1、解直角三角形一.選擇題1（2016山東省菏澤市3分）如圖，ABC與ABC都是等腰三角形，且AB=AC=5，AB=AC=3，若B+B=90，則ABC與ABC的面積比為（）A25：9B5：3C：D5：3【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到B=C，B=C，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=ABsinB，AD=ABsinB，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，然后根據(jù)三角形面積公式即可得到結(jié)論【解答】解：過A 作ADBC于D，過A作ADBC于D，ABC與ABC都是等腰三角形，B=C，B=C，BC=2BD，BC=2BD，AD=ABsinB，AD=ABsinB

2、，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，B+B=90，sinB=cosB，sinB=cosB，SBAC=ADBC=ABsinB2ABcosB=25sinBcosB，SABC=ADBC=ABcosB2ABsinB=9sinBcosB，SBAC：SABC=25：9故選A【點評】本題考查了互余兩角的關(guān)系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式2. （2016重慶市A卷4分）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進行測量大樹CD高度的綜合實踐活動，如圖，在點A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36，然后沿在同一剖面的斜坡AB

3、行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點D處，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大樹CD的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin360.59，cos360.81，tan360.73）（）A8.1米B17.2米C19.7米D25.5米【分析】作BFAE于F，則FE=BD=6米，DE=BF，設(shè)BF=x米，則AF=2.4米，在RtABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的長度，在RtACE中，由三角函數(shù)求出CE，即可得出結(jié)果【解答】解：作BFAE于F，如圖所示：則FE=BD=6米，DE=BF，斜面AB的坡度i=1：2.4，AF=2.4BF，設(shè)B

4、F=x米，則AF=2.4x米，在RtABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，DE=BF=5米，AF=12米，AE=AF+FE=18米，在RtACE中，CE=AEtan36=180.73=13.14米，CD=CEDE=13.14米5米8.1米；故選：A【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)；由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵3. （2016浙江省紹興市4分）如圖，在RtABC中，B=90，A=30，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則EAD的余弦值是（）A B C D【考

5、點】解直角三角形【分析】設(shè)BC=x，由含30角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根據(jù)題意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EMAD于M，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=AD=x，在RtAEM中，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果【解答】解：如圖所示：設(shè)BC=x，在RtABC中，B=90，A=30，AC=2BC=2x，AB=BC=x，根據(jù)題意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EMAD于M，則AM=AD=x，在RtAEM中，cosEAD=；故選：B4. （2016重慶市B卷4分）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端

6、E的俯角是45，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=1：，則大樓AB的高度約為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）A30.6B32.1C37.9D39.4【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【分析】延長AB交DC于H，作EGAB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大樓AB的高度【解答】解：延長AB交DC于H，作EGAB

7、于G，如圖所示：則GH=DE=15米，EG=DH，梯坎坡度i=1：，BH：CH=1：，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，BH=6米，CH=6米，BG=GHBH=156=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），=45，EAG=9045=45，AEG是等腰直角三角形，AG=EG=6+20（米），AB=AG+BG=6+20+939.4（米）；故選：D【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度、俯角問題；通過作輔助線運用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關(guān)鍵二.填空題1（2016山東省菏澤市3分）如圖，在正方形AB

8、CD外作等腰直角CDE，DE=CE，連接BE，則tanEBC=【考點】正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形；解直角三角形【專題】計算題【分析】作EFBC于F，如圖，設(shè)DE=CE=a，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD=CE=a，DCE=45，再利用正方形的性質(zhì)得CB=CD=a，BCD=90，接著判斷CEF為等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在RtBEF中根據(jù)正切的定義求解【解答】解：作EFBC于F，如圖，設(shè)DE=CE=a，CDE為等腰直角三角形，CD=CE=a，DCE=45，四邊形ABCD為正方形，CB=CD=a，BCD=90，ECF=45，CEF為等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtB

9、EF中，tanEBF=，即EBC=故答案為【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)2. （2016湖北荊州3分）全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外如圖，張三同學(xué)在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為1848，測得塑像頂部A處的仰角為45，點D在觀測點C正下方城墻底的地面上，若CD=10米，則此塑像的高AB約為58米（參考數(shù)據(jù)：tan78124.8）【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EC的長，進而得出AE的長，進而得

10、出答案【解答】解：如圖所示：由題意可得： CEAB于點E，BE=DC，ECB=1848，EBC=7812，則tan7812=4.8，解得：EC=48（m），AEC=45，則AE=EC，且BE=DC=10m，此塑像的高AB約為：AE+EB=58（米）故答案為：58【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出EC的長是解題關(guān)鍵三.解答題1. （2016湖北隨州8分）某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動課時間測量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨?，已知烈山坡面與水平面的夾角為30，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進1620尺到達E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60，求雕像AB的高度

