1、基 礎(chǔ) 工 程,青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院 地基教研室,3.3 地基計(jì)算模型,進(jìn)行地基上梁和板分析時(shí)，必須解決基底壓力分布和沉降計(jì)算問題，它涉及土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，表達(dá)這種關(guān)系模式稱為地基模型。,土的應(yīng)力應(yīng)變特性：非線性、彈塑性、土的各向異性、結(jié)構(gòu)性、流變性、剪脹性。 影響土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力條件：應(yīng)力水平、應(yīng)力路徑、應(yīng)力歷史。,（1）線彈性模型 文克勒地基模型，彈性半空間地基 模型，有限壓縮層地基模型,（2）剛塑性模型 用于地基承載力、邊坡穩(wěn)定、 土壓力等計(jì)算。,（3）理想彈塑性模型,（5）彈塑性模型 劍橋模型（Cam-Clay）用于粘土 萊特-鄧肯模型（Lade-Duncan）用于砂土 （6）

2、粘彈性模型,（4）非線性彈性模型 E-模型（鄧肯-張Duncan-Chang、雙曲線） K-G模型,一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程師文克勒提出如下假設(shè)：地基上任一點(diǎn)所受的壓力強(qiáng)度p與該點(diǎn)的地基沉降量s成正比。 p=kS K為基床反力系數(shù)，單位kN/m3,把地基劃分許多豎直土柱，每條土柱可由一根彈簧代替。壓力與變形成正比。 基底反力圖形與豎向位移相似，如剛度大（基礎(chǔ)）受荷后基礎(chǔ)底面仍保持平面，基底反力圖形按直線規(guī)律變化。,適用范圍： 1）地基主要受力層為軟土； 2）厚度不超過基礎(chǔ)底面寬度之半的薄壓縮層地基； 3）塑性區(qū)較大時(shí)； 4）支承在樁上的連續(xù)基礎(chǔ)，可以用彈簧體系代替群樁。 優(yōu)點(diǎn)：

3、形式簡單、參數(shù)少，應(yīng)用比較廣泛。 缺陷：該模型不能擴(kuò)散應(yīng)力和變形，不能傳遞剪力。,二、 彈性半空間地基模型,彈性半空間地基模型：假定將地基視為均質(zhì)的線性變形半空間，用彈性力學(xué)求解地基附加應(yīng)力或位移，地基上任意點(diǎn)沉降與整個(gè)基底反力及相鄰荷載分布有關(guān)。 1）布辛奈斯科解，作用P時(shí)距r表面沉降s為 2）均荷作用下，矩形中心點(diǎn)沉降，可對上式積分得,按疊加法，網(wǎng)格i中點(diǎn)的沉降為所有n個(gè)網(wǎng)格上的基底壓力分別引起的沉降之和，即,即對于整個(gè)基礎(chǔ)有,稱為地基柔度矩陣,優(yōu)點(diǎn)：能夠擴(kuò)散應(yīng)力和變形，可以反應(yīng)鄰近荷載的影響。 缺點(diǎn)： 模型的擴(kuò)散能力往往超過地基實(shí)際情況，沉降量和沉降范圍比實(shí)測結(jié)果大。 未能考慮到地基的成

4、層性、非均質(zhì)性以及土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性等重要因素。,三、有限壓縮層地基模型,有限壓縮層地基模型：把計(jì)算沉降的分層總和法應(yīng)用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于各計(jì)算分層在側(cè)限條件下壓縮量之和。 公式同彈性半空間地基模型，柔度矩陣： tij第i個(gè)棱柱體中第t分層由P=1/f引起的豎向附加應(yīng)力的平均值(取中點(diǎn)),優(yōu)點(diǎn)： 較好地反映了地基土擴(kuò)散應(yīng)力和變形地能力，反映鄰近荷載的影響； 考慮了土層沿深度和水平方向的變化。 缺點(diǎn)：未能考慮土的非線性和基底反力的塑性重分布。,四、 相互作用基本條件,兩個(gè)條件 1）靜力平衡 外荷載和基底反力作用下滿足 2）變形協(xié)調(diào) 撓度=沉降量,解析解：指能以函數(shù)的形式解析

5、地表達(dá)出來地解答。如文克勒地基上梁的解答。 數(shù)值解：把梁或板微分方程離散化，最終得到一組線性代數(shù)方程，從而求得近似地?cái)?shù)值解。 有限單元法 有限差分法,3.4 文克勒地基上梁計(jì)算,3.4.1 無限長梁的解答 一、微分方程,根據(jù)材料力學(xué)，梁撓度w的微分方程式為：,由梁的微單元的靜力平衡條件M =0、V =0得到：,將上式連續(xù)對坐標(biāo)x取兩次導(dǎo)數(shù)，便得：,對于沒有分布荷載作用（q = 0）的梁段，上式成為：,上式是基礎(chǔ)梁的撓曲微分方程，對哪一種地基模型都適用。,采用文克勒地基模型時(shí),文克勒地基上梁的撓曲微分方程,柔度特征值：,單位為m-1,其倒數(shù)為特征長度。 值與地基基床系數(shù)和梁的抗彎剛度有關(guān)， 值越

