1、專題20 圓錐曲線的綜合問題 文1.定值與最值及范圍問題掌握與圓錐曲線有關的最值、定值、參數(shù)范圍問題掌握解答題2.存在性問題了解并掌握與圓錐曲線有關的存在性問題掌握解答題分析解讀1.會處理動曲線(含直線)過定點的問題.2.會證明與曲線上的動點有關的定值問題.3.會按條件建立目標函數(shù),研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題,注意運用“數(shù)形結合”“幾何法”求某些量的最值.4.能與其他知識交匯,從假設結論成立入手,通過推理論證解答存在性問題.5.本節(jié)在高考中圍繞直線與圓錐曲線的位置關系,展開對定值、最值、參數(shù)取值范圍等問題的考查,注重對數(shù)學思想方法的考查,分值約為12分,難度偏大.2020年高考全景

2、展示1【2020年江蘇卷】在平面直角坐標系中，A為直線上在第一象限內的點，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D若，則點A的橫坐標為_【答案】3【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結果.點睛：以向量為載體求相關變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.2【2020年浙江卷】如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上（）設AB中點為M，證明：PM垂直

3、于y軸；（）若P是半橢圓x2+=1(xb0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.()求橢圓C的方程；()動直線l:y=kx+m(m0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,圓N的半徑為|NO|. 設D為AB的中點,DE,DF與圓N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.【答案】();()的最小值為.【解析】試題分析：()得所,由橢圓C截直線y=1所得線段的長度為得,求得橢圓的方程為；()（2由,解得,確定, ,所以,由此可得的最小值為的最小值為.（）設，聯(lián)立方程得，由 得 （*）且，因此，所以，又，所以 整理得： ，因為 所以 令 故 所以.故，設，則，所以得最

4、小值為.從而的最小值為，此時直線的斜率時.綜上所述：當，時，取得最小值為.【考點】圓與橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、 【名師點睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題常見解法：幾何法,若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決；代數(shù)法,若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系,則可先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導數(shù)法求解2.【2020天津，文20】已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的

5、離心率；（II）設點在線段上，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.【答案】（）（）（）（）【解析】試題分析：（）根據(jù)圖象分析出， 再結合，求得離心率；（）（）首先設直線的方程是，再寫出直線的方程，方程聯(lián)立得到點的坐標，根據(jù)得到的值，求得直線的斜率；（）直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，求得點的坐標，再求，確定直線和都垂直于直線，根據(jù)平面幾何關系求面積，求，解橢圓方程.（）（）依題意，設直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點Q的坐標為.由已知|FQ|=，有

6、，整理得，所以，即直線FP的斜率為.【考點】1.橢圓方程；2.橢圓的幾何性質；3.直線與橢圓的位置關系.【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題重點考察了計算能力，以及轉化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關系，確定橢圓離心率是基礎，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關系解題，但本題需求解交點坐標，再求解過程逐步發(fā)現(xiàn)四邊形的幾何關系，從而求解面積，計算結果，本題計算量比較大 3.【2020浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點A，拋物線上的點過點B作直線AP的垂線，垂足為Q（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值【答案】（）；（）【

7、解析】試題分析：（）由兩點求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標，進而表達與的長度，通過函數(shù)求解的最大值（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是，因為|PA|=|PQ|=，所以|PA|PQ|=令，因為，所以 f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k=時，取得最大值 【考點】直線與圓錐曲線的位置關系【名師點睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，通過表達與的長度，通過函數(shù)求解的最大值2020年高考全景展示1. 【2020高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分)已知橢圓

8、C:（ab0）的長軸長為4，焦距為2.（I）求橢圓C的方程；()過動點M(0，m)(m0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B.(i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值.(ii)求直線AB的斜率的最小值.【答案】().()(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為.【解析】試題分析：()分別計算即得.()(i)設，利用對稱點可得 得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.(ii)設，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程聯(lián)立，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系得到、及用表示的式

9、子，進一步應用基本不等式即得.()(i)設，由，可得 所以 直線PM的斜率，直線QM的斜率.此時，所以為定值.(ii)設，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得，所以，由，可知，所以，等號當且僅當時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB 的斜率的最小值為. 考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的位置關系；3.基本不等式.【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到參數(shù)的解析式或方程是關鍵，易錯點是復雜式子的變形

10、能力不足，導致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分析問題解決問題的能力等.2.【2020高考天津文數(shù)】（設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標準方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關系解出直線斜率.（2）設直線的斜率為，則直線的方程為，設，由方程組消去，整理得，

11、解得或，由題意得，從而，由（1）知，設，有，由，得，所以，解得，因此直線的方程為，設，由方程組消去，得，在中，即，化簡得，即，解得或，所以直線的斜率為或. 考點：橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程【名師點睛】解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題直線與圓錐曲線位置關系的判斷、有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關系以及設而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學思想方法的熱點題型3.【2020高

12、考四川文科】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.()求橢圓E的方程；()設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【解析】試題分析：（）由橢圓兩個焦點與短軸的一個端點是正三角形的三個頂點可得，橢圓的標準方程中可減少一個參數(shù)，再利用在橢圓上，可解出b的值，從而得到橢圓的標準方程；（）首先設出直線方程為，同時設交點，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關系，得，由求得（用表示），由方程具體地得出坐標，也可計算出，從而證得

13、相等試題解析：（I）由已知，a=2b.又橢圓過點，故，解得.所以橢圓E的方程是.考點：橢圓的標準方程及其幾何性質.【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，考查學生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點問題時，一般都設交點坐標為，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設而不求”法可減少計算量，簡化解題過程4.【2020高考新課標1文數(shù)】（本小題滿分12分）在直角坐標系中,直線l:y=t(t0)交y軸于點M,交拋物線C：于點P,M關于點P的對稱點為N,連結ON并延長交C于點H.（I）求；（II）除H以外,直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.【答案】（I）2（II）沒有【解答】試題分析：先確定,的方程為,代入整理得,解得, ,得,由此可得為的中點,即.（II）把直線的方程,與聯(lián)立得,解得,即直線與只有一個公共點,所以除以外直線與沒有其它公共點. （）直線與除以外沒有其它公共點.理由如下：直線的方程為,即.代入得,解