1、專題復(fù)習(xí) 三角函數(shù)名師導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容剖析: 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它是解決生產(chǎn)、科研實(shí)際問(wèn)題的工具,又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它相關(guān)知識(shí)和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)以及其它各種應(yīng)用技術(shù)學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在的試驗(yàn)修訂本教材主要內(nèi)容有:任意角的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)在解斜三角形中的應(yīng)用.重點(diǎn)難點(diǎn):重點(diǎn)是:(1)三角函數(shù)的概念;(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和（差）、二倍角公式的推導(dǎo)及其在化簡(jiǎn)、求值、證明和解決一些實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用;(3)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì);(4)正弦定理與余弦定理在解斜三角形以及一些實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

2、難點(diǎn)是眾多的三角公式及其在三角恒等變形中應(yīng)用,函數(shù)y=Asin(x+)的圖象,三角函數(shù)問(wèn)題與其它數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于:(1)對(duì)學(xué)過(guò)的公式做到真正理解,記準(zhǔn)、記熟、用活,做到需要公式時(shí)順手拈來(lái);(2)深刻理解與掌握函數(shù)的基礎(chǔ)理論,再結(jié)合三角函數(shù)本身的特點(diǎn),準(zhǔn)確理解和掌握三角函數(shù)的有關(guān)概念;(3)注意化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想以及變換思想在解題中的運(yùn)用.命題趨勢(shì)1.高考縱覽:縱觀近十年來(lái)的全國(guó)高考試題,三角函數(shù)部分的分值約占全卷分值的16,其中三角函數(shù)的解答題出現(xiàn)的機(jī)率為50,其余多為選擇題與填空題.2.熱點(diǎn)分析:高考中有關(guān)本章的熱點(diǎn)問(wèn)題大致有以下幾種:(1)與三角函數(shù)圖象

3、有關(guān)的問(wèn)題;(2)與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題;(3)與三角函數(shù)的周期性有關(guān)的問(wèn)題;(4)與三角函數(shù)的最值有關(guān)的問(wèn)題;(5)與三角函數(shù)求值有關(guān)的問(wèn)題;(6)與三角形有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題.高考中對(duì)本章的考查體現(xiàn)以下一些特點(diǎn):(1)高考中重視對(duì)三角函數(shù)圖象的考查.主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換、伸縮變換.能夠根據(jù)三角函數(shù)的解析式畫出簡(jiǎn)圖,根據(jù)圖象寫出解析式.高考中有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值問(wèn)題以及解簡(jiǎn)單三角不等式問(wèn)題大多可以與圖象聯(lián)系起來(lái).由于三角函數(shù)線與三角函數(shù)圖象一樣,是三角函數(shù)的一種幾何表示，因此也要注意三角函數(shù)線在解決高考中有關(guān)比較三角函數(shù)值大小和解簡(jiǎn)單三角不等式問(wèn)題中的獨(dú)到作用.(

4、2)與三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值有關(guān)的問(wèn)題以及與三角函數(shù)的求值有關(guān)的問(wèn)題,通常都需要先對(duì)三角式進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜呛愕茸冃?達(dá)到“化一”標(biāo)準(zhǔn)(即一個(gè)名,一個(gè)角,對(duì)于周期性問(wèn)題還意味著一次方),(3)有關(guān)三角恒等變形的試題以能力立意,重視三角公式的選取與合理運(yùn)用.(4)三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題的解決不僅需要熟練的三角變形能力,還需要應(yīng)用三角形內(nèi)的正弦定理、余弦定理以及三角形內(nèi)角和定理等,因此有一定的難度.3.命題趨勢(shì):近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求,拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查,而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查以及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來(lái),加強(qiáng)了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查,對(duì)三

