1、極值理論在風險價值度量中的應用1、引言自20世紀70年代以來，金融市場的波動日益加劇，一些金融危機事件頻繁發(fā)生，如1987年的“黑色周末”和亞洲金融危機，這使金融監(jiān)管機構(gòu)和廣大的投資者對金融資產(chǎn)價值的暴跌變得尤為敏感。金融資產(chǎn)收益率的尖峰、厚尾現(xiàn)象也使傳統(tǒng)的正態(tài)分布假定受到嚴重的質(zhì)疑，因此如何有效地刻畫金融資產(chǎn)收益率的尾部特征，給出其漸進分布形式，及各種風險度量模型的準確估計方法和置信區(qū)間，依此制定投資策略，確定國家監(jiān)管制度，成為風險度量和管理所面臨的巨大挑戰(zhàn)。目前，對金融資產(chǎn)損失的估計方法主要包括歷史模擬、參數(shù)方法和非參數(shù)方法。歷史模擬是一種最簡單的方法，它利用損失的經(jīng)驗分布來近似真實分布，

2、但是該方法不能對過去觀察不到的數(shù)據(jù)進行外推，更不能捕獲金融資產(chǎn)收益序列的波動率聚類現(xiàn)象，而受到大量的批評。參數(shù)方法假設(shè)收益符合某種特定的分布如：正態(tài)分布、t分布等，再通過分布與樣本的均值、方差的匹配對參數(shù)進行估計，或者是假設(shè)收益符合某種特定的過程如：模型、模型，該方法可以在一定程度上解釋尖峰后尾現(xiàn)象和波動率聚類問題，具有比較好的整體擬和效果。不過參數(shù)方法只能對已經(jīng)到來的災難信息給出準確的估計，對于即將到來的災難信息無法給出準確的預測，因此對極端事件的估計缺乏準確性。非參數(shù)方法則主要包括極值理論（EVT），該理論不研究序列的整體分布情況，只關(guān)心序列的極值分布情況，利用廣義帕累托分布（genera

3、lized Pareto distribution）或者廣義極值分布（generalized extreme value distribution）來逼近損失的尾部分布情況。Danielsson and de Vries（1997）以7支美國股票構(gòu)成的組合為樣本比較各種模型的表現(xiàn)情況，發(fā)現(xiàn)EVT的表現(xiàn)比參數(shù)方法和歷史模擬方法明顯的好。Longin（2000）認為極值理論的優(yōu)點在于它的沒有假設(shè)特定的模型，而是讓數(shù)據(jù)自己去選擇，而GARCH模型作為估計風險的一種方法，它只能反映當時的波動率情況，對于沒有預期到的變化缺乏準確性。不幸的是，Lee and Saltoglu（2003）把EVT模型應用到

4、5個亞洲股票市場指數(shù)上，發(fā)現(xiàn)表現(xiàn)令人非常不滿意，而傳統(tǒng)的方法盡管沒有一個在各個市場表現(xiàn)都是絕對優(yōu)于其它模型的，但都比EVT模型的表現(xiàn)好。本人認為EVT模型之所以在亞洲市場表現(xiàn)不好主要是因為亞洲金融市場的數(shù)據(jù)具有很強的序列相關(guān)和條件異方差現(xiàn)象，不能滿足EVT模型要求的獨立同分布假定。另外，Jondeau and Rockinger（1999），Rootzen and Kluppelberg（1999），Neftci（2000），Gilli and Kellezi（2003）和Christoffersen and Goncalves（2004）也分別采用極值原理和其他模型對金融數(shù)據(jù)的尾部特征進行了

5、分析和比較。本章在傳統(tǒng)單純采用極值理論（假設(shè)被分析數(shù)據(jù)是獨立同分布的）描述金融資產(chǎn)收益尾部特征的基礎(chǔ)上，把ARMA(Asymmetric)GARCH模型和極值理論有機的結(jié)合起來。首先利用ARMA(Asymmetric)GARCH模型捕獲金融數(shù)據(jù)中的序列自相關(guān)（Correlation）和異方差（Heteroskedasticity）現(xiàn)象，利用GMM估計參數(shù)，獲得近似獨立同分布的殘差序列，再采用傳統(tǒng)的極值理論對經(jīng)過ARMA(Asymmetric)GARCH模型篩選處理過的殘差進行極值分析，在一定程度上克服了傳統(tǒng)單純采用極值理論時，由于金融數(shù)據(jù)序列自相關(guān)和波動率聚類現(xiàn)象不能滿足極值理論假設(shè)所造成的估

