1、一線名師指點07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第36講絕對值不等式【考點回放】1解絕對值不等式的基本思想:解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，常采用的方法是討論符號和平方2注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等號條件3(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)b的兩邊同時乘以 ，立得 成立7(2020上海卷)如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）解析:如果，那么， ，選A. 【考點演練】1、不等式|x+2|x|的解集是 . x| x-1變式1、條件p:|x2|2x；條件q:

2、xa，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是 . 2、不等式|3x2|4的解集是C（ ）Ax|x2Bx|xCx|x2Dx|x23、已知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，A（0，3），B（2，3）是其圖象上的兩點，那么不等式|f(x2)|3的解集是 . 14 4.（2020年北京海淀區(qū)一模題）已知集合A=x|a1xa+2，B=x|3x5，則能使AB成立的實數(shù)a的取值范圍是A.a|3a4B.a|3a4C.a|3a4D.解析：由題意知得3a4.答案：B5.不等式|x2+2x|3的解集為_.解析：3x2+2x3，即3x1.答案：3x16.（2020年全國，13）不等式|x+2|x|的解集是_.解法一：|

3、x+2|x|（x+2）2x24x+40x1.解法二： 在同一直角坐標(biāo)系下作出f（x）=|x+2|與g（x）=|x|的圖象，根據(jù)圖象可得x1.解法三：根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式|x+2|x|表示數(shù)軸上x到2的距離不小于到0的距離，x1.答案：x|x1評述：本題的三種解法均為解絕對值不等式的基本方法，必須掌握.7.（2020年春季北京）當(dāng)0a1時，解關(guān)于x的不等式aax2.解：由0a1，原不等式可化為x2.這個不等式的解集是下面不等式組及的解集的并集.或解不等式組得解集為x|x2，解不等式組得解集為x|2x5，所以原不等式的解集為x|x5.【題型講解】例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推廣為

4、任意都成立，且為代數(shù)式也成立解：原不等式又化為原不等式的解集為點評：可利用去掉絕對值符號 例2 求證：不等式綜上（1），（2）得例3 所以，原命題得證例4 例5 證明：例6 證明：令例7 a, b R 證明|a + b|ab| 3解法一：分區(qū)間去絕對值（零點分段法）：|x+3|x3|3(1)x3;(2)3/2x3或3x3 原不等式的解為x3/2解法二：用平方法脫去絕對值：兩邊平方：(|x+3|x3|)29,即2x2+92|x29|;兩邊再平方分解因式得：x29/4x3/2例9 解不等式|x23|x|3|1解：|x23|x|3|11x23|x|31 原不等式的解是：x4或4x點評：本題由于運用了

5、xR時，x2=|x|2從而避免了一場大規(guī)模的討論例10 求使不等式|x4|+|x3|a有解的a的取值范圍解：設(shè)f(x)= |x4|+|x3|,要使f(x)1 點評：本題對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)樽钪祮栴}，從而簡化了討論例11已知二次函數(shù)f(x)滿足|f(1)|1,|f(0)|1,|f(1)|1,求證：|x|1時，有|f(x)|5/4證明：設(shè)f(x)=ax2+bx+c,由題意，得 a=f(1)+f(1)2f(0),b=f(1)f(1); c=f(0)代入f(x)的表達(dá)式變形得：f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(1)(x2x)/2+(1x2)f(0) |f(1)|1,|f(0)|1,f(1)|1,

6、 當(dāng)|x|1時，|f(x)|(x2+x)/2|f(1)|+|(x2x)/2|f(1)|+(1x2)|f(0)|x|(1+x)/2+|x|(1x)/2+(1x2)=x2+|x|+1=(|x|1/2)2+5/45/4例12 已知a,b,c都是實數(shù)，且|a|1,|b|1,|c|1證明：設(shè)f(x)=x(b+c)+bc(1), |a|1,|b|1,|c|0,f(1) (b+c)+bc+1(1b) (1c)0, 當(dāng)a(1,1)時，f(x)0恒成立 f(a) a(b+c)+bc(1)0, ab+bc+ca1例13 證明：小結(jié)：1理解絕對值不等式的定義，掌握絕對值不等式的定理和推論，會用絕對值不等式的定理和推

7、論解決絕對值不等式的有關(guān)證明問題2解絕對值不等式的基本途徑是去掉絕對值符號，常用的方法是：（1）分類討論；（2）平方；（3）利用絕對值不等式的性質(zhì)，如等3證明絕對值不等式的基本思想和基本方法分別是轉(zhuǎn)化思想和比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等等【基礎(chǔ)演練】1不等式的解集為（ ）A B C D答案：D2不等式|x4|x3|7 Ba1 Ca1時，不等式有解3若A=x| |x1|0，則AB=（ ）Ax|1x3 Bx|x2 Cx|1x0或2x3 Dx|1x0答案: C提示: A=x| 1x2或x0,AB=x|1x0或2x1 B|a| C1|a|或a答案: C 提示: 0a21,1|a|6解

