1、遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2020屆高三第一次模擬考試文數(shù)試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，若，則的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元一次不等式得集合，由，能求出的取值范圍【詳解】集合，的取值范圍為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.2.設(shè)a為的虛部，b為的實(shí)部，則a+b=（）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】算出和后可得前者的虛部和后者的實(shí)部從而得到要求的和.【詳解】，故，又，故，所以，選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.3.執(zhí)

2、行如圖所示的程序框圖，若輸入如下四個(gè)函數(shù)：；則輸出函數(shù)的序號個(gè)數(shù)為（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】判斷各選項(xiàng)的函數(shù)是否有零點(diǎn)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則恒成立，故無零點(diǎn)； 若，則恒成立，故無零點(diǎn)；若，則或，故無零點(diǎn)；若，令，則，故有零點(diǎn)，綜上，有一個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，故輸出函數(shù)的序號個(gè)數(shù)為1，選D【點(diǎn)睛】本題考查算法中的判斷結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在、上的符號及的值可得正確的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，故D不正確， 當(dāng)時(shí)，故A,C不正確，綜上，選B【點(diǎn)睛】對于函數(shù)的圖像問題，我們可先計(jì)算函數(shù)的定義域

3、，然后研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值的大小或特殊范圍上函數(shù)值的符號，必要時(shí)可依據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合排除法可得正確的結(jié)果5. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】: 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的抽取方法是一奇一偶，CCC=6.若sin（）=，則cos（）=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，利用誘導(dǎo)公式和倍角公式可得【詳解】令，則，所以，故選C【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的化簡求值問題，可以從四個(gè)角度去分析：（1）看函數(shù)名的差異；（

4、2）看結(jié)構(gòu)的差異；（3）看角的差異；（4）看次數(shù)的差異對應(yīng)的方法是：弦切互化法、輔助角公式（或公式的逆用）、角的分拆與整合（用已知的角表示未知的角）、升冪降冪法7.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由雙曲線方程可知，雙曲線的一條漸近線為：，即：，由直線與圓的位置關(guān)系可得：，整理可得：，則：，據(jù)此有：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不

5、等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)8.我國南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，中等級中的五等人與六等人所得黃金數(shù)（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)為第等人的得金數(shù)，則為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得【詳解】設(shè)為第等人的得金數(shù)，則為等差數(shù)列，由題設(shè)可知，故，而，故選C【點(diǎn)睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2） 且 ；（3）

6、且為等差數(shù)列；（4） 為等差數(shù)列.9.已知向量，向量，函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A. 是奇函數(shù)B. 的一條對稱軸為直線C. 的最小正周期為D. 在上為減函數(shù)【答案】D【解析】，所以是偶函數(shù)，不是其對稱軸，最小正周期為，在上為減函數(shù)，所以選D.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由 求對稱軸(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間10.將正方形沿對角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與所成的角為A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：將正方形沿對角線折起，可得當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面.設(shè)是折疊前的位置，連接，可得就算直線與所成角，算出的各邊長，得是等邊三角形，從而求得直線

7、與所成角的大小.詳解：設(shè)是正方形對角線、的交點(diǎn)，將正方形沿對角線折起，可得當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離等于，而當(dāng)與平面不垂直時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為，且，由此可得當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面.設(shè)是折疊前的位置，連接，因?yàn)椋跃退阒本€與所成角，設(shè)正方形的邊長為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，得是等邊三角形，所以直線與所成角為，故選C.點(diǎn)睛：該題所考查的是有關(guān)平面圖形的翻折問題，解決該題的關(guān)鍵是要明確翻到什么程度是題中的要求，因?yàn)榈酌媸嵌ǖ模愿咦畲髸r(shí)就是三棱錐體積最大時(shí)，即翻折成直二面角時(shí)滿足條件，之后將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角，即三角形的內(nèi)角來解，求出三角形的各邊長，從而求得角的大小.11.若平

8、面向量，滿足|=|3|=2，則在方向上的投影的最大值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】兩邊平方后得到，求出后可得【詳解】因?yàn)?，所以，在方向上的投影為，其中為，的夾角又，故設(shè)，則有非負(fù)解，故 ，故，故，故選A【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：（1）計(jì)算長度或模長，通過用 ；（2）計(jì)算角，.特別地，兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是.另外，的幾何意義就是向量在向量的投影與模的乘積，向量在向量的投影為12.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到是周期函數(shù)且周期

9、為，在坐標(biāo)平面中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，依據(jù)它們有三個(gè)不同的交點(diǎn)得到，解這個(gè)不等式組可得的取值范圍【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，所以，故是函數(shù)且周期為，因時(shí)，故在上的圖像如圖所示：因?yàn)橛?個(gè)不同的解，所以的圖像與的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)，故即，解得，故選B【點(diǎn)睛】含參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來判斷，如果該函數(shù)比較復(fù)雜，那么我們可以把該零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，其中一個(gè)函數(shù)的圖像為動態(tài)變化的，另一個(gè)函數(shù)的圖像是確定的.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y最小值為_【答案】【解析】【分析】畫出不等式組

10、對應(yīng)的可行域，平移動直線后可得所求的最小值【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：當(dāng)動直線過時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最小值，由的，故，填【點(diǎn)睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題，常通過線性規(guī)劃來求最值，求最值時(shí)往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如表示動直線的橫截距的三倍 ，而則表示動點(diǎn)與的連線的斜率14.如圖，在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量=（a，b），=（sinA，cosB），且，若點(diǎn)D是ABC外接圓O的劣弧上的點(diǎn)，AB=3，BC=2，AD=1，則四邊形ABCD的面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線得到，利用正弦定理得到，求出后利用余弦定理算出，再利用面積公式可求得四邊

