1、1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一),1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標(biāo)變換),1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二),1.8 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1.1 狀態(tài)變量,狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量， 當(dāng)其在t=t0時刻的值已知時，則在給定tt0時刻的輸入作用下，便能完全確 定系統(tǒng)在任何tt0時刻的行為。,1.1.2 狀態(tài)矢量,如果 個狀態(tài)變量用

2、 表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量 的分量，則 就稱為狀態(tài)矢量，記作：,1.1.3 狀態(tài)方程,以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。,1.1.4 狀態(tài)方程,由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。,用圖下所示的 網(wǎng)絡(luò)，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。,圖一,根據(jù)電學(xué)原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：,式(1)就是圖1.1系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋?或,1.1.5 輸出方程,在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系 統(tǒng)的輸出方程。如在圖1.1系統(tǒng)中，指定 作為輸出

3、，輸出一般用y表 示，則有：,式（3）就是圖1.1系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示式為：,式中,1.1.6 狀態(tài)空間表達(dá)式,在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的 動態(tài)過程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時，從式(1)消去中間變量 i，得到二階微分方程為：,其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：,（6）,（5）,回到式（5）或式（6）的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量， 即令 則得一階微分方程組為：,（8）,設(shè)單輸入一單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為：,輸出方程式則有如下形式：,用矢量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達(dá)式則為：,因而多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形

4、式為：,式中，x和A為同單輸入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和nn系統(tǒng)矩陣；,（9）,（10）,為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接 傳遞，即令D = 0 。,1.1.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖,和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關(guān)系。對于式 (9)和式(10)所描述的系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖a和b所示。,1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,狀態(tài)空間表達(dá)式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變 量數(shù)，將它們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量， 然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用 箭頭將

5、這些元件連接起來。,對于一階標(biāo)量微分方程：,它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖,再以三階微分方程為例：,將最高階導(dǎo)數(shù)留在等式左邊，上式可改寫成,它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖,同樣，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，也可畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列 三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。,下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。,1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一),這個表達(dá)式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來建立，即根據(jù) 系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空問表達(dá)式；二是從系統(tǒng)的物理 或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運(yùn)動過程的高階微分方程或傳 遞函數(shù)予以演化而得。,1.3.1 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,

6、該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個積 分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 其輸入便是相應(yīng)的 然后，由模擬圖 直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。,1.3.2 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,一般常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣動 液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守 恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當(dāng)指定系統(tǒng)的輸出時，很容易寫出系 統(tǒng)的輸出方程。,1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二),考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動方程是一個 階線性常系數(shù)微 分方程：,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為,1.4.1 傳遞函數(shù)中沒有零點時的實

7、現(xiàn),在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為：,相應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,上式的實現(xiàn)，可以有多種結(jié)構(gòu)，常用的簡便形式可由相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 (下圖)導(dǎo)出。這種由中間變量到輸入端的負(fù)反饋，是一種常見的結(jié)構(gòu)形式， 也是一種最易求得的結(jié)構(gòu)形式。,將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為相變量，它是輸出 的各階導(dǎo)數(shù)。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的 導(dǎo)數(shù)。,從圖（a），容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,輸出方程為：,表示成矩陣形式，則為：,順便指出，當(dāng) 矩陣具有式上矩陣的形式時，稱為友矩陣，友矩陣的特 點是主對角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均 為零。,1.4.2 傳遞函數(shù)中有零點時的

8、實現(xiàn),此時，系統(tǒng)的微分方程為：,相應(yīng)地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,設(shè)待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,因為 上式可變換為,（26）,令,則,對上式求拉氏反變換，可得：,每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空問表達(dá)式：,或表示為：,推廣到 階系統(tǒng)，式(26)的實現(xiàn)可以為：,（28）,求得其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：,（29）,為求得 令式（29）與式（26）相等，通過對 多項式系數(shù)的比較得：,也可將式(30)寫成式(31)的形式，以便記憶。,（31）,將上圖a的每個積分器輸出選作狀念變最，如圖所示，得這種結(jié)構(gòu)下的 狀態(tài)空間表達(dá)式：,擴(kuò)展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：,（33）,式中,（34）,或記為：,1.

9、4.3 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn),一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為：,（35）,同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式(35)系統(tǒng)的實現(xiàn)也是非唯一的?，F(xiàn)采用 模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項求解：,對每一個方程積分：,故得模擬結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示：,取每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，如上圖所示。則式（35）的一種 實現(xiàn)為：,或表示為：,（36）,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標(biāo)變換),1.5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種 狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的 狀態(tài)矢量之間，實際上是

10、一種矢量的線性變換(或稱坐標(biāo)變換)。,設(shè)給定系統(tǒng)為：,（37）,我們總可以找到任意一個非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換， 得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為：,即,代入式（37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式：,（38）,1.5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量,1.系統(tǒng)特征值,系統(tǒng),系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程：,（43）,的根。 方陣A且有n個特征值；實際物理系統(tǒng)中， 為實數(shù)方陣， 故特征值或為實數(shù)，或為成對共軛復(fù)數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都 是實數(shù)。,2系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性,同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得：,式(43)與式(44)形式雖然不同，但實際是相等的，

11、即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下：,將特征方程寫成多項式形式 由于特征 值全由特征多項式的系數(shù) 唯一確定，而特征值 經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變 的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。,3特征矢量,一個 維矢量 ：經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量 即,如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應(yīng)于 的特征矢量，此時有,1.5.3 狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型,根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣 無重根時,有重根時,而欲得到變換的控制矩陣 和輸出矩陣CT，則必須求出變換矩陣T。下面根據(jù)A陣形