8、不等式|logx|log(3x)|1答案：x| 0x或x3提示： 分0x1, 1x2, 2x3三種情況討論,當(dāng)0x1時,解得0x；當(dāng)1x2時,無解；當(dāng)2x3時,解得x3【實戰(zhàn)演練】1.關(guān)于x的方程3x26（m1）x+m2+1=0的兩實根為x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2為方程兩實根，=36（m1）212（m2+1）0.m或m.又x1x2=0，x1、x2同號.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m1|.于是有2|m1|=2，m=0或2.m=0.2.解不等式.解：（1）當(dāng)x220且x0，即當(dāng)x且x0時，原不等式顯然成立（2）當(dāng)x220時，原不等式與不等式組等價x2

9、2x，即x2x20.x2.不等式組的解為x2，即x2或x2原不等式的解集為（，2（，0）（0，）2，）3.（2020年湖北黃岡模擬題）已知函數(shù)f（x）=的定義域恰為不等式log2（x+3）+logx3的解集，且f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.解：由log2（x+3）+logx3得x，即f（x）的定義域為，+）.f（x）在定義域，+）內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)x2x1時，f（x1）f（x2）0恒成立，即有（ax1+2）（ax2+2）0a（x1x2）（）0（x1x2）（a+）0恒成立.x1x2，（x1x2）（a+）0a+0.x1x2，要使a恒成立，則a的取值范圍是a.4.已知f（x）=x2x+

10、c定義在區(qū)間0，1上，x1、x20，1，且x1x2，求證：（1）f（0）=f（1）；（2）| f（x2）f（x1）|x1x2|；（3）| f（x1）f（x2）|；（4）| f（x1）f（x2）|.證明：（1）f（0）=c，f（1）=c，f（0）=f（1）.（2）| f（x2）f（x1）|=|x2x1|x2+x11|.0x11，0x21，0x1+x22（x1x2）.1x1+x211.| f（x2）f（x1）|x2x1|.（3）不妨設(shè)x2x1，由（2）知| f（x2）f（x1）|x2x1.而由f（0）=f（1），從而| f（x2）f（x1）|=| f（x2）f（1）+f（0）f（x1）| f（x2

11、）f（1）|+| f（0）f（x1）|1x2|+|x1|1x2+x1.+得2| f（x2）f（x1）|1，即| f（x2）f（x1）|.（4）|f（x2）f（x1）|fmaxfmin=f（0）f（）=.5.（1）已知|a|1，|b|1，求證：|1；（2）求實數(shù)的取值范圍，使不等式|1對滿足|a|1，|b|1的一切實數(shù)a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范圍.（1）證明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）.|a|1，|b|1，a210，b210.|1ab|2|ab|20.|1ab|ab|，=1.（2）解：|1|1ab|2|ab|2=（a221）（b

12、21）0.b21，a2210對于任意滿足|a|1的a恒成立.當(dāng)a=0時，a2210成立；當(dāng)a0時，要使2對于任意滿足|a|1的a恒成立，而1，|1.故11.（3）|1（）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21）（b21）0.|a|1，a21.1b20，即1b1.6. 設(shè)x1、x2、y1、y2是實數(shù)，且滿足x12+x221，證明不等式（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.分析：要證原不等式成立，也就是證（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）0.證明：（1）當(dāng)x12+x22=1時，原不等式成立.（2）當(dāng)x12+x221

13、時，聯(lián)想根的判別式，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x12+x221）x2（x1y1+x2y21）x+（y12+y221），其根的判別式=4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）.由題意x12+x221，函數(shù)f（x）的圖象開口向下.又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，因此拋物線與x軸必有公共點.0.4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）0，即（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.7.設(shè)a1，令a2=1+.（1）證明介于a1、a2之間；（2）求a1、a2

14、中哪一個更接近于；（3）你能設(shè)計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.（1）證明：（a1）（a2）=（a1） （1）=0.介于a1、a2之間.（2）解：|a2|=|1|=|=|a1|a1|.a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于.由（2）知|a3|=|a2|a2|.8. 已知f（x）=|log2（x+1）|，mn，f（m）=f（n）.（1）比較m+n與0的大??；（2）比較f（）與f（）的大小.剖析：本題關(guān)鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.解：（1）f（m）=f（n），|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.log22（m+1）=log22（n+1）.log2（m+1）+log2（n+1）log2