1、羅爾定理與拉格朗日定理的證明與應(yīng)用單位：旅游系 專業(yè)：酒店管理姓名：王姐 學(xué)號：1414061039【摘要】羅爾定理與拉格朗日定理是是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷導(dǎo)數(shù)的整體性質(zhì)的工具。拉格朗日定理存在于多個科學(xué)領(lǐng)域之中，其中微積分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又稱拉式定理，是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等數(shù)學(xué)中有著重要作用，也是一個基礎(chǔ)性定理。在許多方面它都有重要的作用 ，在進行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】羅爾定理、拉格朗日定理、重要應(yīng)用。引言拉格朗日定理是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時也是一個基礎(chǔ)性的定

2、理，在高等數(shù)學(xué)中有著重要作用，要學(xué)習(xí)和掌握它的證明方法。羅爾定理：如果函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間兩個端點的函數(shù)值相等，即，使得。羅爾定理的證明：因為函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，所以它在上必能取得最大值和最小值。（1）如果，則在上恒等于常數(shù)，因此，在整個區(qū)間內(nèi)恒有，所以，內(nèi)每一點都可取作，此時定理顯然成立。（2）如果，因，則數(shù)與中至少有一個不等于端點的函數(shù)值，設(shè)，這就是說，在內(nèi)至少有一點，使得。下面證明。由于是最大值，所以不論為正或負，恒有，。當(dāng)時，有已知條件存在可知，；當(dāng)時，有，于是 。拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點，使得：或。拉格朗日定理的證明：。有定理假設(shè)易知滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；,因此，有羅爾定理可知，至少存在一點，使得：，即。對于，由于它介于與之間，由此可將表示成。其中，于是拉格朗日公式也可以改寫為：，于是，羅爾定理是拉格朗日定理時的特殊情況。拉格朗日定理在不等式中的應(yīng)用求證：時，。證明：1. 時， 存在。2. 時，存在，只要證。，又，。結(jié)束語通過對羅爾定理與拉格朗日定理的證明，發(fā)現(xiàn)采用的是構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，還講述了羅爾定理即拉格朗日定理在不等式當(dāng)中的應(yīng)用。參考文獻華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊.高等教育出版社，2001張橋艷.微