12、式及有無重根的情況，分別介紹幾種求T的方法。,1.A陣為任意形式,(1)A陣的特征值無重根時,設(shè) 是A的 個互異特征根，求出A。的特征矢量 則變換矩陣由A的特征矢量 構(gòu)成，即,2A陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即,(1)A的特征值無重根時，其變換是一個范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為：,(2)A特征值有重根時，以有 的三重根為例：,(3)有共軛復(fù)根時，以四階系統(tǒng)其中有一對共軛復(fù)根為例，即,3系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn),此時,已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：,（55）,現(xiàn)將式(55)展開成部分分式。由于系統(tǒng)的特征根有兩種情況：一是所有 根均是互異的，一是有重根。,1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.6.1 傳遞函數(shù)(陣)

13、,1單輸入一單輸出系統(tǒng),已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：,式中， 為 維狀態(tài)矢量； 和 為輸出和輸入，它們都是標(biāo)量；A 為 方陣; 為 列陣；c為 行陣；d為標(biāo)量，一般為零。,（62）,對式(62)進(jìn)行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有：,（63）,故UX間的傳遞函數(shù)為：,（64）,它是一個 的列陣函數(shù)。,間的傳遞函數(shù)為：,它是一個標(biāo)量。,2多輸入一多輸出系統(tǒng),已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：,（66）,式中， 為r1輸入列矢量； 為m1輸出列矢量；B為nr控制矩陣； C為mn輸出矩陣；D為mr直接傳遞陣；X，A為同單變量系統(tǒng)。,同前，對式(66)作拉氏變換并認(rèn)為初始條件為零，得：,（67）,故 間的傳遞

14、函數(shù)為,（68）,它是一個 nr 矩陣函數(shù)。,故 間的傳遞函數(shù)為：,它是一個mr矩陣函數(shù)，即,（69）,其中各元素 都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關(guān)系。 當(dāng) 時 ，意味著不同標(biāo)號的插入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系， 這正是多變量系統(tǒng)的特點。,式(69)還可以表示為：,可以看出， 的分母，就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項式， 的分子是 一個多項式矩陣。,應(yīng)當(dāng)指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而 不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的c對于已知系統(tǒng)如式(66)，其傳 遞函數(shù)陣為式(69)。當(dāng)做坐標(biāo)變換，即令 時，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空 間表達(dá)式為：,（71）,那么對應(yīng)上

15、式的傳遞函數(shù)陣 應(yīng)為：,即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。,1.6.2 子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)陣,實際的控制系統(tǒng)，往往由多個子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反 饋連接?，F(xiàn)僅以兩個子系統(tǒng)作各種連接為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)陣。,設(shè)系統(tǒng)1為：,（72）,簡記為：,設(shè)系統(tǒng)2為：,簡記為：,1并聯(lián)連接,所謂并聯(lián)連接，是指各子系統(tǒng)在相同輸入下，組合系統(tǒng)的輸出是各子系 統(tǒng)輸出的代數(shù)和，結(jié)構(gòu)簡圖如下圖所示。,由式(72)和式(73)，并考慮 得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：,從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：,故子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。,2串聯(lián)連接,串聯(lián)連接下如圖所示。讀者可自己

16、證明，其串聯(lián)連接傳遞函數(shù)陣為：,即子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之積。但應(yīng)注 意，傳遞函數(shù)陣相乘，先后次序不能顛倒。,3具有輸出反饋的系統(tǒng),如下圖所示，由圖可得：,即,從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：,這里又遇到分塊求逆的問題，假定：,故有：,從而得：,由上兩式解得：,即,于是：,所以有：,同理也可求得：,1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，完全適用于離散時間系統(tǒng)。類似在連續(xù) 系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式，叫系統(tǒng)的實現(xiàn)。在離 散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式，也是一種 實現(xiàn)。,實現(xiàn)的任務(wù)就是確定一種狀態(tài)空間表達(dá)式

17、：,(79),在認(rèn)為兩相鄰采樣時刻， 不變的條件下，式(79)的狀態(tài)空間表達(dá)式也可 以用模擬結(jié)構(gòu)圖(下圖)表示。下圖中T 代表單位延遲器，類似于連續(xù)系統(tǒng)中 的積分器。,實現(xiàn)是非唯一的，較簡單的實現(xiàn)見下圖所示的模擬結(jié)構(gòu)圖。圖中 為 已知參數(shù)， 為待定常數(shù)。以每個延遲器的輸出作為一個狀態(tài)變量，可得：,矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：,式中 的求法，類似于1.4節(jié)中式(34)求 的計算公式，即：,多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：,1.8 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.8.1線性時變系統(tǒng),以上討論的只是定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達(dá)式中的A、B、C、 D等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時間無關(guān)。,線性時變系統(tǒng)有：,它們的元素有些或全部是時間t的函數(shù)。,線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,（81）,從高階線性時變微分方程推演出狀態(tài)空間表達(dá)式的方法，類似于前述線 性定常系統(tǒng)。,1.8.2 非線性系統(tǒng),非線性的動態(tài)特性是用如下的n個一階微分方程組描述的：,用矢量矩陣表示，則為：,（83）,式中， 為矢量函數(shù)；