1、排列復習課,2020年6月23日星期W,一、復習引入：,排列數(shù)：,從n個不同元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.,排列：,排列數(shù)公式：,練習：,48,100,12,4）用數(shù)字1, 2, 3可寫出多少個沒有重復數(shù)字且小于1000的正整數(shù)？,解排列問題的常用技巧,解排列問題，首先必須認真審題，明確問題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答，同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解.,總的原則合理分類和準確分步,解排列問題，應按元素的性質(zhì)進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，

2、做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。,二、例題講解：,根據(jù)分步及分類計數(shù)原理，不同的站法共有,例1 6個同學和2個老師排成一排照相， 2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？,1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有 種方法.,若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有 種，1位的排法有 種, 第2、3、6、7位的排法有 種，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的站法有 種。,再安排老師，有2種方法。,解法2 見練習3（4）,解法1 分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類：,（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)？,個位數(shù)為零：,個位數(shù)為2或

3、4：,所以,練 習 1,（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？,分類：后兩位數(shù)字為5或0：,個位數(shù)為0：,個位數(shù)為5：,（3）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)字且大于31250的五位數(shù)？,分類：,（4）31250是由0，1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個數(shù)？,方法一：（排除法）,方法二：（直接法）,例2、由數(shù)字1、2、3、4、5可以組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)120個，把這些數(shù)從小到大排成一列數(shù)，構(gòu)成一個數(shù)列：12345，12354， 54321， 問：所有五位數(shù)各位數(shù)上數(shù)字之和是多少？所有五位數(shù)的和是多少？,萬位上的所有數(shù)字之和

4、為：,個位上的所有數(shù)字之和為：,千位上的所有數(shù)字之和為：,十位上的所有數(shù)字之和為：,百位上的所有數(shù)字之和為：,所以，所有五位數(shù)各位數(shù)上數(shù)字之和是：1800.,例2、由數(shù)字1、2、3、4、5可以組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)120個，把這些數(shù)從小到大排成一列數(shù)，構(gòu)成一個數(shù)列：12345，12354， 54321， 問：所有五位數(shù)各位數(shù)上數(shù)字之和是多少？所有五位數(shù)的和是多少？,所有五位數(shù)的和是：,（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”,對于特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。,例3 用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字 的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A.24 B.30 C.4

5、0 D.60,分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應優(yōu)先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；,0排在末尾時，有 個； 0不排在末尾時，先用偶數(shù)排個位，再排百位，最后排十位有 個； 由分類計數(shù)原理，共有偶數(shù) 30 個.,B,解題技巧分類講解：,（1）0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？,（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？,練 習 2,例4 用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復 數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_種。,（二）總體淘汰法(間接法、排除法）,對于含有否定

6、詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意既不能多減又不能少減。,分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個，0排在首位的 有 個 ，1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為0同時個位為1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。,（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？,（2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72,直接,練 習 3,（3）0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字且個位數(shù)字不是4的五位數(shù)？,（4）用間接法解例1“6個同學和2個

7、老師排成一排照相， 2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？”,（三）相鄰問題捆綁法,對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”在一起，看作一個“大”的元（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內(nèi)部進行排列。,例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？,分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，與其余4人共有5個元素做全排列，有 種排法，然后對甲，乙，丙三人進行全排列。,由分步計數(shù)原理可得： 種不同排法。,（四）不相鄰問題插空法,對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好

8、的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。,例6 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？,分析：可先讓其余4人站好，共有 種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同的排法。,（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？,2三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？,捆綁法：,插空法：,3如果有兩個男生、四個女生排成一排，要 求男生之間不相鄰，有幾種不同排法？,插空法：,練 習 4,例7 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 將7名學生排成一行，要求從左到右

9、，女生從矮到高 排列，有多少種排法？,（五）順序固定問題用“除法”,對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).,所以共有 種。,分析：先在7個位置上作全排列，有 種排法。其中 3個女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對應一種排法，,本題也可以這樣考慮：對應于先將沒有限制條件的其他元素進行排列，有 種方法；,再將有限制條件（順序要求）的元素進行排列，只有一種方法；,故，總的排列方法數(shù)為：,（1） 五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？,練 習 5,2三個男生，四個女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同

10、排法？,分析：若不考慮限制條件，則有 種排法，而甲， 乙之間排法有 種，故甲在乙前面的排法只有一種 符合條件，故 符合條件的排法有 種.,（六）分排問題用“直排法”,把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他 的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理.,例8 七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，則有多少種不同的坐法？,分析：7個人，可以在前后排隨意就坐，再無 其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以 不同的坐法有 種.,（1）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？,或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件， 所以,兩排可看作一排來處理 不同的坐法有 種,

11、（2）八個人排成兩排，有幾種不同排法？,練 習 6,（七）實驗法,題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。,例9 將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）,A.6 B.9 C.11 D.23,分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。,第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。,若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格應填3。,若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應填1。,同理，若第二方格內(nèi)填4，則

12、第三方格只能填1，第四方格應填3。因而，第一格填2有3種方法。,不難得到，當?shù)谝桓裉?或4時也各有3種，所以共有9種。,（八）住店法,解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：,一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得 種。,注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是 呢？,用分步計數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。,(九) 對應法,例11 在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場 比

13、賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要 舉行幾場？,分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的 所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要 進行一場比賽，所以淘汰99名選手就需要99場比賽。,（十）特征分析,研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進行推理，分析求解。,例12 由1，2，3，4，5，6六個數(shù)字可以組成多少個無重復且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？,分析數(shù)字特征：6的倍數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)。其中3的倍數(shù)又滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)”的特征。把6分成4組，（3），（6），（1，5），（2，4），每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù)。因此可分成兩類討論；,第一類：由1，2，4，5，6作數(shù)碼；首先從2，4，6中任選一個作個位數(shù)字有 ，然后其余四個數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以,第二類：由1，2，3，4，5作數(shù)碼。依上法有,（1）三個男生，四個女