5、角函數(shù)的綜合問(wèn)題考查有向三角形中問(wèn)題伸展的趨勢(shì). 2004年作為全國(guó)大面積使用新教材的學(xué)生參加高考的第二年,高考命題一定會(huì)順應(yīng)新教材的基本精神,在考查難度上有所降低,考查題目將以選擇題與填空題形式出現(xiàn),但也有可能出現(xiàn)解法較簡(jiǎn)單的解答題.4.應(yīng)試策略:(1)立足課本、夯實(shí)基礎(chǔ),在基本概念,基本公式,三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用和基本計(jì)算、基本推理問(wèn)題上下功夫,重在掌握通解通法,對(duì)過(guò)于復(fù)雜的三角變換和需要特殊技巧才能解決的題目要少做.(2)注意突出方法與思維訓(xùn)練、注意數(shù)學(xué)思想的滲透以及與數(shù)學(xué)其它分支的綜合訓(xùn)練,提高分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題的能力.考點(diǎn)28 三角函數(shù)的定義考點(diǎn)聚焦1.理解任意角的概念、弧度

6、的意義,能正確進(jìn)行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,了解任意角余切、正割、余割的定義.3.會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切.知識(shí)回顧1.(2001.全國(guó).理)若sincos0,則在 (B) A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限2.(2000.全國(guó).文理)已知sinsin,那么下列命題成立的是 (D)A.若、是第一象限的角,則coscos B.若、是第二象限的角,則tantanC.若、是第三象限的角,則coscos D.若、是第四象限的角,則tantan3.(2002.全國(guó).春招)若角滿足sin20,cos-sincotB.tan

7、cos D.sincos5.(1993.上海)已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,2),則sin(2+)=.6.設(shè)0,則的tan 、sin、大小關(guān)系是sintan. 典例剖析例1.已知是第四象限的角,求、2、-、180-、180+角的終邊所在象限(或所在坐標(biāo)軸)解:是第四象限角,k3600+2700k3600+3600, kZ(1)k1800+1350k1800+1800, kZ當(dāng)k=2n,nZ 時(shí),在第二象限,當(dāng)k=2n+2,nZ時(shí), 在第四象限在第二或第四象限.(2)k1200+900k1200+1200, kZ當(dāng)k=3n,nZ 時(shí),n3600+

8、900n3600+1200,則在第二象限,當(dāng)k=3n+1,nZ 時(shí),n3600+2100n3600+2400,則在第三象限,當(dāng)k=3n+2,nZ 時(shí),n3600+3300n3600+3600,則在第四象限,是第二或第三或第四象限角(3)k7200+54002k7200+7200,kZ2是第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸上,(4)-k3600-3600-k3600-2700,kZ-是第一象限角,(5)-k3600-18001800-k3600-900,kZ180-是第三象限角,(6)k3600+45001800+k3600+5400, kZ180+是第二象限角,(4)(5)(6)另解:是第

9、四象限角,-的終邊與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,-是第一象限角.而180-的終邊與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,180-是第三象限角,又180+的終邊與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(或說(shuō)互為反向延長(zhǎng)線),180+是第二象限角.例2.若終邊與y=-2|x|的圖象重合,求的各個(gè)三角函數(shù)值.解:由已知可得,的終邊是射線y=-2x(x0)或y=2x(x0)(1)若的終邊為射線y=-2x(x0),在終邊上取點(diǎn)P(1，-2),得OP=,sin=-, cos=,tan =-2,cot=-,sec=,csc=-.(2)若的終邊為射線y=2x(x0),在終邊上取點(diǎn)P(-1,-2),得OP=,sin=-, cos=-tan =2, cot=

