1、四川省教考聯(lián)盟2020屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性考試試題 理（含解析）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)全集，集合，則集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A，再求出，再利用交集概念求解。【詳解】因為集合，所以，所以.故選：C【點睛】本

2、題主要考查了集合的基本運算，全集、補集、交集等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題得z=-1+2i,再求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)-1-2i.【詳解】由題得z=-1+2i,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)-1-2i. 故選：B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查共軛復(fù)數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.從1，3，5，7，9中任取3個數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則組成的五位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為（ ）A. 7200B. 2880C. 120D. 6

3、0【答案】B【解析】【分析】分兩步完成：第一步，計算出選數(shù)字的不同情況種數(shù)，第二步，計算出末尾是偶數(shù)的排法種數(shù)，再利用分步計算原理即可求解?！驹斀狻繌?，3，5，7，9中任取3個數(shù)字再從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，有種選法，再將選出的5個數(shù)字排成五位偶數(shù)有種排法，所以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有個.故選：B【點睛】本題主要考查了排列與組合的簡單應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，分類討論思想，屬于中檔題。4.已知向量，則的最大值為（ ）A. 1B. C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】表示出并整理得：，當(dāng)時，取得最大值，問題得解?！驹斀狻恳驗?，所以當(dāng)時，取得最大值為.故選

4、：C【點睛】本題主要考查了平面向量的基本運算，三角函數(shù)的最值，向量模的概念及其最值等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力、輔助角公式，屬于中檔題。5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模擬程序框圖運行得解.【詳解】由題得13，S=2,i=2;23，S=2+4,i=3;33，S=2+4+8,i=4;.故選:A【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6.幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（ ）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三視圖對應(yīng)的幾何體，

5、再利用棱錐的體積公式得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐P-ABCD，底面是邊長為9的正方形，高PA=9,所以幾何體的體積為.故選：D【點睛】本題主要考查根據(jù)三視圖找原圖，考查幾何體體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.下列說法中錯誤的是（ ）A. 先把高二年級的1000多學(xué)生編號為1到1000，再從編號為1到50的50名學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，其編號為，然后抽取編號為，的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法B. 正態(tài)總體在區(qū)間和上取值的概率相等C. 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1D. 若一組數(shù)據(jù)1、2、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)

6、的眾數(shù)和中位數(shù)均是2【答案】C【解析】【分析】直接利用系統(tǒng)抽樣，線性回歸，線性相關(guān)，平均數(shù)，中位數(shù)與眾數(shù)等基礎(chǔ)知識判斷?！驹斀狻繉τ贏，根據(jù)抽樣方法特征是數(shù)據(jù)多，抽樣間隔相等，是系統(tǒng)抽樣，A正確；對于B，正態(tài)總體的曲線關(guān)于對稱，區(qū)間和與對稱軸距離相等，所以在兩個區(qū)間上的概率相等，B正確；對于C，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，C錯誤；對于D，一組數(shù)據(jù)1、2，3的平均數(shù)是2，；所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為2，D正確.故選：C【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣，線性回歸，線性相關(guān)，平均數(shù)，中位數(shù)與眾數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題及解決問題的能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。8.

7、，是：上兩個動點，且，到直線：的距離分別為，則的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由題設(shè),其中，先利用兩點間的距離公式求出，再利用三角恒等變換知識化簡，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值得解.【詳解】由題設(shè),其中.可以由題得 5，此時.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.9.已知四面體外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜邊為2，則這個球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題可得：為的中點，取的中點，連接，由已知可判斷點為外接圓

8、圓心，由截面圓的性質(zhì)可得平面，即：，解三角形即可求得外接球的半徑為，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：為的中點，取中點，則為的中位線，由等腰直角三角形可得：點為外接圓圓心，且所以平面，所以球心到面的距離為，外接球球半徑為，故球表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查了三角形外接圓、三角形中位線和球的表面積計算公式等知識，考查空間想象能力及截面圓的性質(zhì)，考查運算求解能力和分析問題解決問題的能力，屬于中檔題。10.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象向左平移個單位后所得圖象關(guān)于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的周期為可求得，再求出函數(shù)圖象平移后的

9、解析式，由其圖象關(guān)于軸對稱可求得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求得的增區(qū)間，問題得解?！驹斀狻坑傻淖钚≌芷跒椋?，的圖象向左平移個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，因其圖象關(guān)于軸對稱，所以，因為，則，所以，由，得，.即的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查三角函數(shù)圖像平移知識及運算求解能力，屬于中檔題。11.在數(shù)列中，已知，且對于任意的，都有，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入已知可得，將變形為：，即可求得，裂項得：，問題得解【詳解】因為對于任意的，都有，取，有，即，則 ，所以，所以 .故選：C【點睛】本題主要考查了等差數(shù)

10、列前項和公式、裂項求和、賦值法，還考查計算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。12.已知定義在上的函數(shù)關(guān)于軸對稱，其導(dǎo)函數(shù)為.當(dāng)時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出，由題可得是在上的奇函數(shù)且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，將轉(zhuǎn)化成，利用在上為單調(diào)遞增函數(shù)可得：恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得，解不等式可得，問題得解?！驹斀狻恳驗椋?，令，則，又因為是在上的偶函數(shù)，所以是在上的奇函數(shù)，所以是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，可化為，即，又因為是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以.所以正

