1、云南省2020屆高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題教案（四十一）題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座探索性問題高考要求 高考中的探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力,是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn),將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題重難點(diǎn)歸納 如果把一個數(shù)學(xué)問題看作是由條件、依據(jù)、方法和結(jié)論四個要素組成的一個系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個是未知的數(shù)學(xué)問題稱之為探索性問題 條件不完備和結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征 解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般對這類問題有如下方法 （1）直接求解；（

2、2）觀察猜測證明；（3）賦值推斷；（4）數(shù)形結(jié)合；（5）聯(lián)想類比；（6）特殊一般特殊 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)(a,cR,a0,b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1) （1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力 知識依托 函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對稱問題 錯解分析 不能把a(bǔ)與b間的等量關(guān)系與不等關(guān)系聯(lián)立求b；忽視b為自然數(shù)而導(dǎo)致求不出b的具體

3、值；P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系列不出解 技巧與方法 充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵 本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證 解 （1）f(x)是奇函數(shù)f(x)=f(x)，即bx+c=bxcc=0f(x)=由a0，b是自然數(shù)得當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)x0時，f(x)0f(x)的最大值在x0時取得 x0時，當(dāng)且僅當(dāng)即時，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，P(x

4、0,y0)則Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1,P點(diǎn)坐標(biāo)為()或()進(jìn)而相應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（）或Q() 過P、Q的直線l的方程 x4y1=0即為所求 例2如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點(diǎn)，且AB=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段 （1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求AMN的外心C的軌跡E；（2）接上問，當(dāng)AMN的外心C在E上什么位置時，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離） 命題意圖 本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問題、綜合解題的

5、能力 知識依托 求曲線的方程、拋物線及其性質(zhì)、直線的方程 錯解分析 建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，如何建系是難點(diǎn)，第二問中確定C點(diǎn)位置需要一番分析 技巧與方法 本題主要運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，尋求點(diǎn)C所在位置，然后加以論證和計(jì)算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目 解 （1）以直線b為x軸，以過A點(diǎn)且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系 設(shè)AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由題意，有CA=CM,化簡，得x2=2py它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線 （2）由（1）得，直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線 由拋物線的定義知d=CF，其中F（0,）是拋

6、物線的焦點(diǎn) d+BC=CF+BC由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)直線BF的方程為聯(lián)立方程組得 即C點(diǎn)坐標(biāo)為() 此時d+BC的最小值為BF= 例3已知三個向量、，其中每兩個之間的夾角為120，若=3,=2,=1，則用、表示為 解析 如圖與，的夾角為60,且|=|=3 由平行四邊形關(guān)系可得=3+,=3 答案 =3 例4 假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，則對于多大的p而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全？2 解析 飛機(jī)成功飛行的概率分別為 4引擎飛機(jī)為 2引擎飛機(jī)為 要使4引擎飛機(jī)比2引擎

7、飛機(jī)安全，則有 6P2（1P）2+4P2（1P）+P42P(1P)+P2,解得P 即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于時，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知直線l平面，直線m平面，有下面四個命題，其中正確命題是( )lm lm lm lmA 與 B 與 C 與 D 與2 某郵局只有0.60元，0.80元，1.10元的三種郵票 現(xiàn)有郵資為7.50元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數(shù)最少，且資費(fèi)恰為7.50元，則最少要購買郵票( )A 7張 B 8張 C 9張 D 10張3 觀察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，寫出一個與以

8、上兩式規(guī)律相同的一個等式 4 在四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，問底面的邊BC上是否存在點(diǎn)E （1）使PED=90；（2）使PED為銳角 證明你的結(jié)論 5 已知非零復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1=a,z2=b,z1+z2=c（a、b、c均大于零），問是否根據(jù)上述條件求出？請說明理由 6 是否存在都大于2的一對實(shí)數(shù)a、b(ab)使得ab, ,ab,a+b可以按照某一次序排成一個等比數(shù)列，若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由 7 直線l過拋物線y2=2px(p0）的焦點(diǎn)且與拋物線有兩個交點(diǎn)，對于拋物線上另外兩點(diǎn)A、B直線l能否平分線段AB？試證明你的結(jié)論 8 三個元件T

