1、專題 圓錐曲線 第四講直線與圓錐曲線位置關(guān)系活動一：基礎(chǔ)檢測：1拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是_2橢圓1的一個焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是_3過點(diǎn)的直線l與拋物線yx2交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_活動二：探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1（南通市2020屆高三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是邊長為的等邊三角形.求橢圓的方程；過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記，的面積分別為.若，求直線的斜率.訓(xùn)練1

2、、（2020屆南京、鹽城市高三二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E：的離心率為，直線l：與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N.（1）求的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值。探究點(diǎn)二中點(diǎn)弦問題【例2】過點(diǎn)P(1,1)作直線交橢圓1于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，求AB所在直線的方程【訓(xùn)練2】 橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程探究點(diǎn)三定值(定點(diǎn))問題【例3】已知橢圓1上的兩個動點(diǎn)P，Q，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求

3、證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點(diǎn)A；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是B，求PB的最小值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)【訓(xùn)練3】 (2020四川)如圖過點(diǎn)C(0,1)的橢圓1(ab0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(a,0)過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時，求線段CD的長；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時，求證：為定值活動三：自主檢測：一、填空題1(2020重慶)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為_2已知直線l1：4x3y60和直線l

4、2：x1，拋物線y24x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為_3已知直線yk(x2) (k0)與拋物線C：y28x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)若FA2FB，則k_.4(2020鎮(zhèn)江模擬)若直線ykx1 (kR)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1恒有公共點(diǎn)，則t的范圍是_5(2020全國)已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個交點(diǎn)為B，若AM，則p_.二、解答題6（蘇錫常鎮(zhèn)四市2020屆高三5月調(diào)研（二）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F 與F，圓：（1）設(shè)M為圓F上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若P為橢圓上任

5、意一點(diǎn)，以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的公共弦為QT，證明：點(diǎn)F到直線QT的距離FH為定值7(14分)(2020天津)已知橢圓1(ab0)的離心率e，連結(jié)橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且4，求y0的值8、（2020年江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為3。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， （2）過F的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線和于點(diǎn)，若，求直線的方程。9、（蘇錫常鎮(zhèn)四市2020屆高三教學(xué)情況調(diào)研

6、（二）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上，對角線與分別過橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且，橢圓的一條準(zhǔn)線方程為 （1）求橢圓方程； （2）求四邊形面積的取值范圍直線與圓錐曲線位置關(guān)系答案基礎(chǔ)檢測142. . 3探究點(diǎn)一例1訓(xùn)練1、解（1）因?yàn)閑，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故橢圓方程為1由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以O(shè)A，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C(x0，

7、y0)，顯然k1k2從而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB 于是直線AD的方程為y1k2(x2)，直線BC的方程為y1(x2)由解得 從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設(shè)DA的斜率為k2，由知kDB此時CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn)M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn)N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16

8、分方法二：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2顯然k1k2直線AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x1，y1)，則2x1，從而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直線BC的方程為y1(x2)又直線AD的方程為y1k2(x2)由解得 從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，) 用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有

9、直線的斜率不存在時，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設(shè)DA的斜率為k2，則由知kDB此時CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn)M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn)N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16分【例2】過點(diǎn)P(1,1)作直線交橢圓1于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，求AB所在直線的方程審題視點(diǎn) 已知弦的中點(diǎn)，常采用“點(diǎn)差法”求弦所在直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程解設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則1，1，由得.線段AB所在直線的方程為y1(x1)，

10、即x2y30.中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”求解在橢圓1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k；在雙曲線1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k，在拋物線y22px(p0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k.【訓(xùn)練2】 橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程解設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將b

11、a代入得a，b.所求橢圓的方程是1.考向四定值(定點(diǎn))問題【例3】已知橢圓1上的兩個動點(diǎn)P，Q，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點(diǎn)A；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是B，求PB的最小值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)審題視點(diǎn) (1)由x1x22可得PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，引入?yún)?shù)PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解(2)建立PB關(guān)于動點(diǎn)坐標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值(1)證明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.當(dāng)x1x2時，由，得.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)N(1，n)，kPQ，線段PQ的垂直平分線方程為yn2n(x1)，(2x1

12、)ny0，則直線恒過一個定點(diǎn)A.當(dāng)x1x2時，線段PQ的中垂線也過定點(diǎn)A.綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點(diǎn)A.(2)解由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，故點(diǎn)B.2x12，2x22，x12x20,2，PB22y(x11)2，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)時，PBmin.以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景的證明題常見的有：證明直線過定點(diǎn)和證明某些量為定值而解決這類定點(diǎn)與定值問題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點(diǎn)或定值，這種方法難度大，運(yùn)算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)或定值，然后驗(yàn)證，這樣在整理式子或求值時就有了明確的方向【訓(xùn)練3】 (2020四川)如圖過

13、點(diǎn)C(0,1)的橢圓1(ab0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(a,0)過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時，求線段CD的長；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時，求證：為定值(1)解由已知得b1，解得a2，所以橢圓方程為y21.橢圓的右焦點(diǎn)為(，0)，此時直線l的方程為yx1，代入橢圓方程化簡得7x28x0.解得x10，x2，代入直線l的方程得y11，y2，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.故CD .(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1(k0且k)代入橢圓方程化簡得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入

14、直線l的方程得y11，y2，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.又直線AC的方程為y1，直線BD的方程為y(x2)，聯(lián)立解得因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4k,2k1)又P點(diǎn)坐標(biāo)為.所以(4k,2k1)4.故為定值自主檢測：1 yx22解析由拋物線y24x知直線l2為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為F(1,0)由拋物線的定義可知動點(diǎn)P到直線l2的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離相等，所以P到直線l1的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F(1,0)到直線l1的距離(如圖)，則d2.3. 4.1,5)5.267解(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由題意可知2a2b4，即ab2.解方程組得所以橢圓的方程為y21.(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直線l的斜率必存在設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x2)于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x1，所以x1，從而y1.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為(，)(6分)以下分兩種情況討論：當(dāng)k0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)，線段AB的垂直