10、,sec=-,csc=-.例3.圓心在原點(diǎn),半徑為R的圓交軸正半軸于點(diǎn)A,P、Q是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)沿圓周作勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn),點(diǎn)Q順時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn),試求它們出發(fā)的第五次相遇時(shí)的位置及各自走過(guò)的弧長(zhǎng).解:易知,動(dòng)點(diǎn)P、Q由第k次相遇到第k+1次相遇所走過(guò)的弧長(zhǎng)之和恰好等于圓的一個(gè)周長(zhǎng)2R,因此,當(dāng)它們第5次相遇時(shí)走過(guò)的弧長(zhǎng)之和為10R.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q自A出發(fā)到第5次相遇走過(guò)的時(shí)間為秒,走過(guò)的弧長(zhǎng)分別為l、m,則l=tR, m=|-|tR=tR,則l+m=tR+tR=10R,t=20(秒)l=,m=.由些可知,動(dòng)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)的角度為=6+,設(shè)第5次相遇在M點(diǎn)處,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

11、-R,R),這時(shí)點(diǎn)P、Q走過(guò)的弧長(zhǎng)分別是和.歸納總結(jié)1.有關(guān)任意角的概念,要注意以下問(wèn)題:(1)區(qū)分終邊相同的角和相等的角;(2)區(qū)分象限角、軸線角與區(qū)間角;(3)熟悉與角共終邊的角的集合|=2k+,kZ,與角的終邊在同一直線上的角的集合|=k+,kZ,與角的終邊在同一直線上或與角的終邊垂直的角的集合|=+,kZ.2.已知角所在象限,應(yīng)熟悉所在象限.第一象限第二象限第三象限第四象限第一或第三象限第二或第四象限3.注意角度與弧度的換算,掌握弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式.4.重視三角函數(shù)線在比較三角函數(shù)值大小及解簡(jiǎn)單三角不等式等方面的應(yīng)用.應(yīng)用創(chuàng)新1.已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為c,當(dāng)扇形的半徑和中心角分別多大

12、時(shí),扇形面積最大?解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為r,則有l(wèi)+2r=c,即l=c-2r(0r).于是扇形面積是s=lr=(c-2r)r=-(r-)2+當(dāng)r=時(shí),Smax=.此時(shí),l=c-2r=,故圓心角=2(弧度).2.求函數(shù)y=logtanx(1-2sinx)的定義域解:據(jù)題意,有 即 由(1)和(2)得,x在第一、三象限且x終邊不在一、三象限角平分線上,故有x(k,k+)(k+,k+),kZ(4)利用單位圓中的正弦線解(3)得2k-2x2k+,kZ.k-xk+,kZ (5)又利用單位圓表示(4)和(5)的范圍,可得(4)與(5)的交集為(2k-,2k-)(2k,2k+)(2k+,2k+) (2

13、k+,2k+) ,kZ 考點(diǎn)訓(xùn)練1.若為第一象限角,那么sin2、cos2、sin、cos中必為正值的有 (B)A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2.設(shè)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-6a,-8a)(a0),則sin-cos= (D)A. B. - C.-或- D. -或3.把表示成2k+(kZ)的形式，使|最小的的值是 (A)A.B.C.D.4.若扇形半徑是r,中心角是(弧度),則其面積是(A)A.r2B.r22C.rD. r25.(1992.全國(guó).文)在0,2內(nèi)滿足sinx的x的取值范圍是 (B)A.0,B. ,C., D. ,6.若是第二象限角,則sin(cos)cos(sin)符號(hào)為負(fù) (填正或負(fù)

14、)7.已知集合A=|=2k,kZ,B=|=4k,kZ,A=|=k,kZ,則這三個(gè)集合之間的關(guān)系是BAC.8.已知為銳角，試證明10,y0,由三角函數(shù)定義，有sin+cos=+=.0,sin+cos又sin+cos=, 且0sin+cos1綜上，得1sin+cos.證法二：sin+cos=sin(+),為銳角,+,sin(+)1,1sin+cos.9.求函數(shù)y=lg(3-4sin2x)+的定義域.解:由題意知即 由單位圓中的正弦線得(1)的解集為(2k-,2k+)(2k+,2k+),kZ.又由數(shù)軸求(1)與(2)的交集得所求函數(shù)的定義域是-3, -)(-,)(,3.10.動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A(1,0

