1、北京市朝陽(yáng)區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次（5月）綜合練習(xí)（二模）試題 文（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1. 已知集合，則（A） （B） （C） （D）且2. 復(fù)數(shù)的虛部為（A） （B） （C） （D）3. 已知，則，的大小關(guān)系是（A） （B） （C） （D） 4. 在數(shù)學(xué)史上，中外數(shù)學(xué)家使用不同的方法對(duì)圓周率進(jìn)行了估算.根據(jù)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1674年給出的求的方法繪制的程序框圖如圖所示.執(zhí)行該程序框圖，輸出

2、的值為（A） （B）（C） （D）5. 已知平面向量的夾角為，且，則 （A） （B） （C） （D）6. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差. 則“成等比數(shù)列” 是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件7. 已知函數(shù)若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）8. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和A. 有最小值 B.有最大值 C. 為定值 D. 為定值第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題

3、5分，共30分把答案填在答題卡上 9. 函數(shù)的最小正周期為 .10. 已知點(diǎn)在拋物線上，則 ；點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是 .11. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是 . 12. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .俯視圖13.實(shí)數(shù)滿足能說明“若的最大值是，則”為假命題的一組值是 .14. 設(shè)全集，非空集合，滿足以下條件：，； 若，則且.當(dāng)時(shí)， _（填或），此時(shí)中元素個(gè)數(shù)為_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15.（本小題滿分13分）在等差數(shù)列中，已知,.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求.16. （本小題滿分13分）如圖，在四邊形中，已知， （

4、）求的值；（）若，且，求的長(zhǎng)17. （本小題滿分13分）某電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播.比賽現(xiàn)場(chǎng)由5名專家組成評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)外觀眾也可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分.每位選手的最終得分需要綜合考慮專家評(píng)分和觀眾評(píng)分.某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專家評(píng)分情況如下表.另有約數(shù)萬名場(chǎng)外觀眾參與評(píng)分，將觀眾評(píng)分按照分組，繪成頻率分布直方圖如下圖. 專家ABCDE評(píng)分10108.88.99.7 （）求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率；（）從現(xiàn)場(chǎng)專家中隨機(jī)抽取2人，求其中評(píng)分高于9分的至少有1人的概率；（）考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分.方案一：計(jì)算所

5、有專家與觀眾評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分；Z&X&X&K方案二：分別計(jì)算專家評(píng)分的平均數(shù)和觀眾評(píng)分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分.請(qǐng)直接寫出與的大小關(guān)系.18.（本小題滿分13分）如圖1，在直角梯形中，, ,，,點(diǎn)在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖2）.為中點(diǎn).（）求證:平面；（）求四棱錐的體積；（）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖219. （本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點(diǎn).20. （本小題滿分14分）已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

6、（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍. 北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí) 數(shù)學(xué)（文）答案 2020. 5一、選擇題（40分）題號(hào)12345678答案AC DCBC BD二、填空題（30分）題號(hào)91011121314答案； Z&X&X&K(答案不唯一)；18三、解答題（80分）15 （本小題滿分13分）解：（I）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，,所以 解得.則,. .7分（II）構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.則. .13分16 （本小題滿分13分）解：（）在中，由正弦定理，得因?yàn)椋?6分（）由（）可知，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理，得因?yàn)?，所以，?，解得或又，則 .13

7、分17 （本小題滿分13分）解：（），某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率是 .3分（）設(shè)“從現(xiàn)場(chǎng)專家中隨機(jī)抽取2人，其中評(píng)分高于9分的至少有1人”為事件Q因?yàn)榛臼录校?， 共10種，事件Q的對(duì)立事件只有1種，所以. .9分（） .13分18 （本小題滿分13分）解： （）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)， 所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?所以平面 .4分（）在直角三角形中，易求,則所以四棱錐的體積的體積為 8分 （） 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接,則又因?yàn)?，平?平面,PFEDCBA所以平面同理平面又因?yàn)?，所以平面平面因?yàn)槠矫妫?所以平面所以在上存在點(diǎn)，使得平面，且 .13分 19 （本小題滿分1

8、4分）（）由題意可得解得 所以橢圓的方程為. .4分（）直線恒過軸上的定點(diǎn).證明如下（1） 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為,不妨設(shè)，.此時(shí)，直線的方程為：，所以直線過點(diǎn).（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，,.由得.所以.直線，令，得，所以.由于，所以.故直線過點(diǎn).綜上所述，直線恒過軸上的定點(diǎn). .14分 20 （本小題滿分14分）解：（）當(dāng)時(shí)， 所以， 又，所以曲線在處的切線方程為.4分 （）函數(shù)的定義域?yàn)?，?） 當(dāng)即時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，所以的單調(diào)增區(qū)間為（2） 當(dāng)，即時(shí)，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 .9分 （）因?yàn)?，所?令，.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).又，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn).且時(shí)，時(shí)，則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù).又