1、第七講 函數(shù)的綜合應(yīng)用一、知識(shí)梳理函數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)的解析式函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的值域和最值函數(shù)與方程函數(shù)與不等式函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題（數(shù)學(xué)模型）二、方法歸納1. 函數(shù)綜合應(yīng)用的重點(diǎn)函數(shù)的綜合應(yīng)用重點(diǎn)解決好四個(gè)問(wèn)題：準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的思想和方法；認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終.數(shù)、式、方程、不等式、初等函數(shù)等都是以函數(shù)為中心的代數(shù).揭示函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可

2、以從較高的角度處理數(shù)、式、方程、不等式、直線(xiàn)與圓的方程等內(nèi)容.所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問(wèn)題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮.在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，揭示了函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.把握數(shù)形結(jié)合的思想和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類(lèi)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.因此，既要從定形、定性、定理、定位等方面精確地觀察圖形、繪制簡(jiǎn)圖，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的常規(guī)變換，體現(xiàn)了“數(shù)”變換與“形”變換的辯證統(tǒng)一.認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是應(yīng)用聯(lián)系

3、與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)模型，求得問(wèn)題的解決.函數(shù)思想方法的應(yīng)用不但重要，而且廣泛，必須強(qiáng)化函數(shù)建模思想的應(yīng)用，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)建模的思想方法解決實(shí)際問(wèn)題.2.高中上學(xué)期函數(shù)的應(yīng)用（1）函數(shù)圖象、性質(zhì)與最值的綜合應(yīng)用；（2）函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用；（3）函數(shù)模型的綜合實(shí)際應(yīng)用. 三、典型例題精講【例1】已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足，若，則（ ）A. B.C.D.解析：由條件，由此解得，.所以，故選B技巧提示：這是函數(shù)的解析式與函數(shù)的奇偶性的綜合，屬于函數(shù)自身性質(zhì)間的綜合，難度不大，高考常作選擇題.又例：設(shè)函數(shù)和分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（）

4、 A.+|是偶函數(shù) B.-|是奇函數(shù)C.| +是偶函數(shù) D.|- 是奇函數(shù)解析：因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以是R上的偶函數(shù)，從而是偶函數(shù)，故選A.【例2】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析： 單調(diào)遞減且值域?yàn)?0，1，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋ǎ?），有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（0，1）.技巧提示：這是函數(shù)與方程的綜合.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合時(shí)，把方程視為常數(shù)函數(shù)，問(wèn)題被等價(jià)轉(zhuǎn)換為兩函數(shù)圖象有兩交點(diǎn)，容易得到的取值范圍.又例：已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.3 B.1 C.1 D.3解析：顯然，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的解.由函數(shù)，得，.故選A.

5、再例: 設(shè)函數(shù)， 若，則實(shí)數(shù)（）A.4或2 B.4或2 C.2或4 D.2或2解析：由，得；由，得，.故選B.【例3】函數(shù)的值域是（ ）A. B.C. D.解析：0，即 .故選C.技巧提示：由求函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式，題目并不難.若改為函數(shù)的定義域，有0，即.而函數(shù)是上的增函數(shù)，定義域?yàn)?又例：設(shè)函數(shù)則滿(mǎn)足2的的取值范圍是（）A. 1，2 B. 0，2 C. 1，） D. 0，）解析：2時(shí)，01； 又2時(shí)，1.滿(mǎn)足2的的取值范圍是0，），故選D.再例: 若，則定義域?yàn)椋?）A. B. C. D. 解析：由解得，故，選A.【例4】函數(shù)，（1）若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.（2）若

6、的定義域?yàn)?，1，求實(shí)數(shù)的值.解析：（1）若，即.當(dāng)1時(shí)，定義域?yàn)镽，適合；當(dāng)1時(shí)，定義域不為R，不符合. 若，記為二次函數(shù).定義域?yàn)镽，對(duì)恒成立.；綜合、得的取值范圍. （2）命題等價(jià)于不等式的解集為2，1，顯然.且、是方程的兩根，解得的值為2.技巧提示：這是二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式的綜合問(wèn)題，需要靈活地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.在第一問(wèn)中，需要對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論.又例：設(shè)函數(shù)，求使成立的的取值范圍.解析：由于是增函數(shù)，等價(jià)于（1）當(dāng)1時(shí)，2，式恒成立.（2）當(dāng)11時(shí)，2，式化為 2，即1.（3）當(dāng)1時(shí)，2，式無(wú)解.綜上的取值范圍是.再例：設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析：依