6、計誤差。另外，本章還采用Bootstrap的方法給出了采用極值理論估計出的VaR和ES在某一置信水平下的置信區(qū)間改進了采用似然比率法估計置信區(qū)間時，由于極值事件的小樣本所造成的誤差。最后，我們利用中國上證指數(shù)自1990年12月19到2004年9月30日的對數(shù)日收益率進行實證研究給出上證指數(shù)的VaR和ES值，及置信區(qū)間。2、VaR和ES的概念：VaR（ValueatRisk）是一種被廣泛接受的風險度量工具，2001年的巴塞耳委員會指定VaR模型作為銀行標準的風險度量工具。它可以定義為在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或投資組合在未來特定時間內(nèi)的最大損失，或者說是資產(chǎn)組合收益損失分布函數(shù)的分位數(shù)點。假設(shè)

7、代表某一金融資產(chǎn)的收益，其密度函數(shù)為，則VaR可以表示為： （1） 當密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)是也可以寫作：，其中稱為分為數(shù)函數(shù)，它被定義為損失分布的反函數(shù)。該模型計算簡單，在證券組合損失符合正態(tài)分布，組合中的證券數(shù)量不發(fā)生變化時，可以比較有效的控制組合的風險。但是VaR模型只關(guān)心超過VaR值的頻率，而不關(guān)心超過VaR值的損失分布情況，且在處理損失符合非正態(tài)分布（如后尾現(xiàn)象）及投資組合發(fā)生改變時表現(xiàn)不穩(wěn)定，會出現(xiàn) （2）的現(xiàn)象，不滿足Artzner（1999）提出了一致性風險度量模型的次可加性。（Expected shortfull）滿足Artzner（1999）提出的次可加性、齊次性、單調(diào)性、平移

8、不變性條件，是一致性風險度量模型。它的定義如下：在給定的置信水平下，設(shè)是描述證券組合損失的隨機變量，是其概率分布函數(shù)，令，則可以表示為： （3）在損失的密度函數(shù)是連續(xù)時，可以簡單的表示為：。 本章將分別選用這兩個模型來度量金融資產(chǎn)的風險，給出在修正過的極值模型下，其估計的方法和置信區(qū)間。3. ARMA(Asymmetric)GARCH模型3.1 ARMA(Asymmetric)GARCH模型的性質(zhì)模型： （4）其中，是期望為0，方差為常數(shù)的獨立同分布隨機變量，模型在可逆的情況下可以表示為。該模型假設(shè)的條件期望是可得的，條件方差為常數(shù)，通?？梢杂脕斫忉寱r間序列的相關(guān)性，并可以對時間序列進行的短期

9、預測。但是該模型條件方差為常數(shù)的假設(shè)，使其無法有效的解釋在金融時間序列中經(jīng)常被觀察到的波動率聚類現(xiàn)象，為此，我們需要在模型中進一步引入模型。我們令，其中是期望為0，方差為常數(shù)1，的獨立同分布隨機變量，是在時刻的條件方差。這里我們采用通常使用的最簡單的模型，則條件方差可以表示為：，模型也可以表示成平方誤的形式： （5）其中，因此模型本質(zhì)上是平方誤的。模型的引入不僅可以捕獲到金融時間序列的波動率聚類現(xiàn)象，而且可以在一定程度上改善尖峰后尾現(xiàn)象，因為 （6）其中和分別表示和的峰度，的峰度明顯大于等于的峰度。另外，在金融序列中我們還可以明顯的觀察到，波動率正方向變動與收益率負方向變動的相關(guān)性大于與收益率

10、正方向變動的相關(guān)性，一種可能的解釋是收益率的負方向變動會加大波動幅度。而模型認為收益的正方向變動和負方向變動對波動率變動幅度有著相同的影響，為了捕獲金融序列波動率變動的這一不對稱性，我們引入需要Glosten et al（1993）提出的非對稱模型： （7）其中，在這個模型中我們通過項來捕獲收益率的正負變動對波動率變動的不同影響，如果收益率的波動與收益率波動率的變動像我們上面所預期的那樣，則。這樣我們就得到了ARMA(Asymmetric)GARCH模型 （8）3.2、ARMA(Asymmetric)GARCH模型的參數(shù)估計：我們知道在條件正態(tài)分布的假設(shè)下，可以很容易的利用ARMA(Asymm