15、)同時(shí)出發(fā)沿單位圓逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),P點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)角,Q點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過(guò)角(其中0),如果P、Q兩點(diǎn)都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn),并且在第2秒時(shí)位于第二象限,求和的值以及點(diǎn)P在第3秒時(shí)經(jīng)過(guò)的路程.解:由已知可知14,14均為2的整數(shù)倍,故可設(shè)14=2m,14=2n (m,nZ).從而=,=,又P、Q在第2秒時(shí)位于第二象限，從而有2,2在第二象限,又0,0222,22, mn,又m,nZ, m=2, n=3,=,=,故點(diǎn)P在第3秒時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為31=.考點(diǎn)29 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)聚焦1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2+cos2=1,=tan,tancot=1.2.掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

16、：+k3600(kZ), -,1800,3600-,900-的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.3.靈活運(yùn)用上述公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、三角恒等式的證明.4.了解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中的其它關(guān)系式和其它誘導(dǎo)公式.知識(shí)回顧1.(2001.全國(guó).文)tan3000+sin4500的值為 (B)A.1+B.1-C.-1-D.-1+2.(1991.全國(guó).文理)已知sin=,并且是第二象限角,那么tan的值等于 (A)A.-B.-C.D.3.(1986.廣東）若0,2),且+=sin-cos，則的取值范圍是 (B)A.0,)B.,C.,D.,24.已知f(cosx)=cos4x，則f(sin300)的值為

17、 (B)A.B.-C.D.-5.（2002.上海）已知f(x)=若(,),則f(cos)+f(-cos)=.6.(1994.全國(guó).文理)已知sin+cos=,(0,)則cot的值是.典例剖析例1.已知=,kZ.求tan+cot的值.解:1.若k=2n(nZ),則有 =-cos=,cos=-0, 則是第一或第四象限的角.(1)若是第一象限角,則sin=.tan=,cot=,tan+cot=+=.(2)若是第四象限角,則sin=-=-.tan=-,cot=-,tan+cot=-=-.例2.設(shè)是第三象限角,問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,使得sin、cos是關(guān)于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的兩個(gè)根?

18、若存在,求出實(shí)數(shù)m;若不存在,說(shuō)明理由.解：設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m,由題設(shè)得36m-32(2m+1)0 ,sin+cos=-0 . 由于sin2+cos2=1,(sin+cos)2-2sincos=1將、代入上式，得(-)2-2=1即9m2-8m-20=0，得m1=2, m2=-由于m1=2不滿足條件，舍去.又m2=-不滿足條件,舍去.故滿足條件的實(shí)數(shù)m不存在.例3.已知+=.求2sin 2(3-)-3cos(+)sin(-)+2的值.解:由已知得,+tan=.即2tan2-5tan+2=0解得tan=或tan=2.故2sin2(3-)-3cos(+)sin(-)+2=2sin2-3sinco

19、s+2=cos2(2tan2-3tan)+2=( 2tan 2 -3tan)+2=(22 2-32)+2=.或原式=2() 2-3+2=.歸納總結(jié)1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式包括:(1)平方關(guān)系,(2)商數(shù)關(guān)系,(3)倒數(shù)關(guān)系.需注意的是:這是一組同角關(guān)系式,利用平方關(guān)系式進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算時(shí),需注意運(yùn)算結(jié)果的正負(fù)符號(hào),計(jì)算中應(yīng)盡可能少用平方關(guān)系式.2.應(yīng)用同角關(guān)系式的兩點(diǎn)技巧:(1)1的代換:1=sin2+cos2=tancot,(2)整體代換:為了計(jì)算或化簡(jiǎn)需要可將計(jì)算式作適當(dāng)變形,使得所給條件可整體代入.3.了解其它同角關(guān)系式對(duì)于提高解題的靈活性會(huì)有幫助:tan2+1=sec2,cot2+1=

