1、在響應曲面方法中 三類中心復合設計的比較研究,航天工程試驗設計方法及數(shù)據(jù)分析 2011年12月13日,1,PPT學習交流,目 錄,2,PPT學習交流,一、中心復合設計(CCDs)的一些概念,響應曲面方法包括兩階段設計。第一階段設計包括進行因子試驗設計(部分因子試驗或全因子試驗)，擬合一階數(shù)學模型，確定模型及最速上升(或下降)方向并求取該階段最優(yōu)值。根據(jù)最速上升或下降方向，可以確定下次試驗各控制變量的變化范圍。第二階段設計的主要工作是當發(fā)現(xiàn)模型擬合誤差顯著時，擬合二次回歸方程，繪制出響應曲面與等值線圖。 CCDs得以最廣泛應用的原因可歸因于以下三方面: (1) CCDs的序貫本質(zhì), 它自然地將因

2、子點劃分為兩個子集, 第一個子集估計線性和兩因子交互效應, 第二個子集估計曲性效應; (2) CCDs很有效, 以最少的試驗循環(huán)提供了關(guān)于實驗變量和實驗誤差的諸多信息; (3)CCD s很靈活, 其設計類型可以應用于不同的操作域和設計域。因而CCDs被廣泛應用于工程、科學和工業(yè)中。,3,PPT學習交流,1.1 一些概念,操作域(Operability Region)，也稱可行域。 是在安全性允許的條件下，加工設備和生產(chǎn)過程的加工操作范圍所定義的變量集合，其上下限所界定的幾何區(qū)域，用O(x)表示。除非對過程有深入的了解，一般情況下，操作域是不明確的。,設計域(Region of Interest

3、)，也稱定義域。 指由設計變量各個水平集合的上下限所界定的幾何區(qū)域，用R表示。在此區(qū)域內(nèi)，可以用一個多項式模型很好地擬合真實的函數(shù)關(guān)系。每個試驗各自的區(qū)域或相同或不同，但都在操作域之內(nèi)。,4,PPT學習交流,1.1 一些概念,5,PPT學習交流,1.1 一些概念,6,PPT學習交流,1.2 CCDs簡介,因子點：立方體的頂點。主要用于估計線性項以及交互項。 中心點：位于圖形中間的點。中心點提供關(guān)于模型中是否存在曲性的信息并可以提供有關(guān)純誤差項的信息。 軸向點：“星”點。如果存在曲性，軸向點可用于估計純二次項。不能提供有關(guān)交互作用項的信息。,7,PPT學習交流,1.3 CCC、CCI和CCF簡介

4、,8,PPT學習交流,1.4 軸向距離和中心點數(shù)目的作用,9,PPT學習交流,二、設計的評價、比較和應用選擇,在RSM設計進行評價比較時, 應該根據(jù)以下三個方面的標準來衡量: 首先是Box and Wilson(1951)在其文章中引入了復合設計的概念, 從而能夠有效地估計二階模型的平方項, 利用預測方差在其設計域上的分布來評價一個設計, 得出了旋轉(zhuǎn)性這一特性; 另一個重要方面是指出了預測方差應具有穩(wěn)定性這一特點, 因為很多設計在其設計邊界上的方差是不穩(wěn)定的, 從而得出了一致精度的概念; 第三個有影響的工作是Box and Draper( 1959, 1963) 在其文章中引入了RSM 設計對

5、模型不符合規(guī)格限(Model Misspecification) 的穩(wěn)健性概念, 不僅由于模型不符合規(guī)格限所造成的偏移應該考慮, 即使是中等程度的不符合, 使用者也必須在設計選擇中認真考慮。,10,PPT學習交流,2.1 從設計域及其復雜性上比較,為了成功地運行任一安排的試驗, 操作域必須包括設計域。這意味著過程必須能夠在設計域上具有可操作性, 因此, 正確的選擇CCDs的第一步就是將設計域與操作域相比較。 在球形域中, 當對給定變量的最大尺寸進行變動時, 可以不必考慮操作域問題。如果實驗者能夠充分推測出優(yōu)化目標存在于所研究的變量區(qū)域內(nèi), 一般采用球形域。在許多實際情況下, 當過程不能夠在設計

