_(kāi)；(2)設(shè)雙曲線1(ba0)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)、(0，b)兩點(diǎn)已知原點(diǎn)到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_(kāi)

7、解析(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為yx，依題意，e21， e；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其漸近線方程為yx，依題意，e21， e.(2)直線l的方程為1，即bxayab0.于是有c，即abc2.兩邊平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4.即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2，ba0，1，e212，故e24，e2.答案(1)或(2)214、(全國(guó)高考)設(shè)a1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(，2) B(，)C(2,5) D(2，)解析雙曲線方程為1，c.e.又a1，01.112.124.e0,b0)既關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,又關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;其

8、頂點(diǎn)為(a,0),實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b;其上任一點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)均滿足|x|a.2.雙曲線的離心率e = 的取值范圍是(1,+),其中c2=a2+b2,且=,離心率e越大,雙曲線的開(kāi)口越大.3.雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程為y=x,也可記為;與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為 (0).知識(shí)點(diǎn)六直線與雙曲線15、直線l在雙曲線1上截得的弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.解設(shè)直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由韋達(dá)定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y2

9、2x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m.直線l在y軸上的截距為.知識(shí)點(diǎn)一直線與雙曲線的位置關(guān)系16、已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)當(dāng)1k20，即k1，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x5，故此方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，且只有一個(gè)公共點(diǎn)(2

10、)當(dāng)1k20，即k1時(shí)，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)即k時(shí)，方程(*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩重合的公共點(diǎn)即k或k時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)綜上所述，當(dāng)k1或1k1或1k時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k1或k時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k或k時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)【反思感悟】討論直線和雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常歸結(jié)為討論含參數(shù)的一元二次方程在特定區(qū)間內(nèi)是否存在實(shí)根或討論實(shí)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，但要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性17、過(guò)雙曲線x21的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A

11、、B兩點(diǎn)，若|AB|4，這樣的直線有()A1條B2條 C3條 D4條解析右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，把x代入雙曲線方程得：y2，即當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)垂直于x軸時(shí)，l與雙曲線交的弦長(zhǎng)|AB|4，當(dāng)l與x軸重合時(shí)，|AB|2.由數(shù)形結(jié)合知，還存在兩條直線，使得|AB|4，故選C.知識(shí)點(diǎn)七、焦點(diǎn)三角形問(wèn)題18、F1、F2為雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF290，則F1PF2的面積是()A2 B4 C8 D16解析方程變形為y21，由題意由式兩邊平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|84.19橢圓y21(m1)與雙曲線y21(n0)有公共焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，求F1PF2的面積解根據(jù)橢圓與雙曲線焦點(diǎn)都在x軸上，不妨設(shè)P在第一象限，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，則由橢圓與雙曲線定義有可解得|PF1|mn，|PF2|mn，即