11、etric)GARCH模型的似然函數(shù)，給出參數(shù)向量的估計值，其中，。即使在金融收益率序列殘差不滿足條件正態(tài)分布的情況下，使用正態(tài)極大似然估計法，仍然可以得到參數(shù)的一致漸進正態(tài)非最小方差估計。但是這樣我們得到的殘差將有很大的誤差，而是我們下一步進行EVT尾部估計的輸入變量，它的有效性將會直接影響我們整個的估計結(jié)果，為此我們必須尋找一個更有效的估計方法。GMM（Generalized Method of Moments）廣義矩估計恰好可以滿足我們的要求，它不需要假設(shè)符合任何分布，只需要的條件矩。在Skoglund（2001）“A simple efficient GMM estimator of

12、GARCH models”給出了該估計方法的計算過程和收斂情況。下面給去估計的步驟：首先，定義一個行向量 和廣義向量 ，其中是工具變量，則參數(shù)的GMM估計可以通過下式得到： （9）其中是一個恰當?shù)臋?quán)重矩陣。在Newey and McFadden（1994）中，我們可以知道，有效的GMM估計可以通過另，其中，是Jacobian行列式。把和帶入上面的目標函數(shù)（9）得到： （10）其中，是一個含有參數(shù)的權(quán)重矩陣，它的元素可以表示為：其中，通過上面對目標函數(shù)（9）的變化，我們得到函數(shù)是恰好可識別的，即參數(shù)的最優(yōu)估計是使函數(shù)等于0。另外，我們要進行GMM估計還需要一個對參數(shù)的初始估計值和對的三階矩和四階

13、矩的初始估計值，而這一初始值我們可以通過對ARMA(Asymmetric)GARCH模型殘差符合正態(tài)分布的情況進行最大似然估計得到。這樣我們就可以得到有效的參數(shù)估計值和殘差序列。4、極值理論極值理論是測量極端市場條件下風險損失的一種方法，它具有超越樣本數(shù)據(jù)的估計能力，并可以準確地描述分布尾部的分位數(shù)。它主要包括兩類模型：BMM模型（Block Maxima Method）和POT模型（Peaks over Threshold），兩類模型的主要區(qū)別有：1、極值數(shù)據(jù)的獲取方法上的區(qū)別，BMM模型通過對數(shù)據(jù)進行分組，然后在每個小組中選取最大的一個構(gòu)成新的極值數(shù)據(jù)組，并以該數(shù)據(jù)組進行建模；POT模型則

14、通過事先設(shè)定一個閥值，把所有觀測到的超過這一閥值的數(shù)據(jù)構(gòu)成的數(shù)據(jù)組，以該數(shù)據(jù)組作為建模的對象，兩個模型的共同點是只考慮尾部的近似表達，而不是對整個分布進行建模。2、兩個模型分別采用極值理論中的兩個不同的定理作為其理論依據(jù)，同時也因為獲取極值數(shù)據(jù)的不同方法導致兩個模型分別采用不同的分布來擬合極值數(shù)據(jù)。3、BMM模型是一種傳統(tǒng)的極值分析方法，主要用于處理具有明顯季節(jié)性數(shù)據(jù)的極值問題上，POT模型是一種新型的模型，對數(shù)據(jù)要求的數(shù)量比較少，是現(xiàn)在經(jīng)常使用的一類極值模型。4、BMM模型主要用于對未來一段較長的時間內(nèi)的VaR和ES預測，而POT則可以進行單步預測，給出在未來一段小的時間內(nèi)VaR和ES的估計

15、值。5、BMM模型的前提條件是樣本獨立同分布，POT模型的前提條件是超限發(fā)生的時間服從泊松分布，超限彼此相互獨立，服從GPD（generalized Pareto distribution）分布,且超限與超限發(fā)生的時間相互獨立。樣本獨立同分布可以保證POT模型的前提條件。4.1 BMM模型的理論基礎(chǔ)假設(shè)表示我們采用BMM方法獲得的極值數(shù)據(jù)組，其中n表示每個子樣本的大小，則有下面的極限定理成立定理1：（Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)）假設(shè)是一個獨立同分布的隨機變量序列，如果存在常數(shù)，以及一個非退化的分布函數(shù)，使得 成立，則分布函數(shù)一定屬于下面

