1、直線和雙曲線的位置關系一、要點精講1直線和雙曲線的位置關系有三種：相交、相切、相離.2弦長公式：設直線交雙曲線于，則，或二、基礎自測1經(jīng)過點且與雙曲線僅有一個公共點的直線有（ ） (A) 4條 (B) 3條 (C) 2條 (D) 1條2直線y= kx與雙曲線不可能（ ）（A）相交 （B）只有一個交點 （C）相離 （D）有兩個公共點3過雙曲線的一個焦點且與雙曲線的實軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長是(A) (B) (C) (D) 4若一直線平行于雙曲線的一條漸近線，則與雙曲線的公共點個數(shù)為 解：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個公共點，應注意直線與雙曲線不是相切5經(jīng)過雙曲線

2、的右焦點且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長是 6直線在雙曲線上截得的弦長為4，且的斜率為2，求直線的方程三、典例精析題型一：直線與雙曲線的位置關系1. 如果直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍有兩個公共點呢？解，所以=， 所以，故選D. 2(2010安徽)若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是 ()A. B. C. D.解：由得(1k2)x24kx100，解得k0進行驗證即可6. 雙曲線方程為.問：以定點B(1,1)為中點的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明理由7、已知中心在原點，頂點在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點（）求雙曲線的方程；（

3、）動直線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點，問是否存在直線使平分線段。試證明你的結論。 題型三： 求雙曲線方程8. 已知焦點在x軸上的雙曲線上一點，到雙曲線兩個焦點的距離分別為4和8，直線被雙曲線截得的弦長為，求此雙曲線的標準方程9、設雙曲線與直線相交于不同的點A、B.求雙曲線的離心率的取值范圍；設直線與軸的交點為，且，求的值。解：(1)將yx1代入雙曲線y21中得(1a2)x22a2x2a20 由題設條件知，解得0a且a1， 又雙曲線的離心率e，0a且e.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) ， (x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的兩根，且1a20

4、， x2，x，消去x2得， a0，a.10. 已知雙曲線的焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于、兩點，若 (其中為原點），求雙曲線方程。11. 雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程解：（）設， 由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入，化簡有 將數(shù)值代入，有, 解得 故所求的雙曲線方程為。12、已知雙曲線1(ba0)，O為坐標原點，離心率e2，點M(，)在雙曲線上(1) 求雙曲線的方程；(2) 若直線l

5、與雙曲線交于P，Q兩點，且.求的值解： (1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2.點M(，)在雙曲線上，1533a2.a24.所求雙曲線的方程為1.(2)設直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1，得|OP|2x2y2. 則OQ的方程為yx，同理有|OQ|2， .13(2012上海)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y21.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ；(3)設橢圓C2：4x2y21.若M、N分別是C1

6、、C2上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值解：(1)雙曲線C1：，左頂點A，漸近線方程為：yx.過點A與漸近線yx平行的直線方程為，即yx1.解方程組，得. 所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)證明：設直線PQ的方程是yxb，直線PQ與已知圓相切，1，即b22.由得x22bxb210. 設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220. 故OPOQ.(3)證明：當直線ON垂直于x軸時，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為yk

7、x(顯然)，則直線OM的方程為yx. 由得|ON|2.同理|OM|2. 設O到直線MN的距離為d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2， 3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值五、能力提升1若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線總有公共點，則b的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 2過雙曲線的右焦點F作直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線有（ ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條3過點的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，且這個公共點恰是雙曲線的左頂點，則雙曲線的實軸長等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A) (1，2 (B)（1，2) (C) 2，+) (D) (2，+)6直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是 7. 已知傾斜角為的直線被雙曲線截得