7、據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立.當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或【例5】已知.（1）求的定義域；（2）證明為奇函數(shù)；（3）求使0成立的的取值范圍.解析：（1），即.，即的定義域?yàn)?（2），為奇函數(shù). （3）當(dāng)1時(shí)，0，則，即，.因此，當(dāng)1時(shí)，使的的取值范圍為（0，1）.當(dāng)時(shí)，由，有，則，解得.因此，當(dāng)時(shí)，使的的取值范圍為（1，0）.技巧提示：（1）、（2）小題為對(duì)給定函數(shù)性質(zhì)的綜合研究，需要對(duì)基本初等函數(shù)性質(zhì)的牢固掌握；（3）小題是函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題，需要利用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.又例：已知函數(shù)， 且， （1）求函數(shù)的定義域； （2）求使的的取值范圍.解析：（1）由0且，

8、得 0，函數(shù)的定義域?yàn)? （2）由0，知當(dāng)1時(shí)，1；當(dāng)時(shí)，1且0.【例6】設(shè)函數(shù)在上滿(mǎn)足，且在閉區(qū)間0，7上，只有.（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間2020，2020上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解析：（）由于在閉區(qū)間0，7上，只有，故.若是奇函數(shù)，則，矛盾.所以不是奇函數(shù).由，從而知函數(shù)是以為周期的函數(shù).若是偶函數(shù)，則.又，從而.由于對(duì)任意的（3，7上，又函數(shù)的圖象的關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以對(duì)區(qū)間7，11）上的任意均有.所以，這與前面的結(jié)論矛盾. 所以，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（）由第（）小題的解答，我們知道在區(qū)間（0，10）有且只有兩個(gè)解，且.由于函數(shù)是以為周期的函數(shù)，故.所以在區(qū)間2000

9、，2000上，方程共有個(gè)解.在區(qū)間2000，2020上，方程有且只有兩個(gè)解.因?yàn)椋?，在區(qū)間2000，2020上，方程有且只有兩個(gè)解.在區(qū)間2020，2000上，方程有且只有兩個(gè)解.因?yàn)?，所以，在區(qū)間2020，2000上，方程無(wú)解.技巧提示：函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性密切相關(guān).第（1）小題需要綜合利用所給函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及零點(diǎn)，再根據(jù)奇偶函數(shù)的特征作出判斷.事實(shí)上由就能判斷不是奇函數(shù).又如果的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，那么因?yàn)榈膱D象關(guān)于和對(duì)稱(chēng)，可知4，10，14都是函數(shù)的周期.于是由得，這就產(chǎn)生了矛盾，所以的圖象不能關(guān)于對(duì)稱(chēng)，不是偶函數(shù).第（2）小題是根據(jù)函數(shù)周期性和函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)

10、，數(shù)出函數(shù)在給定區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn).又例：偶函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)于任意，都有，又當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)， .解析：偶函數(shù)滿(mǎn)足，得的周期為4.又偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，得時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.綜上所述，方程個(gè)解?！纠?】如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)和腰長(zhǎng)間的函數(shù)式，并求出它的定義域.解析：如圖所示，AB2R，C、D在O的半圓周上設(shè)腰長(zhǎng)ADBC，作DEAB，垂足為E，連結(jié)BD，那么ADB是直角，由此RtADEABD.2RE即所以即再由解得周長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的函數(shù)式為： ，定義域?yàn)椋?技巧提示：從問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，

11、再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義做出回答，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的一種最簡(jiǎn)單的情形.B CD又例：用長(zhǎng)為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長(zhǎng)為2，求此框架的面積與的函數(shù)式，并寫(xiě)出它的定義域.解析：如圖設(shè)，則CD弧長(zhǎng)，于是AD ， 因此，再由 解之得.即函數(shù)式是：，定義域是：.四、課后訓(xùn)練1.函數(shù)的定義域是（ ）A. B. C. D.2.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D.3.設(shè)是R上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù)和：對(duì)任意，；.則下列等式恒成立的是（ ）A. B.C. D.4.已知，（是常數(shù)，2），且.（1）

12、求；（2）若.求.5.已知是定義在上的奇函數(shù)，且1，若， 時(shí)，有0.（1）判斷函數(shù)在1，1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式：.6.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若1，求的值. 7已知二次函數(shù)為常數(shù)，且滿(mǎn)足條件：，且方程有等根.（1）求的解析式；（2）函數(shù)在的最大值為，求解析式.8.一家報(bào)刊攤點(diǎn)從報(bào)社進(jìn)報(bào)的價(jià)格是每份0.12元，賣(mài)出的價(jià)格是每份0.20元，賣(mài)不掉的報(bào)紙還可以以每份0.04元的價(jià)格退回報(bào)社，在一個(gè)月（以30天計(jì)算）里，有20天每天可賣(mài)出400份，其余10天每天能賣(mài)出250份.但每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同，他應(yīng)該每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多賺得多少元.五、參考答案1.2.D3.4.解析 （1）， 于是，有， ，解之，.（2）， ，. 5.（1）在1，1上是增函