20、csc2=cot,seccos=1,cscsin=1.4.應(yīng)用誘導(dǎo)公式的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)名稱與正負(fù)號(hào)的正確判斷,對(duì)于誘導(dǎo)公式:2k+(kZ),-,2-,一般常用函數(shù)名不變,符號(hào)看象限的口訣,對(duì)于誘導(dǎo)公式: , ,一般常用函數(shù)名改變,符號(hào)看象限的口訣.應(yīng)用創(chuàng)新1.若由f(cosx)=coskx可以推出f(sinx)=sinkx,求整數(shù)k應(yīng)滿足的條件.解:f(sinx)=fcos(-x)=cosk(-x)=cos(-kx)=當(dāng)k=4n+1,nZ時(shí),由f(cosx)=coskx可以推出f(sinx)=sinkx.2.已知sin(-)-cos(+)=()求值:(1)sin-cos , (2)sin3(-)

21、+cos3(+)解:(1)由已知得sin+cos=兩邊平方,得1+2sincos=, sincos=-.,sin-cos =.(2)sin3(-)+cos3(+)=cos3-sin3=(cos-sin)(cos2+cossin+sin2)=(cos-sin)(1+cossin)=-(1-)=-.考點(diǎn)訓(xùn)練1.已知f(x)=asin(x+)+bcos(x-),其中、a、b均為非零實(shí)數(shù),若f(2000)=-1,則f(2001)等于(C)A.-1B.0C.1D.22.若+=-1,則在 (C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.設(shè)cos1000=k,則tan800等于 (B)A. B.-

22、 C. D.4.已知(,),tan(-7)=- ,則sin+cos等于 (C)A. B. C.-D.-5.已知A為銳角,lg(1+cosA)=m,lg=n則lgsinA為 (D)A.m+ B.m-n C.(m+) D.(m-n)6.已知tan=-,則的值為.7.化簡(jiǎn) =1.8.若f(n)=sin(+),求證:f(n)f(n+4)+f(n+2)f(n+6)=-1.證明:f(n)f(n+4)+f(n+2)f(n+6)=sin(+)sin(+)+sin(+)sin(+)=sin(+)sin(+)+sin(+)sin(+)=sin(+)-sin(+)+cos(+)-cos(+)=-sin2(+)-co

23、s2(+)=-1.9.化簡(jiǎn)解:原式=.10.已知cos=m (-1m1),求sin、tan的值.解:(1)當(dāng)m=0時(shí),角的終邊在y軸上.若角終邊在y軸非負(fù)半軸上,則sin=1,tan不存在.若角的終邊在y軸非正半軸上,則sin=-1,tan不存在.(2)當(dāng)m=1時(shí),角的終邊在x軸上,則sin=0,tan=0.(3)當(dāng)-1m1且m0時(shí),角的終邊在第一、二、三、四象限內(nèi),若是一或第二象限角時(shí),sin=, tan=.若是第三或第四象限角時(shí),sin=-=-, tan=-.考點(diǎn)30 和角公式、二倍角公式考點(diǎn)聚焦1.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.能正確

24、運(yùn)用上述公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值和三角恒等式的證明.知識(shí)回顧1.(1993.全國(guó).文理)在直角三角形中,兩銳角為A和B,則sinAsinB為 (B)A.有最大值和最小值0 B.有最大值,但無(wú)最小值C.既無(wú)最大值,也無(wú)最小值 D.有最大值1,但無(wú)最小值2.(1995.全國(guó).文理)已知是第三象限角,且sin4+cos4=,那么sin2等于 (A)A. B.- C. D.- 3.(2000.北京安徽.春招)函數(shù)y=的最大值是 (B)A.-1 B. +1 C.1- D.-1- 4.(2000.北京安徽.春招)設(shè)、是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角,下列四個(gè)不等式中不正確的是 (D)A.tantan1 B.