16、的三種標準的極值分布： Frechet： Weibull： Gumbel： 從圖1可以清楚的Frechet分布用來描述那些極值無上界有下界的分布，Weibull分布用來描述極值分布有上界，無下界的分布，Gumbel分布用來描述極值無上界也無下界的分布。我們通常見到的很多分布函數(shù)都可以根據(jù)他們尾部的狀況劃分到上面的三種極值分布分布中去，例如：學生分布、帕累托分布（Pareto distribution）、對數(shù)Gamma分布、Cauchy distributed根據(jù)尾部特征可以劃分到Frechet分布中去；均勻分布和Beta分布的尾部分布可以收斂到Weibull分布；正態(tài)分布、Gamma分布和對數(shù)

17、正態(tài)分布的尾部分布都收斂到Gumbel分布。 圖形1：標準Frechet、Weibull和Gumbel分布圖但是，在實際應用中對于一個給定得極值序列，我們應該如何在這三種極值分布中做出選擇呢。一種理想的方法是通過參數(shù)的形式把三種極值分布統(tǒng)一的表示成一個分布函數(shù)，這樣我們就可以在利用最大似然估計的時候，把該參數(shù)也一塊估計出來，讓數(shù)據(jù)去決定它們的選擇，這將極大的增加模型估計的準去性。這里我們采用 Jenkinson and Mises 的方法，把三種分布表示成如下單參數(shù)的形式： （11）其中，這一表達形式也被稱為廣義極值分布函數(shù)（Generalized extreme value distribu

18、tion），當時，表示Frechet分布，當時，表示weibull分布，當時表示Gumbel分布。 在定理1的基礎(chǔ)上，對于給定一個金融資產(chǎn)的殘差序列，我們就可以首先分組求最大值得到的極值序列記為。為了表達上的簡潔，用和代替公式（11）中的和，則可以序列的近似分布函數(shù)： （12）其中。然后，我們要對參數(shù)進行最大似然估計，這需要得到隨機變量的概率密度函數(shù)，通過概率分布函數(shù)（12）對求導，我們得到隨機變量的概率密度函數(shù)： （13）其中。通過似然函數(shù)就可以得到各參數(shù)的估計值： （14）在各參數(shù)估計值給定的基礎(chǔ)上，我們就可以利用極值分布函數(shù)計算不同下的分位數(shù)值，如用表示這一分位數(shù)，則在個周期內(nèi)出現(xiàn)的極值

19、收益會超過這一閥值的預期數(shù)量有且僅有一次。 表達形式為： （15）注：關(guān)于參數(shù)的置信區(qū)間的確定我們在后面給出其計算方法。4.2 POT模型的理論基礎(chǔ)假設(shè)序列的分布函數(shù)為，定義為隨機變量超過門值的條件分布函數(shù)，它可以表示為： （16）根據(jù)條件概率公式我們可以得到： （17）定理2：（Pickand (1975), Balkema and de Haan (1974)）對于一大類分布（幾乎包括所有的常用分布）條件超量分布函數(shù)，存在一個使得： （12）當時，；當時，。分布函數(shù)被稱作廣義的Pareto分布。圖2：廣義Pareto分布在，取0.3，0，-0.3的圖形從圖形上我們可以看到的不同取值確定了尾

20、部的厚度，越大則尾部越厚，越小尾部越薄，從函數(shù)我們還可以得到當時，的最大取值為，有上界。Lee and Saltoglu（2003）在金融資產(chǎn)收益時間序列上直接使用EVT時，由于序列的尖峰后尾，使得確定出來的一定是大于零的，但是在我們的模型中，我們對殘差序列進行極值分析，因此我們得到的不一定大于零。根據(jù)公式（12）我們可以得到廣義的Pareto分布的概率密度函數(shù)：因此對于給定的一個樣本，對數(shù)似然函數(shù)可以表示為： （13）在POT模型中另一個重要的問題，那就是如何確定我們定理2中的閥值，它的確定非常重要，它是正確估計參數(shù)和的前提。如果閥值選取的過高，會導致超額數(shù)據(jù)量太少，使估計出來的參數(shù)方差很大

21、；如果閥值選取的過低，則不能保證超量分布的收斂性，使估計產(chǎn)生大的偏差。Danielsson et al（1997）、de Vries（1997）和Dupuis（1998）給出了對閥值的估計方法，一般有兩種：一是根據(jù)Hill圖，令表示獨立同分布的順序統(tǒng)計量。尾部指數(shù)的Hill統(tǒng)計量定義為：Hill圖定義為點構(gòu)成的曲線，選取Hill圖形中尾部指數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域的起始點的橫坐標K所對應的數(shù)據(jù)作為閥值。二是根據(jù)樣本的超額限望圖，令，樣本的超限期望函數(shù)定義為： （14）超限期望圖為點構(gòu)成的曲線，選取充分大的作為閥值，它使得當時為近似線性函數(shù)。另外，如果超限期望圖當時是向上傾斜的，說明數(shù)據(jù)遵循形狀參數(shù)為正的G

