1、北京市五中2012屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題 理班級 姓名 學(xué)號 成績 一.選擇題（每題5分，共40分）1.設(shè)全集若集合則下列結(jié)論正確的是( ) 2.已知非零實數(shù)、滿足則下列不等式中成立的是( ) 3.等比數(shù)列的前項和為，則公比等于( ) 或 或 4.若點是角終邊上異于原點的一點,則的值為( ) 5.已知點,為平面內(nèi)一動點,且滿足那么點的軌跡方程為( ) 6.對函數(shù)現(xiàn)有下列命題:函數(shù)是偶函數(shù); 函數(shù)的最小正周期是點是函數(shù)的圖像的一個對稱中心;函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中是真命題的是( ) 7.設(shè)等差數(shù)列的前項和為且滿足則中最大的項為( ) 8.若關(guān)于的代數(shù)式滿足:則( ) 二

2、.填空題（每題5分，共30分）9.已知且那么的值等于10.已知、的夾角為則11.函數(shù)對任意的都有成立，則的最小值為12.已知為:的兩條相互垂直的弦，垂足為則四邊形的面積的最大值為 .13.已知函數(shù)的定義域為則的取值范圍是14.在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點之間的“折線距離”.則坐標(biāo)原點與直線上一點的“折線距離”的最小值為圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值為三.解答題(本題滿分80分)15.(本題滿分13分)在銳角中，角的對邊分別為且.求的值；求的取值范圍.16.(本題滿分13分)已知:以點為圓心的圓與軸交于點、與軸交于點、其中為原點.(1)求證:的面積為定值;(2)設(shè)直線與圓交于點、若

3、求的方程.17. (本題滿分13分)已知四棱錐的底面是邊長為的正方形,底面,、分別為棱、的中點.PFEDCBA(1)求證:平面(2)已知二面角的余弦值為求四棱錐的體積.18. (本題滿分13分)某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立,記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求，的值；(3)求數(shù)學(xué)期望19.(本題滿分14分)已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) (1)設(shè)函數(shù)的圖象與軸交點為曲線在點處的切線方程是，求的值；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

4、間20.(本題滿分14分)設(shè)等差數(shù)列的公差且記為數(shù)列的前項和.(1)若、成等比數(shù)列,且、的等差中項為求數(shù)列的通項公式;(2)若、且證明：(3)若證明:答案一.選擇題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二.填空題9. 10. 11. 12. 13. 14.(第一空2分,第二空3分)三.解答題15.解:16.解:(1)由已知可設(shè)的方程為:分 分別令易知分 故的面積為定值分.(2)為圓心,分 而直線的方程為 分 當(dāng)時, 與直線相離,不合題意舍去11分 所以的方程為分17.解:(2)以為原點,直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)可得如下點的坐標(biāo):則有分因為底面所以平面的一個法向量為分設(shè)平面的一

5、個法向量為則可得即令得所以分由已知,二面角的余弦值為所以得分分18.解：事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1,2,3，由題意知 ，分(1)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 ，分答: 該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是(2)由題意知 整理得 ，由，可得，.分19.解:(1)， 在處切線方程為， 即，. 5分(2). 7分當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 當(dāng)時，令，得或 （）當(dāng)，即時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，； （）當(dāng)，即時，故在單調(diào)遞減； （）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞 綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的