6、小，則基礎(chǔ)的相對剛度愈大。,四階常系數(shù)線性常微分方程,特征方程,特征方程根,解得該方程的通解為：,式中C、C、C和C為積分常數(shù),2 .集中荷載作用下的解答,(1)豎向集中力作用下,邊界條件：當(dāng)x時(shí)，w0。將此邊界條件代入上式，得C=C=0。梁的右半部，上式成為：,對稱性：在x=0處，dw/dx=0，代入上式得C3C4=0。令C3=C4=C，則上式成為,O,x,靜力平衡條件：再在O點(diǎn)處緊靠F0的左、右側(cè)把梁切開，則作用于O點(diǎn)左右兩側(cè)截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根據(jù)符號規(guī)定，在右側(cè)截面有V=F0 /2，由此得C=F0/2kb 。,F0,+V,符號規(guī)定,O,x,將上式對x依次取一階、二階

7、和三階導(dǎo)數(shù)：,對F0左邊的截面（x0），需用x 的絕對值代入計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為w和M時(shí)正負(fù)號不變，但q 和V則取相反的符號。,（2）集中力偶作用下,當(dāng)x時(shí)，w0，C=C=0。,當(dāng)x=0時(shí)w=0，所以C3=0。,M0,M0/2,在右側(cè)截面有M=M0/2，由此得C4=M02/kb，于是,M0,O,x,求w對x的一、二和三階導(dǎo)數(shù)后，所得的式子歸納如下：,當(dāng)計(jì)算截面位于M0的左邊時(shí)，上式中的x取絕對值，w和M取與計(jì)算結(jié)果相反的符號，而q 和V的符號不變。,3、多個(gè)集中荷載作用下無限長梁計(jì)算,集中力 集中力偶,把各荷載單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的效應(yīng)疊加，即得到共同作用下的總效應(yīng)：,集中力 集中力偶,注意：1

8、）在每次計(jì)算時(shí)，均需把坐標(biāo)原點(diǎn)移到相應(yīng)的集中荷載作用點(diǎn)處；正確利用對稱性； 2）Aa、Da、Cb等系數(shù)是根據(jù)相應(yīng)x值分別查表得到；,3.4.2有限長梁,思路：把有限長梁轉(zhuǎn)化為無限長梁計(jì)算。,以無限長梁為基礎(chǔ)，利用疊加原理來求得滿足有限長梁兩自由邊界條件的解答。,附加荷載FA 、MA和FB 、MB稱為梁端邊界條件力。,設(shè)外荷載在梁A、B兩截面上所產(chǎn)生的彎矩和剪力分別為Ma、Va及Mb、Vb，則,解上述方程組得：,1、將有限長梁視為無限長梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B處的內(nèi)力，并疊加為,2、在無限長梁A,B處施加梁端邊界條件力MA，PA ，MB，PB, 使其產(chǎn)生的A,B處的內(nèi)力為，-Ma

9、，-Va ，-Mb，-Vb；可求出梁端邊界條件力。,3、在無限長梁上，計(jì)算梁上外荷載以及兩端邊界力共同作用下無限長梁上待求位置處的內(nèi)力及位移。,有限長梁的計(jì)算步驟：,掌握有限長梁的計(jì)算,3.4.3柔度指數(shù),梁的柔度特征值,表征文克勒地基上梁的相對剛?cè)岢潭鹊囊粋€(gè)無量綱值 按ll值的大小將梁可劃分三種：,計(jì)算模式：,對于短梁，采用基底反力呈直線分布的簡化方法計(jì)算； 對于有限長梁，應(yīng)用疊加原理，轉(zhuǎn)化為無限長梁計(jì)算； 對于長梁，如柔度較大的梁，可直接按無限長梁進(jìn)行簡化計(jì)算；但如梁上的集中荷載與梁端的最小距離x/時(shí)，按有限長梁計(jì)算。,在選擇計(jì)算方法時(shí)，除了按l值劃分梁的類型外，還需兼顧外荷載的大小和作用

10、點(diǎn)位置。,在實(shí)際工程中，基礎(chǔ)梁還存在一端為有限梁端，另一端為無限長，稱為半無限長梁。,基床系數(shù)k的大小取決于基底壓力大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載等等因素。,物理意義：使土體產(chǎn)生單位位移所需的應(yīng)力；,2）按載荷試驗(yàn)成果確定 如地基壓縮層內(nèi)土質(zhì)均勻，可用在載荷試驗(yàn)p-s曲線確定k。取對應(yīng)于基底平均反力p及其對應(yīng)的沉降值s。,承壓板邊長30cm,太沙基建議的方法：1ch*1ch的方形載荷板 砂土 考慮了砂土的變形模量隨深度逐漸增大的影響。 粘性土,例圖3-1中的條形基礎(chǔ)抗彎剛度EI =4.3103 MPam4，長l=17m，底面寬b =2.5m，預(yù)估平均沉降sm=39.7mm。試計(jì)算基礎(chǔ)中點(diǎn)C處的撓度、彎矩和基底凈