11、整數(shù)的最大值為2.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式恒成立等基礎(chǔ)知識，考查分析和轉(zhuǎn)化能力，推理論證能力，運算求解能力，構(gòu)造能力，屬于難題。.二、填空題：本題共4小題。13.若變量，滿足約束條件，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，又，它表示點與點連線斜率，結(jié)合圖形可以判斷其最小值，問題得解?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，它是以，和為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點的連線的斜率，結(jié)合圖形易得平面區(qū)域內(nèi)的點與點的連線的斜率最小，所以的最小值為.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃求最值等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化

12、能力，運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題。14.已知等比數(shù)列中，則_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)和求出，再利用等比數(shù)列的求和公式求的值.【詳解】由題得.所以 .故答案為：【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項的基本量的計算，考查等比數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則的值為_【答案】2【解析】【分析】由為奇函數(shù)且可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).可將轉(zhuǎn)化為，由奇函數(shù)特點可得，在中，令，可得，問題得解?！驹斀狻恳驗闉槠婧瘮?shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以 ，又，在中，令，可得，.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇

13、偶性與周期性的應(yīng)用，考查運算求解能力、等價變換的能力，還考查了賦值法，屬于中檔題。16.中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線與圓：有公共點，且圓在點處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的實軸長為_【答案】【解析】【分析】對雙曲線的焦點位置分兩種情況討論，先求出圓在點的切線為，再根據(jù)題得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組即得a 和雙曲線實軸的長.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)為，圓有公共點，圓在點的切線方程的斜率為：，圓在點的切線為：，即，圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線，可得，所以a=2b, (1)因為, (2)解方程（1）(2)得無解.當(dāng)雙曲線

14、的焦點在y軸上時，設(shè)為，圓有公共點，圓在點的切線方程的斜率為：，圓在點的切線為：，即，圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，并且中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線，可得，所以b=2a, (3)因為, (4)解方程（3）(4)得,所以該雙曲線的實軸長為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的方程，考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.檳榔原產(chǎn)于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數(shù)民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織

15、國際癌癥研究機構(gòu)列為致癌物清單類致癌物.云南某民族中學(xué)為了解，兩個少數(shù)民族班學(xué)生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學(xué)進行調(diào)查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.（1）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率；（2）從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學(xué)中隨機抽取3人，求被抽到班同學(xué)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）由題可得：從班和班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有種不同情況，列出的情況有，三種，問題得解

16、。（2）的可能取值為1，2，3.分別求出各種取值的概率即可列出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式求解即可?！驹斀狻浚?）班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)有3個，班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)也有3個，從班和班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有種不同情況.其中的情況有，三種，故的概率.（2）因為所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學(xué)中，班有2人，班有3人，共有5人，設(shè)抽到班同學(xué)的人數(shù)為，的可能取值為1，2，3.，.的分布列為： 123 數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題主要考查了莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、古典概型的概率公式，隨機變量的分布列與期望等知識，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，邏輯思維能力、運算求解能力，屬于中檔題。1

17、8.如圖，在中，已知點在邊上，且，.（1）求的長；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計算得到 ，再利用余弦定理求出的長(2)先利用余弦定理求得, 即得.在中，易得.再求得的面積為.【詳解】（1）因為，所以，所以 .在中，由余弦定理得：，所以.（2）在中，由（1）知， ，所以.則.在中，易得. .所以的面積為.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.19.如圖，在棱長為1的正方體中，動點在線段上運動，且有.（1）若，求證：；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求實數(shù)的值.【答案】(1)見證明；(2

18、) 【解析】【分析】（1）當(dāng)時，與重合，連接，可得，再由正方體特征可證得，即可證得平面，問題得證。（2）以為坐標(biāo)原點，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面的一個法向量及平面的一個法向量，利用向量夾角的坐標(biāo)表示列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻浚?）當(dāng)時，與重合，連接，則在正方形中，.又在正方體中底面，而平面，所以.，所以平面，而平面，所以，也即.（2）依題意，以為坐標(biāo)原點，分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.，.設(shè)平面的一個法向量，則，即，取得.設(shè)平面的一個法向量，則，即，取得.所以 ，解得或.因為，所以.【點睛】本題主要考查了證明線線關(guān)系以及利用空間向量求二面角的平面角等基礎(chǔ)

19、知識，還考查了空間向量的坐標(biāo)運算，考查運算求解能力及方程思想，屬于中檔題。20.已知點與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線：交曲線于，兩點，當(dāng)點不在、兩點時，直線，的斜率分別為，求證：，之積為定值.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）由題意列方程，整理化簡得：，問題得解。（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，整理化簡即可得證?！驹斀狻浚?）由題意，將上式兩邊平方，化簡：，即曲線的方程為.（2）把代入，有，設(shè)，則：，.，.即，之積為定值.【點睛】本題主要考查了橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，還考查了韋達定理及運算求

20、解能力，考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力，屬于難題。21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】【分析】（1）將函數(shù)求導(dǎo)后，對分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，當(dāng)時函數(shù)在定義域上遞減，至多只有一個零點，不符合題意.當(dāng)時，利用函數(shù)的最小值小于零，求得的取值范圍，并驗證此時函數(shù)有兩個零點，由此求得點的取值范圍.【詳解】（1） 若，在上單調(diào)遞減； 若，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增. （2）若，在上單調(diào)遞減，至多一個零點，不符合題意. 若，由（1）可知，的最小值為 令，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，至多一個零點，不符合題意，當(dāng)時，又因為，結(jié)合單調(diào)性可知在有一個零點令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，的最小值為，所以當(dāng)時， 結(jié)合單調(diào)性可知在有一個零點綜上所述，若有兩個零點，的范圍是【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)零點個數(shù)的問題，考查分類討論的思想方法，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題.在求解有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題中，導(dǎo)函