6、域的一個或者多個邊界點上操作時, 設計域與操作域相同, 這時設計域是個立方體。 如果過程不能在區(qū)域的一個或者多個立方體的頂點上操作, 那么CCF是不合適的, 這就留給實驗者兩個選擇: 減少變量的區(qū)域產(chǎn)生一個新的CF, 或者產(chǎn)生一個CCI。由于將軸向點放在變量范圍的上下界, 析因點就落在了設計空間的內(nèi)部, CCI限制了由變量所定義的區(qū)域的真實設計空間。,11,PPT學習交流,2.1 從設計域及其復雜性上比較,12,PPT學習交流,2.1 從設計域及其復雜性上比較,第三步考慮設計的復雜性。 在應用CCC 時, 延伸所定義的變量界限得到軸向點, 這就需要操作過程中的每個變量具有五個水平(對于CC I

7、同樣)。相反, 對于CCF, 僅需要每個變量的三個水平, 使之成為一個更簡單的設計。實驗者應該充分重視由于設計水平的增加而增加的復雜性, 即使一個重新裝配過程的成本不高且不費時間, 但這會引起更多的實驗誤差變異來源。根據(jù)經(jīng)驗, 在應用實驗設計時, 最常見的失效原因是由于無法預期的較大的實驗誤差所引起的, 因此選擇誤差來源少的設計是有道理的, 因為在多數(shù)情況下, 可旋轉(zhuǎn)性設計的優(yōu)勢不能夠補償所增加的復雜性和相關(guān)的風險。,13,PPT學習交流,2.2 從設計的穩(wěn)健性方面進行比較,14,PPT學習交流,三、舉例,發(fā)動機連桿裝配的例子進行模擬分析, 已知有三個因子(底座基準面的平面度、連桿長度和連桿的

8、垂直度) 顯著地影響目標函數(shù)(損失函數(shù)和加工成本之和), 將三個因子的公差水平設為五個和三個水平來模擬這三個設計, 并將利用JMP分析所得到的實驗結(jié)果總結(jié)于表1中。,15,PPT學習交流,三、舉例,首先注意到三個設計所擬合的模型都是顯著的(p0.05), 即模型是充分代表了真實函數(shù)的,沒有偏倚誤差。而且三個設計所達到的擬合程度基本一致，這也說明了CCDs的有效性。其次從均方誤差(RMSE ) 來看, CCI最小, CCC最大, 這是由于預測誤差的大小是隨著設計點與設計域之外的距離呈幾何增長的緣故,而在這三種設計中,CCC 的設計域最大; 相對于CCC而言, CCI和CCF對預測響應的外推的穩(wěn)健

9、性要好, 由此說明軸向距離的選擇(設計域) 極大地影響了設計外推的穩(wěn)健性。,16,PPT學習交流,三、舉例,從模型系數(shù)的估計精度可看出, CCC的估計精度最高, 尤其是平方效應的估計, CCI最差, CCI明顯地不如CCC 有效, 這表明設計空間對模型參數(shù)的估計精度有影響。而從優(yōu)化點的坐標值可推斷出, 設計域同時極大地影響著優(yōu)化點的位置。,17,PPT學習交流,三、舉例,從設計點的預測誤差來看, CCC、CCI的軸向點和析因點性能相似; CCF 軸向點要顯著地好于析因設計點, 這說明球形設計的一致精度比立方域要好。對于被CCI排除但仍然在CCF的操作域之內(nèi)的各個頂點而言, 意味著預測誤差增加了

10、27%(36.1575435/28.3826518 -1)。從中心點的預測方差來看, CCF具有最高的精度, 誤差小, 這說明CCF設計對中心點的數(shù)目是穩(wěn)健的。,18,PPT學習交流,四、結(jié)論,19,PPT學習交流,四、結(jié)論,從模擬例子的分析可以看出, 在模型的擬合程度方面這三種設計同樣有效, 但在模型的估計精度、方差的穩(wěn)定性和一致精度以及模型外推的穩(wěn)健性方面都不同。,20,PPT學習交流,四、結(jié)論,21,PPT學習交流,四、結(jié)論,選擇CCDs的指導原則 基于可利用的資源和因子集合的限制來選擇經(jīng)典CCDs, 選擇由經(jīng)典設計所推薦的軸向距離和中心點的數(shù)目。只要優(yōu)化點靠近設計空間的中心,設計的選擇就不是關(guān)鍵的; 如果優(yōu)化點位于設計域之外靠近軸向點時, 一致精度和可旋轉(zhuǎn)性就尤其關(guān)鍵。當在CCC和CCF之間決策時, 實驗者必須知道是否CCC具有一致的預測誤差, 并且設計域的延伸是否充分地彌補由于附加了每個變量兩個水平所增加的操作過程的復雜性。 CCC、CCI和CCF各有其優(yōu)劣和應用條件, 不能等同視之, 在實踐應用中必須做出正確的選擇才能得到有效的實驗設計。,22,PPT學習交流,