1、第六講 空間距（上、下）一、考情分析空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離在空間的距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點本講主要是培養(yǎng)考生的觀察思考能力、空間想象能力、分析能力，培養(yǎng)考生的嚴謹的邏輯推理能力以及轉化與化歸的數學思想的應用二、二、知識歸納及例析（一）空間距的求解思路：作證求（二）兩點之間的距離（1）異面直線上兩點之間的距離解決思路：化歸法；向量法：在上取一點, 在上取一點, 設分別為異面直線的方向向量，設異面直線的公共的垂直向量為，則異面直線的距離為：（此方法移植于點面距離的求法）公

2、式法：；例1：如圖，分別是異面直線上的兩點，是異面直線的公垂線，證明：解析：法1：化歸法；法2：向量法；例2：四邊形中，對棱所成的角為，分別是的中點，求解析：如圖，或，則：或（2）幾何體表面上兩點之間的距離解決思路：借助于幾何體的平面展開圖解決問題例3：長方體的長、寬、高分別為4、3、5，一只螞蟻從點在表面上爬到處，求螞蟻爬行的最短路程解析：螞蟻從點在表面上爬到處，有如下三種情形：以上三種情形的最短路程分別是，故螞蟻爬行的最短路程是例4：（05年江西卷）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為 解析：沿棱柱的表面從到兩點的途徑有四種情形： 以上四種情形的最短路程

3、分別是，故沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為例5：正四面體的棱長為，從的中點經過每個表面繞一周回到處，求繞行的最短途徑解析：如下圖展開（途徑的棱不能被剪開），顯然，繞行的最短途徑為，此時，四邊形是正方形（3）球面距解決思路：例6：地球上緯度為的兩點間的經度差為，求間的距離解析：，故間的距離為（三）點到直線的距離例7：邊長為的正六邊形所在平面為，求：（1）點到直線的距離；（2）點到直線的距離解析：如圖，（1）；（2）（四）點到平面的距離解決思路：（1）化歸法：；（2）等積法；（3）向量法：例8：已知是邊長為4的正方形，分別是的中點，垂直于所在平面，且，求點到平面的距離解析：法1：直接作出所求

4、之距離，求其長如圖，延長交的延長線于， 連 結，作，交于，則平面作于，易證平面平面作，垂足為，則是點到平面的距離亦即： ； 易知：故點到平面的距離 法2：利用直線到平面的距離確定如圖，易證平面，所以上任意一點到平面的距離就是點到平面的距離亦即：，作為垂足，易知：故點到平面的距離 法3：等積法解法4如圖，設點到平面的距離為，則；易知：故點到平面的距離法4：向量法建系如圖，設平面的法向量為，則：，故點到平面的距離（五）直線到直線的距離（1）兩條平行線間的距離（略）（2）兩條異面直線間的距離解決思路：（1）定義法：作出公垂線，確定公垂線段，證明并加以求解；（2）化歸法：；時，例9：棱長為1的正方體中，求以下異面直線的距離：（1）異面直線；（2）異面直線；（3）異面直線解析：（1），故異面直線的距離為；（2），故異面直線的距離為；（3），異面直線的距離為翰林匯例10：棱長為1的正方體中，分別為中點，求異面直線的距離解析：，異面直線的距離就是平面與平面的距離故異面直線的距離是（六）直線與平面之間的距離解決思路：；例11：正三角形所在平面為，分別是的中點，求與平面的距離解析：如圖，過點作，交的延長線于，則：故與平面的距離是（七）兩個平行平面之間的距離解決思路：；例12：棱長為1的正方體中