25、sin+sin1 D.tan(+)0,sin+10,sin=,=.tan=tan=.例2.(1992.全國(guó).理)已知,cos(-)=,sin(+)=-,求sin2的值.解:,0-,+,sin(-)=,cos(+)=-,sin2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=(-)+(-)=-.例3.是否存在銳角和,使+2= ,tan=(2-)cot 同時(shí)成立?若存在,求出和的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:假設(shè)存在滿足條件的和,則由式得+=, tan(+)= 又由式得,tantan=2- 將式代入式,得tan+tan=3-.tan,tan是方程x2-(3-)x+(2-

26、)=0的兩個(gè)根,解得x1=1, x2=2-.0,tan1,tan=2-,tan=1,tan=.又、是銳角,=,=.存在=,=滿足題中條件.例4.求tan200+2tan500-tan700+sin37.50cos37.50+cos237.50的值.解:原式=tan200+2tan500-cot200+sin750+ (1+cos750)=-+2tan500 + (sin750+cos750)+ =+2tan500+(cos450sin750+sin450cos750)+ =-2+2tan500 +sin(750+450)+ =-2cot400+2cot400+sin1200+=+=.歸納總結(jié)1

27、.在運(yùn)用兩角和、兩角差、二倍角的相關(guān)公式時(shí),應(yīng)注意靈活選擇公式的應(yīng)用方向:(1)正用:公式從左到右的應(yīng)用;(2)逆用:公式從右到左的應(yīng)用;(3)變用:公式變形后的應(yīng)用,比如tan(+)=變形成tan+tan=tan(+)(1-tantan),二倍角余弦公式cos2=2cos2-1=1-2sin2變形成降次公式cos2=,sin2=或升次公式1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.2.重視角的變換:(1)湊角:如=(+)-,2=(+)+(-)等;(2)引入輔助角:如asin+bcos=(sin+cos),令cos=,sin=,則asin+bcos=(sincos+cossin)= s

28、in(+),其中即為輔助角.3.重視三角函數(shù)名的變換:如切化弦、弦化切等.應(yīng)用創(chuàng)新1.(1)若cos+cos=,sin+sin=,求cos(-)的值.(2)若sin(+)= ,sin(-)= ,求的值.解:(1)cos+cos=,sin+sin=,(cos+cos)2+(sin+sin)2=2+2(coscos+sinsin)=2+2cos(-)=+=.cos(-)=-(2)sin(+)= ,sin(-)= ,sincos+cossin=, sincos-cossin=,sincos=, cossin=,=5.2.(1)已知A+B=,求證:(1+tanA)(1+tanB)=2.(2)化簡(jiǎn):(1

29、+tan10)(1+tan20)(1+tan440)(1+tan450)(1)證明:A+B=,tan(A+B)= =tan=1,tanA+tanB=1-tanAtanB,(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=1+1-tanAtanB+tanAtanB=2.(2)解:由(1)的結(jié)論得,原式=(1+tan10)(1+tan440)(1+tan20)(1+tan430)(1+tan220)(1+tan230)(1+tan450)=222(1+1)=223.考點(diǎn)訓(xùn)練1.若P= (2),則化簡(jiǎn)P可得 (A)A.-cos B.cos C.-sin D.sin2.要使s

30、in-cos=有意義,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (D)A.m B.m-1 C.m-1或m D.-1m3.已知tan(+)=,tan(-)=,那么tan(+)的值是 (B) A. B. C. D.4.的值等于 (C)A.2+ B. C.2- D. 5.設(shè)a=sin140+cos140, b=sin160+cos160,c=,則a、b、c的大小關(guān)系是 (B)A.abc B.acb C.bcaD.bac6.銳角、滿足(1+tan)(1+tan)=4,則+=.7.-=4.8.化簡(jiǎn):sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解:原式=+-cos2cos2=+-cos2cos2=+cos2cos2