22、PD分布，如果超限期望圖當時是向上傾斜的，說明數(shù)據(jù)來源于尾部較短的分布，如果如果超限期望圖當時是水平的，則說明該數(shù)據(jù)來源于指數(shù)分布。這一判斷方法是根據(jù)廣義Pareto分布在參數(shù)的時候，它超限期望函數(shù)是一個線性函數(shù)。 （15）注：因為對于廣義Pareto分布只存在階矩，如果則存在一階矩，否則一階矩將不存在，就沒有辦法計算超限期望函數(shù)。當確定以后，；利用的觀測值，根據(jù)公式（13）進行最大似然估計得到和。同時，我們得到的觀測值中比閥值大的個數(shù)，記為，根據(jù)公式（17）用頻率代替的值，可以得到在時的表達式： （16）對于給定某個置信水平，可以由的分布函數(shù)公式（15）可以得到： （17）根據(jù)GPD的條件分

23、布函數(shù)公式（15）可以得到： （18）4.3 序列的和置信區(qū)間的估計方法：通常，對于參數(shù)置信區(qū)間的估計方法，在大樣本的情況下我們可以從似然比率檢驗（Likelihood Ratio Test）的思路中獲到。似然比率檢驗用來檢驗兩個同類型模型的擬和程度的好壞。兩個同類型模型的似然比率符合分布，它的自由度等于復雜模型中新加入的參數(shù)的個數(shù)。以POT模型為例，要估計參數(shù)和在給定置信水平下的置信區(qū)間可以通過下式得到：其中，和為估計的最優(yōu)值，表示似然函數(shù)。這樣我們就得到了和的聯(lián)合置信區(qū)間，如果我們希望得到的估計值，則可以根據(jù)公式（17）反解出帶入公式（13）得到，令,的置信區(qū)間可以通過下式得到：但是，于超

24、過閥值的極值數(shù)據(jù)量不會很多，使的這一估計的漸進效果可能不佳。為此，我們引入Bootstrap方法來獲得置信區(qū)間的估計。既然我們得到的序列時獨立同分布，就可以每次獨立從中抽取個點組成新的序列，用該序列估計和，重復這一操作，就可以得到一系列的和估計值，求出和的經(jīng)驗分布，最后根據(jù)經(jīng)驗分布得到和的置信區(qū)間，并把和的期望值作為和的估計值。我們在這里只給出了POT模型中置信區(qū)間的求法，其他參數(shù)的置信區(qū)間可以類似的求得。該方法在確定置信區(qū)間的同時，也是一種檢驗模型穩(wěn)定性的方法。5、實證分析 我們采用上海證券交易所公布的日收益綜合指數(shù)為原始數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：大智慧），樣本空間選自1990年12月19日-2004

25、年9月30日。樣本容量為3391個（使用Eviews和Matlab軟件）。我們定義收益為。我們的實證過程分為四步，（1）用ARMA(Asymmetric)GARCH模型對收益序列進行過慮得到近似獨立同分布的殘差序列；（2）用極值理論對這一殘差進行分析，給出其漸進分布，并估計出相應的和值。（3）比較用似然比率和用Bootstrap方法給出和值的置信區(qū)間的估計。（4）整合第一步和第二步的結(jié)果，計算收益的和值。（5）利用BMM模型估計值。5.1 ARMA(Asymmetric)GARCH模型形式和參數(shù)的確定首先給出收益序列的描述性統(tǒng)計量（圖1），可以看到序列具有明顯的尖峰后尾現(xiàn)象，從JB檢驗可以顯著

26、的拒絕正態(tài)性假設(shè)。對收益序列進行單位根ADF檢驗（見表1），因為檢驗的統(tǒng)計量是，比顯著性水平為1的臨界值還小，所以拒絕原假設(shè)，序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。圖1：收益序列的描述性統(tǒng)計量ADF Test Statistic-23.64516 1% Critical Value*-3.4354 5% Critical Value-2.8629 10% Critical Value-2.5675*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.表1：序列的單位根檢驗可以進一步分析數(shù)據(jù)的自相關(guān)和偏相關(guān)（見表2）現(xiàn)