11、【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，進行簡單計算即可【解答】解：如圖，過點E作EFAC，EGCD，在RtDEG中，DE=1620，D=30，EG=DEsinD=1620=810，BC=857.5，CF=EG，BF=BCCF=47.5，在RtBEF中，tanBEF=，EF=BF，在RtAEF中，AEF=60，設(shè)AB=x，tanAEF=，AF=EFtanAEF，x+47.5=347.5，x=95，答：雕像AB的高度為95尺2. （2016吉林7分）如圖，某飛機于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角=43，求

12、飛機A與指揮臺B的距離（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin43=0.68，cos43=0.73，tan43=0.93）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到B=43，然后利用B的正弦計算AB的長【解答】解：如圖，B=43，在RtABC中，sinB=，AB=1765（m）答：飛機A與指揮臺B的距離為1765m3. （2016江西8分）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時，以點A為支撐點，鉛筆芯端點B可繞點A旋轉(zhuǎn)作出圓已知OA=OB=10cm（1）當(dāng)AOB=18時，求所作圓的半徑；（結(jié)果精確到0.01cm）（2）保持AOB=1

13、8不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長度（結(jié)果精確到0.01cm）（參考數(shù)據(jù)：sin90.1564，cos90.9877，sin180.3090，cos180.9511，可使用科學(xué)計算器）【考點】解直角三角形的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意作輔助線OCAB于點C，根據(jù)OA=OB=10cm，OCB=90，AOB=18，可以求得BOC的度數(shù)，從而可以求得AB的長；（2）由題意可知，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，則AE=AB，然后作出相應(yīng)的輔助線，畫出圖形，從而可以求得BE的長，本題得以解決【解答】解：（1）作OCAB于點C，如

14、右圖2所示，由題意可得，OA=OB=10cm，OCB=90，AOB=18，BOC=9AB=2BC=2OBsin92100.15643.13cm，即所作圓的半徑約為3.13cm；（2）作ADOB于點D，作AE=AB，如下圖3所示，保持AOB=18不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，折斷的部分為BE，AOB=18，OA=OB，ODA=90，OAB=81，OAD=72，BAD=9，BE=2BD=2ABsin923.130.15640.98cm，即鉛筆芯折斷部分的長度是0.98cm4. （2016遼寧丹東10分）某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組想測量建筑物AB

15、的高度他們在C處仰望建筑物頂端，測得仰角為48，再往建筑物的方向前進6米到達D處，測得仰角為64，求建筑物的高度（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin48，tan48，sin64，tan642）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】RtADB中用AB表示出BD、RtACB中用AB表示出BC，根據(jù)CD=BCBD可得關(guān)于AB 的方程，解方程可得【解答】解：根據(jù)題意，得ADB=64，ACB=48在RtADB中，tan64=，則BD=AB，在RtACB中，tan48=，則CB=AB，CD=BCBD即6=ABAB解得：AB=14.7（米），建筑物的高度約為14.7米5.

16、 （2016四川宜賓）如圖，CD是一高為4米的平臺，AB是與CD底部相平的一棵樹，在平臺頂C點測得樹頂A點的仰角=30，從平臺底部向樹的方向水平前進3米到達點E，在點E處測得樹頂A點的仰角=60，求樹高AB（結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】作CFAB于點F，設(shè)AF=x米，在直角ACF中利用三角函數(shù)用x表示出CF的長，在直角ABE中表示出BE的長，然后根據(jù)CFBE=DE即可列方程求得x的值，進而求得AB的長【解答】解：作CFAB于點F，設(shè)AF=x米，在RtACF中，tanACF=，則CF=x，在直角ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角ABF中，tanAEB

17、=，則BE=（x+4）米CFBE=DE，即x（x+4）=3解得：x=，則AB=+4=（米）答：樹高AB是米6.（2016湖北黃石8分）如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30，CBE=45（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF結(jié)果精確到米）【分析】（1）作BHAF于H，如圖，在RtABF中根據(jù)正弦的定義可計算出BH的長，從而得到EF的長；（2）先在RtCBE中利用CBE的正弦計算出CE，然后計算CE和EF的和即可【解答】解：（1）作BHAF于H，如圖，

18、在RtABF中，sinBAH=，BH=800sin30=400，EF=BH=400m；（2）在RtCBE中，sinCBE=，CE=200sin45=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541（m）答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度與坡角問題：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式把坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關(guān)系為：itan7（2016湖北荊門6分）如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800（1+）米，小軍和小

19、明同時分別從A處和B處向山頂C勻速行走已知山的西端的坡角是45，東端的坡角是30，小軍的行走速度為米/秒若小明與小軍同時到達山頂C處，則小明的行走速度是多少？【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【分析】過點C作CDAB于點D，設(shè)AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用x表示出AC與BC的長，再根據(jù)小明與小軍同時到達山頂C處即可得出結(jié)論【解答】解：過點C作CDAB于點D，設(shè)AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，A=45，CDAB，AD=CD=x米，AC=x在RtBCD中，B=30，BC=2x，小軍的行走速度為米/秒若小明與小軍同時到達山頂C處，=，解得a=1米/秒答：小明