31、-cos2cos2=.9.若cos(-x)=-,x,求的值.解:原式=sin2x=sin2xtan(-x)而sin2x=cos(-2x)=cos2(-x)=2cos2(-x)-1=.又x,-x-4;f(x)0;f(x)的最小值是-4;f(x)最大值是0.其中正確的是 (B)A.和 B.和 C.和 D.和3.已知sin2=a,cos2=b,則tan(+)的值是 (C)A. B. C. D.4.已知(,2),則= (D)A.sin B.cos C.-sin D.-cos5.(1995.全國(guó).理)函數(shù)y=sin(x-)cosx的最小值是.6.(1994.上海.理)函數(shù)y=的最小正周期是.典例剖析例1

32、. 已知sinx+cosx=-(0x),求tanx的值.解法一:由已知條件兩邊同時(shí)平方得,(sinx+cosx)2=(-)2=.故sin2x=-,又0x,且sinx+cosx0,x,2x2,可得cos2x=,tanx=-.解法二:(以上同法一)tanx=-=-=-.解法三: 由已知條件兩邊同時(shí)平方得,(sinx+cosx)2=(-)2=,故sinxcosx=-,故sinx與cosx是方程25x2+5x-12=0的兩根,解得,x1=,x2=-,又由0x0,sinx=,cosx=-,tanx=-.例2.求sin2200+cos2800+sin200cos800的值.解:原式=+sin200cos8

33、00=1+(cos1600-cos400)+ (sin1000-sin600)=1-sin1000sin600+sin1000-=-sin1000+sin1000=.例3.(1996.全國(guó). 文理)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足:A+C=2B,+=-求cos的值.解:A+B+C=,且A+C=2B,B=,A+C=,原式可化為cosA+cosC=-2cosAcosC,2coscos=-cos(A+C)+cos(A-C),由于A+C=,代入上式得,cos=-cos(A-C),cos=-2cos2+,化簡(jiǎn)得2cos2+cos-=0解得cos=,或cos=-(舍去)cos的值為.歸納總結(jié)1半角公式有

34、:sin=,cos=,tan=,半角公式的主要作用是實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的升冪與降冪的轉(zhuǎn)化,同時(shí)可以完成角的形式的轉(zhuǎn)化,需要注意:(1)倍角與半角的相對(duì)性;(2)半角公式右邊根號(hào)前正負(fù)符號(hào)是由所在象限決定,若顯含條件不足以確定所在象限,則應(yīng)挖掘隱含條件,若所有條件都不能確定所在象限,則應(yīng)保留根號(hào)前的正負(fù)號(hào).這一點(diǎn)可與同角關(guān)系式中的平方關(guān)系式的應(yīng)用加以對(duì)照.2.和差化積與積化和差公式的主要作用是實(shí)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化,要注意同為正弦或同為余弦方可和差化積,否則要轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)方可應(yīng)用和差化積公式.應(yīng)用創(chuàng)新1.求tan200+4sin200的值.解法一:tan200+4sin200=+4sin200=.

35、解法二:tan200+4sin200=2sin600=.2.(1994.全國(guó).理)已知函數(shù)f(x)=tanx,x(0,), x1,x2(0,), x1x2,證明:f(x1)+f(x2)f().證明:tan x1+tanx2=+=.x,x2(0,),x1x2,2sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,且0cos(x1-x2)1,從而有0cos(x1+x2)+cos(x1-x2),(tan x1+tanx2)tan,即f(x1)+f(x2)f().考點(diǎn)訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=2sinsin(-)的最大值是 (A)A. B. C.- D.-2.sin(x+y)=sinx+siny的充要條件是

36、(D)A.x=-y B.x=y=k(kZ) C.x=2k或y=2k(kZ) D.x=2k或y=2k或x+y=2k(kZ)3.已知(,2)且sin(+)=,則tan等于 (A)A.-3 B.2 C.-2 D.34.下列各式中,值為的是 (D)A.sin150cos150 B.2cos2- 1 C. D.5.已知、以及+均為銳角,x=sin(+),y=sin+sin,z=cos+cos那么x、y、z的大小關(guān)系是 (A)A.xyz B.yxz C.xzy D.yzx6.若sinxtanx0,化簡(jiǎn)=.7.若+=1200,則y=cos2+cos2的最大值是.8.求證:(1)cos-cos+cos=;(2