9、1、T2、T3正常工作的概率分別為0.7、0.8、0.9，將它們的某兩個并聯(lián)再和第三個串聯(lián)接入電路，如圖甲、乙、丙所示，問哪一種接法使電路不發(fā)生故障的概率最大？參考答案 1 解析 l且l,mlm 且ll,但不能推出lm lm,lm,由m lm,不能推出 答案 B2 解析 選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張 故8張 答案 B3 解析 由5020=(4515)=30可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)= 答案 sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=4 解 (1)當(dāng)ABAD時，邊BC上存在點(diǎn)E，使PED=90;當(dāng)ABAD時，使PED=90的點(diǎn)E不存在 （只

10、須以AD為直徑作圓看該圓是否與BC邊有無交點(diǎn)）（證略）（2）邊BC上總存在一點(diǎn)，使PED為銳角，點(diǎn)B就是其中一點(diǎn) 連接BD，作AFBD，垂足為F，連PF，PA面ABCD，PFBD，又ABD為直角三角形，F(xiàn)點(diǎn)在BD上，PBF是銳角 同理，點(diǎn)C也是其中一點(diǎn) 5 解 |z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)c2=a2+b2+(z1+z2)即 z1+z2=c2a2b2z10,z20，z1+z2= =|z2|2()+|z1|2()即有 b2()+a2()=z1z2+z1z2b2()+a2()=c2a2b2a2()2+(a2+b2c2)()+b2=0這是關(guān)于的一元二次

11、方程，解此方程即得的值 6 解 ab,a2,b2,ab,ab,a+b均為正數(shù)，且有aba+b,aba+bab 假設(shè)存在一對實(shí)數(shù)a,b使ab,a+b,ab按某一次序排成一個等比數(shù)列，則此數(shù)列必是單調(diào)數(shù)列 不妨設(shè)該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，則存在的等比數(shù)列只能有兩種情形，即ab,a+b,ab, 或 ab,a+b,ab由（a+b）2ab所以不可能是等比數(shù)列，若為等比數(shù)列，則有 經(jīng)檢驗(yàn)知這是使ab,a+b,ab,成等比數(shù)列的惟一的一組值 因此當(dāng)a=7+,b=時，ab,a+b,ab,成等比數(shù)列 7 解 如果直線l垂直平分線段AB，連AF、BF，F(xiàn)（，0）l |FA|=|FB|,設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2

12、),顯然x10,x20,y1y2,于是有（x1）2+y12=(x2)2+y22,整理得 （x1+x2p)(x1x2)=y22y12=2p(x1x2) 顯然x1x2(否則ABx軸，l與x軸重合，與題設(shè)矛盾）得 x1+x2p=2p即x1+x2=p0矛盾，故直線l不能垂直平分線段AB 8 解 設(shè)元件T1、T2、T3能正常工作的事件為A1、A2、A3，電路不發(fā)生故障的事件為A，則P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9 （1）按圖甲的接法求P（A） A=（A1+A2）A3，由A1+A2與A3相互獨(dú)立，則P（A）=P（A1+A2）P（A3）又P（A1+A2）=1P（）=1P（）由A1與

13、A2相互獨(dú)立知與相互獨(dú)立，得 P（）=P（）P（）=1P（A1）1P（A2）=（10.7）(10.8)=0.06，P(A1+A2)=0.1P()=10.06=0.94，P(A)=0.940.9=0.846 (2)按圖乙的接法求P（A） A=（A1+A3）A2且A1+A3與A2相互獨(dú)立，則P（A）=P（A1+A3）P（A2），用另一種算法求P（A1+A3） A1與A3彼此不互斥，根據(jù)容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）P（A1A3），A1與A3相互獨(dú)立，則P（A1A3）=P（A1）P（A3）=0.70.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.90.63=0.97 P(A)=P(A1+A3)P(A2)=0.970.8=0.776 (3)按圖丙的接法求P（A），用第三種算法 A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,A2A1與A3A1彼此不互斥，據(jù)容斥原理，則P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）P（A1A2A3），又由A1、A2、A3相互獨(dú)立，得