11、形的面積【詳解】因?yàn)楣簿€，故，由正弦定理有：，由，故，所以即，所以，故在中，在中，有，故解得，故四邊形的面積為，填【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.注意三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外），可以求得其余的四個(gè)量，具體如下：（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.15.若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】1.【解析】分析：

12、設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得函數(shù)y=ax+lnx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線的方程可得m，n的方程組，解方程可得a的值詳解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），y=ax+lnx的導(dǎo)數(shù)為y=a+，可得切線的斜率為a+=2，又2m1=n=am+lnm，解得m=a=1，故答案為：1 點(diǎn)睛：（1）本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和解方程的能力，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.（2）導(dǎo)數(shù)里，遇到有切線的問題，一般都要先找到切點(diǎn)，如果切點(diǎn)不知道，要設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)再解答.16.已知橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與過的直線交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為，若，則下列結(jié)論序號正確的有_+1+1+1 【答案】【解析】【分析】利用得到在圓上，

13、它在橢圓的內(nèi)部，從而可判斷正確，錯(cuò)誤，再根據(jù)原點(diǎn)（即圓心）到直線的距離及它在直線的下方得到正確最后根據(jù)不等式的性質(zhì)得到也是正確的【詳解】，因?yàn)?，所以即，在圓上，它在橢圓的內(nèi)部，故，故正確，錯(cuò)誤；到直線的距離為，在直線的下方，故圓在其下方即，故正確；，但不同時(shí)成立，故，故成立，綜上，填【點(diǎn)睛】求動點(diǎn)的軌跡方程，一般有如下幾種方法：（1）幾何法：看動點(diǎn)是否滿足一些幾何性質(zhì)，如圓錐曲線的定義等；（2）動點(diǎn)轉(zhuǎn)移：設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，其余的點(diǎn)可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點(diǎn)軌跡方程；（3）參數(shù)法：動點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都可以用某一個(gè)參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點(diǎn)的軌跡方程.三、解答題（本大題

14、共7小題，共82.0分）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且1，成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式 （2）化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求和即可【詳解】（1）由已知1，成等差數(shù)列得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得即，因，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2）由得，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么

15、用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD（1）證明：BDPC；（2）若AD=4，BC=2，設(shè)ACBD=O，且PDO=60，求四棱錐P-ABCD的體積【答案】（1）見解析；（2）12【解析】【分析】（1）可證平面，從而得到（2）連結(jié)，根據(jù)可得，再根據(jù)均為等腰直角三角形得到梯形的高和的長度，從而得到的長度后可利用體積公式計(jì)算四棱錐的體積【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以又，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面而平面，所以 （2）連結(jié)，由（1）知，平面，平面知，在中，因?yàn)椋?，?又

16、因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以均為等腰直角三角形從而梯形的高為，于是梯形面積 在等腰直角三角形中，所以，故四棱錐的體積為【點(diǎn)睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.棱錐體積的計(jì)算關(guān)鍵是幾何體高的確定，必要時(shí)可把復(fù)雜幾何體分割成若干個(gè)簡單的三棱錐，它們的體積容易計(jì)算.19.某省的一個(gè)氣象站觀測點(diǎn)在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度（單位：cm）的情況如表1：9007003001000.53.56.59.5該省某市2020年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2：頻數(shù)（天）361263（1）設(shè)，若與之間是

17、線性關(guān)系，試根據(jù)表1的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）小李在該市開了一家洗車店，洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)存在相關(guān)關(guān)系如表3：日均收入（元）-2000-1000200060008000根據(jù)表3估計(jì)小李的洗車店2020年11月份每天的平均收入.附參考公式：，其中，.【答案】（1）；（2）2400【解析】試題分析：（1）計(jì)算和，根據(jù)題中公式計(jì)算和，從而得解；（2）由AQI指數(shù)頻數(shù)分布可知虧損和盈利的天數(shù)，進(jìn)而利用收入乘以天數(shù)求和后求均值即可.試題解析：（1），.，關(guān)于的線性回歸方程為.（2）根據(jù)表3可知，該月30天中有3天每天虧損2000元，有6天每天虧損1000元，有12天每天收入200

18、0元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估計(jì)小李洗車店2020年11月份每天的平均收入為 （元）.20.已知橢圓 ：（ ）的離心率 ，直線 被以橢圓 的短軸為直徑的圓截得的弦長為 .（1）求橢圓 的方程；（2）過點(diǎn) 的直線 交橢圓于 ， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，且 ，求 的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得.由橢圓的離心率可得，則橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線在y軸上的截距式方程為，聯(lián)立方程可得，滿足題意時(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理可知，據(jù)此可知.綜上可得.試題解析：（1）因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以（），解得.又，

19、得所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，得，由，得，所以，由，得，所以.綜上可得：，即.點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形21.已知：函數(shù)（其中常數(shù)）.（）求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；（）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?分3分由，解得，由，解得且的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和5分（2）由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)，且在上的最小值小于或等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立 6分若即時(shí)0+單減極小值單增在上的最小值為，則，得9分若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為，由，得（舍） 11分綜上所述，12分22.已知平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l