1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：分類討論思想高考要求分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決 分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論 ”重難點(diǎn)歸納 分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則 分類討論常見的依據(jù)是 1 由概念內(nèi)涵分類 如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含

2、了分類 2 由公式條件分類 如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等 3 由實(shí)際意義分類 如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問題也需分類討論 在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論 典型題例示范講解 例1已知an是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和 （1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立 命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識以及探索和論證存在性問題的能力 知識依托 解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì) 錯解分析

3、第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯點(diǎn)，不能確定出 技巧與方法 本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型 在探討第2問的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想 即對雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案 解 （1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因?yàn)樗裕?kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因?yàn)镾k+1Sk，(kN*) 所以Sk2S12=1 又Sk4，故要使成立，c只能取2或3 當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，cSk不成立，從而不成立 當(dāng)k2時(shí)，因?yàn)?，由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12故當(dāng)k2時(shí)，Sk2c，從而不成立 當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾1=2

4、，S2=3，所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，cSk不成立，從而不成立因?yàn)橛諷k2Sk+12所以當(dāng)k3時(shí)，Sk2c從而成立綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使成立 例2給出定點(diǎn)A（a,0)（a0）和直線l x=1，B是直線l上的動點(diǎn)，BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C 求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系 命題意圖 本題考查動點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識，分類討論的思想方法 綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識解題的能力 知識依托 求動點(diǎn)軌跡的基本方法步驟 橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn) 錯解分析 本題易錯點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式

5、和分類討論軌跡方程表示曲線類型 技巧與方法 精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式 巧妙地利用角平分線的性質(zhì) 解法一 依題意，記B（1，b)，(bR），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=bx 設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則有0xa，由OC平分AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得y= 依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有由xa0，得 將式代入式，得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0，則 (1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0則b=0,AOB=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式 綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1a）x22a

6、x+(1+a)y2=0(0xa(i)當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x(0x1 此時(shí)方程表示拋物線弧段； (ii)當(dāng)a1，軌跡方程化為 所以當(dāng)0a1時(shí)，方程表示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧段 解法二如圖, 設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CEx軸，E是垂足 （i）當(dāng)BD0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則0xa，y0由CEBD，得 COA=COB=CODBOD=COABOD2COA=BOD整理，得(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)(ii)當(dāng)BD=0時(shí)，BOA=，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)，滿足上式 綜合(i)、(ii)，得點(diǎn)C的軌跡方程為 (1a)x22ax+(1+a)y2=0(0

7、xa)以下同解法一 解法三 設(shè)C(x,y)、B(1,b)，則BO的方程為y=bx，直線AB的方程為當(dāng)b0時(shí)，OC平分AOB，設(shè)AOC=,直線OC的斜率為k=tan,OC的方程為y=kx于是又tan2=b b= C點(diǎn)在AB上 由、消去b，得 又代入，有整理得(a1)x2(1+a)y2+2ax=0 當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C(0,0)滿足上式 a1時(shí)，式變?yōu)楫?dāng)0a1時(shí)，表示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，表示雙曲線一支的弧段；當(dāng)a=1時(shí)，表示拋物線弧段 例3若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a的取值為 解析 即f(x)=(a1)x2+ax=0有解 當(dāng)a1=0時(shí)，滿足 當(dāng)a10時(shí)，只需=a2(a1)0 答案

8、或a=1例 4 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+xa+1，xR (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值 解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù) 當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2a+1 f(a)f(a),f(a)f(a)此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) （2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+若a，則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減 從而函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f(a)=a2+1若a，則函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f()=+a，且f()f(a) 當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，則函數(shù)f(x)在a,