1、第十一章 年輕人的事業(yè),代數(shù)學(xué)的解放,長期以來，人們習(xí)慣于把數(shù)學(xué)籠統(tǒng)地劃分為幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)兩大分支 19世紀(jì)，古老的歐氏幾何發(fā)生了天翻地覆的變化 幾乎在同一時期，代數(shù)學(xué)也經(jīng)歷著革命性的變革,長期以來，人們習(xí)慣于把數(shù)學(xué)籠統(tǒng)地劃分為幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)兩大分支 19世紀(jì)，古老的歐氏幾何發(fā)生了天翻地覆的變化 幾乎在同一時期，代數(shù)學(xué)也經(jīng)歷著革命性的變革 分別從方程論和數(shù)概念擴(kuò)展兩條線索進(jìn)行代數(shù)學(xué)革命的介紹,11.1 從代數(shù)方程的解法到群論,11.1.1 問題的提出 一元高次方程方程論高等代數(shù)學(xué)近世代數(shù)； 多元一次方程組線性代數(shù),11.1.1 問題的提出,人們嘗試將一般高次方程的求解歸納為低一次的方程的求解，

2、從而得出任意高次方程的根式解。但嘗試以失敗告終。 到19世紀(jì)，人們主要獲得了以下一些成果： （1）魯菲尼得出定理：如果一個方程能用根式解出，那么這一根式必定是已知方程的根和單位根的有理函數(shù),11.1.1 問題的提出,（2）高斯對代數(shù)基本定理給出完整證明。(任何復(fù)系數(shù)一元n次多項式、方程在復(fù)數(shù)域上至少有一個根(n1)，由此推出，n次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個根（重根按重數(shù)計算）) （3）韋達(dá)得到根與系數(shù)的關(guān)系。,11.1.1 問題的提出,（4）笛卡爾指出代數(shù)方程根的分布情況。 （5）拉格朗日認(rèn)為方程根的排列理論比方程根式解的理論更有意義，比如他在分析三、四次方程解法時看到了方程根的對

3、稱性的作用，他在分析時所運(yùn)用的方法實際上已經(jīng)涉及一個新的數(shù)學(xué)概念，即置換群。 但是，用根號解四次以上的方程不可能問題未能得到解決。,11.1.2阿貝爾,高于四次的代數(shù)方程不可根式解的問題最終由阿貝爾證明。他的在這方面的成就主要有： （1）嚴(yán)格證明了如果一個方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個根式都可以表示成方程的根和某些單位根的有理函數(shù)。,11.1.2阿貝爾,（2）證明了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。,11.1.2阿貝爾,（2）證明了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。 （3）引入了兩個新的數(shù)學(xué)概念：域和不可約多項式。第一個引入了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想。,11.1

4、.2阿貝爾,用阿貝爾的方法可以構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解方程，但卻不能判定已給方程是否可用根式求解。,11.1.3伽羅瓦,阿貝爾證明了一般四次以上方程根式求解的不可能性，并沒有排除高次方程的根式可解性。 確定哪些方程可用根式求解，這個工作是由伽羅瓦完成的。,11.1.3伽羅瓦,伽羅瓦引入了置換群、子群、正規(guī)子群等概念。 他發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程可用根式解的基本定理伽羅瓦定理：給定一個代數(shù)方程，設(shè)G為該方程的伽羅瓦群，它的一系列最大正規(guī)子群為Gi，則原方程可根式解的充要條件是指標(biāo)Gi/Gi+1均為素數(shù),11.1.3伽羅瓦,伽羅瓦基本定理給出了任一代數(shù)方程可根式解的充要條件,11.1.3伽羅瓦,伽羅瓦基本定理

5、給出了任一代數(shù)方程可根式解的充要條件 他提出的“群”概念。使得人們發(fā)現(xiàn)，代數(shù)能夠處理的不一定是以實數(shù)或復(fù)數(shù)為對象所組成的集合，只要滿足一定的運(yùn)算律都可作為代數(shù)的研究對象。從此，數(shù)學(xué)研究的對象大大地擴(kuò)展了,11.1.3伽羅瓦,伽羅瓦提供了一種更為一般的解決問題的方法。即：當(dāng)一個問題難以處理時，可將它置于一個整體結(jié)構(gòu)之中來考慮，甚至可以將它置于另一個同構(gòu)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中去考察。,11.1.3伽羅瓦,如伽羅瓦本人對高次方程根式可解性問題的討論，就是將代數(shù)方程根與代數(shù)方程系數(shù)域?qū)?yīng)起來構(gòu)造相應(yīng)的置換群，把方程有無根式解的問題轉(zhuǎn)化成對群的結(jié)構(gòu)的分析,11.1.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想,阿貝爾和伽羅瓦的成果開創(chuàng)了用