37、)cos480+cos24-0-cos120-cos840=.證明:(1)左邊=(cos+cos+cos)=(sin+sin-sin+sin-sin)=sin=sin=.(2)左邊=(cos480-cos120)+(cos240-cos840)=-2sin300sin180+2sin540sin300=-sin180+sin540=2cos360sin180=2sin180cos180cos36=sin360cos36=sin720=.9.求函數(shù)f(x)=2sin4x+sin22x+5cos4x-cos3xcosx的最大、最小值.解:f(x)=2()2 +sin22x+5()2-(cos4x+

38、cos2x)=(1-2cos2x+cos22x)+ sin22x+(1+2cos2x+cos22x)- (2cos22x-1+cos2x)=+cos22x+sin22x+cos2x=3+cos2x.f(x)max=3+1=4. f(x)min=3-1=2.10.已知f(x)=sin(+x)+sin(-x)-2sin,對(duì)于xR,恒有f(x)0成立,(0,),且tan2=-,求cos與tan的值.解:f(x)=sin(+x)+sin(-x)-2sin=2sincosx-2sin=2sin(cosx-1)由于對(duì)于xR,恒有f(x)0,及cosx-10成立,故有sin0,又(0,),),22,3),又

39、tan2=-0,2(,3)sec2=-=-,cos2=-,cos=-=-,sin=-=-, tan=-. 考點(diǎn)32 三角函數(shù)的求值問(wèn)題考點(diǎn)聚焦正確運(yùn)用所學(xué)公式(同角關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和、兩角差、二倍角、半角、積與和差互化公式)解決三角函數(shù)的兩大求值問(wèn)題:(1)給角求值;(2)給值求值.知識(shí)回顧1.(1990.全國(guó).文)cos2750+cos2159+cos759cos159的值等于 (C)A. B. C. D.1+2.已知方程x2-4x-2=0兩個(gè)根為tan、tan,且tan0,+2(0,),+(0,),故tan(+)=-1.例3.已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足=tan,求的值.解法一:由題設(shè)得=

40、,解這個(gè)關(guān)于的方程,得=tan=.解法二:由題設(shè)得=tan,令=tan,得=tan,故tan(+)=tan,+=k+,故=k+(kZ),故=tan=tan(k+)=tan=. 歸納總結(jié)1.三角函數(shù)的求值問(wèn)題一般包括三種題型:(1)給角求值,(2)給值求值,(3)給值求角(作為一個(gè)專題放在后面復(fù)習(xí)),它們都是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q,在求值的三角函數(shù)式與特殊角的三角函數(shù)或已知其值的三角函數(shù)式之間建立聯(lián)系,從而達(dá)到求值的目的.這種變換的實(shí)質(zhì)是:變換角量,變換函數(shù)名稱,變換解析式的結(jié)構(gòu).故要達(dá)到理想的變異目標(biāo),就要注意湊角、湊名、湊常數(shù),通過(guò)湊配,變異求同.2.給角求值問(wèn)題,一般所給出的角都是非特殊角,從表面來(lái)看是很難的,但仔細(xì)觀察,非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系,解題時(shí),一般利用和積互化公式、兩角和與差、倍角、半角公式進(jìn)行變換,使非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過(guò)正負(fù)抵消、約分等消去非特殊角,達(dá)到求值目的.3.給值求值問(wèn)題,要特別注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響,若顯含條件不足以確定三角函數(shù)值,則應(yīng)挖掘隱含條件,若所給條件均不足以確定三角函數(shù)值,則應(yīng)對(duì)角的范圍進(jìn)行討論.應(yīng)用創(chuàng)新1.求下列各式的值:(1)tan100tan200+tan200tan600+tan600tan100 , (2)tan200tan400tan800解:(1)原式=tan100tan200+tan600(