1、數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義：二次根式數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義：二次根式 一、一、知識的拓廣延伸知識的拓廣延伸 1 1、 挖掘二次根式中的隱含條件挖掘二次根式中的隱含條件 一般地，我們把形如a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0, a 0。 根據(jù)二次根式的定義，我們知道：被開方數(shù)a 的取值范圍是 a 0 ，由此我們判斷下列式子有意義的條件： (1)x 1 1 x 1 ; (2) 2 x 1 ; x2 ( x 2.5) 0 3 x x 2 (3)1 x 2 2 2、 a 的化簡的化簡 3 x 2; (4) 2 x 7 ; (5) x 1 2 教科書中給出：一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義可知： a a(a 0) ，

2、在此我們可將其拓展為： a(a 0) a2|a|a(a 0) （1 1） 、根據(jù)二次根式的這個性質(zhì)進行化簡：、根據(jù)二次根式的這個性質(zhì)進行化簡： 數(shù)軸上表示數(shù) a 的點在原點的左邊，化簡 2aa2 = 1 11 2a 2 a2 化簡求值： a ；其中 a= 5 1 m 3 22 2 已知，化簡 2m 4m m 1m 6m 9 (3 x)2 _ ； 若為 a,b,c 三角形的三邊，則 (a bc)2(a bc)2 _ ; 22(4 17) ( 17 5) _ .計算： （2 2）、根據(jù)二次根式的定義和性質(zhì)求字母的值或取值范圍。）、根據(jù)二次根式的定義和性質(zhì)求字母的值或取值范圍。 2 若 m 12m

3、m 1 ,求 m 的取值范圍。 1 若 (2 x)2(62x)2 4 x ，則 x 的取值范圍是 22a 2ab ba 2b14 7b 若,求的值； 已知:y= 2x5 52x 3,求2xy的值。 3 3、 如何把根號外的式子移入根號內(nèi)如何把根號外的式子移入根號內(nèi) 我們在化簡某些二次根式時， 有時會用到將根號外的式子移入根號內(nèi)的知識， 這樣式子的化簡更為簡單。 在此我們要特別注意先根據(jù)二次根式的意義來判斷根號外的式子的符號。如果根號外的式子為非負值，可將 其平方后移入根號內(nèi)，與原被開方數(shù)相乘作為新的被開方數(shù)，根號前的符號不會發(fā)生改變；如果根號外的式 子為負值，那么要先將根號前的符號變號，再將其

4、其平方后移入根號內(nèi)，與原被開方數(shù)相乘作為新的被開方 數(shù)。 （1） 、 根據(jù)上述法則，我們試著將下列各式根號外的式子移入根號內(nèi)： a 1 a， (a1) 1 1a （2） 、利用此方法可比較兩個無理數(shù)的大小。 (1)3 5與4 3(2)2 32與 3-23 4 4、 海倫秦九韶公式海倫秦九韶公式 已知三角形的三條邊長分別為 a、b、c，則三角形的面積為 S= p(pa)(pb)(pc)，其中p= abc，這個公式叫做海倫公式。 2 根據(jù)該公式，可以在不求三角形的高的情況下，利用三角形的三邊長度來求三角形的面積。 （1） 、海倫公式的證明。 （2 2） 、海倫公式的推廣：、海倫公式的推廣： 在 任

5、 意 內(nèi) 接 于 圓 的 四 邊 形ABCD中 ， 四 邊 形ABCD的 四 邊 分 別 為a 、 b 、 c 、 d ， 設(shè) p= abc+d ，則S四邊形= (pa)(pb)(pc)(p d)。 2 例如：已知內(nèi)接于圓的四邊形ABCD 中，AD=1，AB=1，CD=2。 求證四邊形 ABCD 可能為等腰梯形。 二、二、拓展性問題拓展性問題 1 1、 整數(shù)部分與小數(shù)部分整數(shù)部分與小數(shù)部分 要判斷一個實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分，應(yīng)先判斷已知實數(shù)的取值范圍，從而確定其整數(shù)部分，再由“小數(shù) 部分=原數(shù)整數(shù)部分”來確定其小數(shù)部分。 2 例： （1） 、已知 6 1的整數(shù)部分為 a，小數(shù)部分為 b，試求

6、abb的值。 （2）若 x、y 分別為 8 11的整數(shù)部分與小數(shù)部分，求2xyy的值。 （3）已知 2 2 2 4 22 的整數(shù)部分為 a，小數(shù)部分為 b，求 a +b 的值。 5 1 a _。 b a （5）、若 3+2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值。 ab （4）若a 17，b是a的小數(shù)部分，則 2 2、巧變已知，求多項式的值。、巧變已知，求多項式的值。 （1）、若x 1 ，求x33x25x1的值。 25 11 ，y-z=，求x2+y2 z2 xy xz yz的值。 2323 （2）、若x y （3）、若m 1 ，則m 2011m3的值為_。 20121 3 3、用歸納法化簡求值、用

7、歸納法化簡求值 化簡 1111 +.+ 21+232+2343+34109 910 4 4、應(yīng)用海倫秦九韶公式。、應(yīng)用海倫秦九韶公式。 在三角形 ABC 中，BC=4，AC=5，AB=7，求此三角形的面積。 3 5 5、分母有理化、分母有理化 (1)(1)分母有理化分母有理化定義：定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。 (2)(2)有理化因式：有理化因式： 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。 有理化因式確定方法如下： 單項二次根式：利用 a a a來確定，如：a與 a，ab與 ab，a b與a b等分別 互為有理化因式。 兩 項 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 來 確 定 。 如a b 與a b ， a b與 a b ， a x b y與a x b y分別互為有理化因式。 (3)(3)分母有理化的方法與步驟：分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。 【例】【例】 把下列各式分母有理化 （1） 1、已知x 2、把下列各式分母有理化： 124 325 33 3 （2）（3）