6、結(jié)構(gòu)思想處理問題的新方法。 對許多不相聯(lián)系的代數(shù)抽出它們共同的內(nèi)容來進(jìn)行綜合的研究，可以提高效率。例如，把群與幾何聯(lián)系在一起研究，可以用“群”來統(tǒng)一幾何學(xué)。,11.1.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想,F*克萊因在愛爾朗根綱領(lǐng)中指出，現(xiàn)存的幾何學(xué)都可以用群予以分類，可以用群給幾何學(xué)以統(tǒng)一的定義。,11.1.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想,在幾何中，把平面變到自身的映射稱作變換。容易驗證合同變換具有以下性質(zhì)： 合同變換的逆變換還是合同變換； 合同變換的積仍是合同變換； 在合同變換下，共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線，射線變?yōu)樯渚€，角變?yōu)榻?，三角形仍變?yōu)槿切危覍?yīng)角相等，因而對應(yīng)的三角形全等。,11.1.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)

7、的思想,在克萊因看來，每種幾何都可以由變換群來刻畫。例如平面上的歐氏度量幾何是研究在平移、旋轉(zhuǎn)、反射組成的變換下的不變量的性質(zhì)，這些平移、旋轉(zhuǎn)、反射組成一個變換群。若將這個變換群增添位似變換，則在這個擴(kuò)大的群下，這時的幾何稱為平面相似幾何。由這個觀點，所有現(xiàn)存幾何都可歸入射影幾何之中，因為它們的變換群都是射影幾何變換群的子群。,11.1.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想,每一種幾何學(xué)都可以看作是在某種變換群下幾何圖形不變性質(zhì)和不變量的科學(xué)體系,11.2 代數(shù)學(xué)的擴(kuò)張,下面以數(shù)系擴(kuò)展為線索討論代數(shù)學(xué)的發(fā)展,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,哈密頓生平,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,哈密頓環(huán)游世界問題：把一

8、個正十二面體的20個頂點看成是世界上20個著名的城市，玩游戲的人從某一城市（即正十二面體的某一頂點）出發(fā)，沿著正十二面體的各條棱前進(jìn)，要求將所有城市無一遺漏且不重復(fù)地全部通過那么，怎樣找到這條路線呢？即，能否遍歷正12面體的每個頂點一次且僅一次后回到原地。,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,哈密頓在數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。 首先，哈密頓建立起復(fù)數(shù)（即二元數(shù)）的邏輯基礎(chǔ)：復(fù)數(shù)a+bi的符號意義只能理解為是實數(shù)的有序數(shù)對（a,b），并在其上定義了加法和乘法。,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,如a,b,c,dR, (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)即(a+bi)+(c+di)=(a

9、+b)+(c+d)i; (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)即(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i； 并且(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d，即a+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d。,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,不能將a+bi理解成實數(shù)a和虛數(shù)bi的和，而是理解為有序?qū)崝?shù)對（a,b），因為只有這樣，在實數(shù)中所滿足的運(yùn)算律，才能合理地在復(fù)數(shù)中得到體現(xiàn)，這樣他就成功地把復(fù)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立在了實數(shù)的基礎(chǔ)上,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,實數(shù)與直線上的點是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)與二維空間中的點（二維向量）是一一對應(yīng)的，自然的想到，是否有新的數(shù)與三維

10、空間中的點（三維向量）一一對應(yīng)呢？,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,可以要求新的數(shù)系必須由實數(shù)出發(fā)，借助于有限個不同的單位建立起來，如a+bi+cj；并且保持實數(shù)運(yùn)算的全部運(yùn)算律（加、減、乘、結(jié)合律、交換律、分配律，除法可以施行）和“模法則”，,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,按以上要求將二元數(shù)向三元數(shù)的擴(kuò)展是不可能的,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,放棄乘法交換律，那么，數(shù)概念的擴(kuò)充是可能的，而且僅有一種可能，即由復(fù)數(shù)系（二元數(shù)系）擴(kuò)充到四元數(shù)系 (a+bi+cj+dk，其中 ),11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,如果不放棄乘法交換律，而是減弱乘法結(jié)合律，且換之以交錯律（aa）b=a(ab),a(bb)=(ab)b，那么，數(shù)的概念擴(kuò)充就有且僅有兩種可能：四元數(shù)系、八元數(shù)系,11.2.1 哈密頓與“四元數(shù)”,如果不放棄乘法交換律，而是減弱