20、的行走速度是1米/秒8.（2016四川內(nèi)江）(9分)如圖8，禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45方向航行我漁政船迅速沿北偏東30方向前去攔截，經(jīng)歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號)北CAB3045圖8北CAB3045答案圖H考點三角函數(shù)、解決實際問題。解：如圖，過點C作CHAB于H，則BCH是等腰直角三角形設(shè)CHx，則BHx，AHCH30x2分AB200，xx200x100(1)4分BCx100()6分兩船行駛4小時相遇，可疑船只航行的平均速度100()445()8分答：可疑船只航行

21、的平均速度是每小時45()海里9分9（2016四川瀘州）如圖，為了測量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60米的點D（點D與樓底C在同一水平面上）出發(fā)，沿斜面坡度為i=1：的斜坡DB前進30米到達點B，在點B處測得樓頂A的仰角為53，求樓房AC的高度（參考數(shù)據(jù)：sin530.8，cos530.6，tan53，計算結(jié)果用根號表示，不取近似值）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【分析】如圖作BNCD于N，BMAC于M，先在RTBDN中求出線段BN，在RTABM中求出AM，再證明四邊形CMBN是矩形，得CM=BN即可解決問題【解答】解：如圖作BNCD于N，BMA

22、C于M在RTBDN中，BD=30，BN：ND=1：，BN=15，DN=15，C=CMB=CNB=90，四邊形CMBN是矩形，CM=BM=15，BM=CN=6015=45，在RTABM中，tanABM=，AM=27，AC=AM+CM=15+2710. （2016云南省昆明市）如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30，測得大樓頂端A的仰角為45（點B，C，E在同一水平直線上），已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【

23、分析】如圖，過點D作DFAB于點F，過點C作CHDF于點H通過解直角AFD得到DF的長度；通過解直角DCE得到CE的長度，則BC=BECE【解答】解：如圖，過點D作DFAB于點F，過點C作CHDF于點H則DE=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30，CE=10（m），BC=BECE=70107017.3252.7（m）答：障礙物B，C兩點間的距離約為52.7m11. （2016浙江省紹興市8分）如圖1，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點A處，測得河的北岸邊點B在

24、其北偏東45方向，然后向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60方向，如圖2（1）求CBA的度數(shù)（2）求出這段河的寬（結(jié)果精確到1m，備用數(shù)據(jù)1.41，1.73）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合題意計算即可；（2）作BDCA交CA的延長線于D，設(shè)BD=xm，根據(jù)正切的定義用x表示出CD、AD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可【解答】解：（1）由題意得，BAD=45，BCA=30，CBA=BADBCA=15；（2）作BDCA交CA的延長線于D，設(shè)BD=xm，BCA=30，CD=x，BAD=45，AD=BD=x，則xx=60，解得x=82，答：這段

25、河的寬約為82m12（2016海南）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45，其中點A、C、E在同一直線上（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長即可；（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角

26、形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長【解答】解：（1）在RtDCE中，DC=4米，DCE=30，DEC=90，DE=DC=2米；（2）過D作DFAB，交AB于點F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x米，四邊形DEAF為矩形，AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在RtABC中，ABC=30，BC=米，BD=BF=x米，DC=4米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在RtBCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+或x=4，則AB=（6+）米或（6）米【點評】此題考查

27、了解直角三角形仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵13（2016河南）如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37，旗桿底部B點的俯角為45，升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】通過解直角BCD和直角ACD分別求得BD、CD以及AD的長度，則易得AB的長度，則根據(jù)題意得到整個過程中旗子上升高度，由“速度=”進行解答即可【

28、解答】解：在RtBCD中，BD=9米，BCD=45，則BD=CD=9米在RtACD中，CD=9米，ACD=37，則AD=CDtan3790.75=6.75（米）所以，AB=AD+BD=15.75米，整個過程中旗子上升高度是：15.752.25=13.5（米），因為耗時45s，所以上升速度v=0.3（米/秒）答：國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中

29、邊角關(guān)系問題加以解決14.（2016山東省菏澤市3分）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國還巡警干擾，就請求我A處的魚監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45方向上，A位于B的北偏西30的方向上，求A、C之間的距離【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】作ADBC，垂足為D，設(shè)CD=x，利用解直角三角形的知識，可得出AD，繼而可得出BD，結(jié)合題意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案【解答】解：如圖，作ADBC，垂足為D，由題意得，ACD=45，ABD=30設(shè)CD=x，在RtACD中，可得AD=x，在RtABD中，可得BD=x，又BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，AC=x=20（海里）答：A、C之間的距離為20海里【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，難度一般15（2016山東省德州市4分）2016年2月1日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長征三號丙運載火箭成功將第5顆新一代北斗星送入預(yù)定軌道，如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當(dāng)火箭達到A點時，從位于地面R處雷達站測得AR的距離是