27、象，發(fā)現(xiàn)滯后10期，在99的置信水平下都不能拒絕沒有自相關(guān)和偏相關(guān)的原假設(shè)，為此可以認為收益序列中不存在ARMA現(xiàn)象。這樣，我們就可以直接用序列對常數(shù)項作最小二乘回歸得到殘差項，然后對殘差序列進行ARCH效應的LM檢驗（見表3），發(fā)現(xiàn)當取比較大的值時的相伴概率仍然有，小于顯著水平，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在高階ARCH效應，即有GARCH效應。表2：樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)和偏相關(guān)表ARCH Test:F-statistic1. Probability0.Obs*R-squared15.85684 Probability0.表3：ARCH效應的LM統(tǒng)計量檢驗根據(jù)上面的分析，我們可以確定在第一步中所采用的

28、模型公式（19），并對其進行正態(tài)最大似然估計（見表4）。 （19）CoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C9.43E-059.03E-051.0.2964 Variance EquationC1.47E-061.06E-0713.956390.0000ARCH(1)0.0.46.372400.0000(RESID0)*ARCH(1)-0.0.-8.0.0000GARCH(1)0.0.137.91590.0000表4：公式(19)最大似然估計的結(jié)果從表中可以看到，正如我們所預見的那樣，預測不到收益的負方向變動可以導致更大的波動率出現(xiàn)，正方向變動會使波動率下降

29、。和都大于零表明過去時刻的波動對未來價格波動有著正向緩解作用，從而可以有效的解釋了波動率的聚類性現(xiàn)象。下面我們以最大似然估計的結(jié)果為初始值按照前面所介紹的方法進行GMM估計，其結(jié)果如下表：最大似然估計1.47E-060.-0.0.9.43E-050.0027GMM估計4.68E-080.65088-0.473330.772548.33E-041.90E-06表5：最大似然估計和GMM估計比較在GMM估計值與最大似然估計值的比較中，我們可以清楚的看到，GMM估計明顯的增加了非對稱項系數(shù)的絕對值，使收益的正負向變動對波動率表動的不同影響更加明顯。另外，在最大似然估計中，這意味不存在有限的方差，而在

30、GMM估計中，保證了的方差有限性。GMM估計在沒有分布的情況下給出了參數(shù)的取值，并有效的降低了目標函數(shù)的取值。把GMM估計值代入公式（19），由收益序列得到殘差序列（見圖2），從圖像上可以看出序列變的更平穩(wěn)，波動率聚類現(xiàn)象明顯下降，更接近于獨立同分布。對其進行一階，二階自相關(guān)和偏相關(guān)性檢驗和LjungBox檢驗，結(jié)果都在很高的水平上拒絕原假設(shè)，表示殘差序列以沒有ARMA現(xiàn)象和條件異方差現(xiàn)象。圖2：收益序列R和殘差序列ARCH Test:F-statistic2.75E-05 Probability0.Obs*R-squared2.75E-05 Probability0.表6：序列的ARCH檢驗

31、5.2 POT模型的應用基于極值理論中POT模型，我們需要利用充分大的閥值，對超限分布進行GPD擬合，根據(jù)公式（14），得到超限期望圖（見圖3）。發(fā)現(xiàn)樣本的平均超限函數(shù)圖在時近似直線，具有明顯的Pareto分布特征。當時數(shù)據(jù)超過閥值的個數(shù)；當時；當時，我們的總樣本個數(shù)，在允許的情況下選取10左右的數(shù)據(jù)（DuMouchel（1983）作為極值數(shù)據(jù)組是比較合適的選擇，否則可能不能抓住序列尾部分布的特征，樣本內(nèi)過度擬合，樣本外不適用。為此，我們分別給出閥值取0.8，0.9的情況下，利用最大似然估計得到各參數(shù)、的取值和95的置信區(qū)間（見表7），以及在這些參數(shù)下的QQ圖和分布圖（見圖4和圖五），從圖形中

32、我們可以看到極值分布有效擬合了我們的樣本分布，只有個別地方出現(xiàn)異?，F(xiàn)象。且在和兩種情況下的擬合效果沒有明顯的區(qū)別，為此在后面我們只給出時的圖形。 下界0.150.331.822.460.160.321.812.46估計值0.2290.3671.9672.7910.2540.3731.9582.818上界0.340.422.153.390.380.432.143.50區(qū)間長度0.190.090.330.930.160.110.231.04表7：參數(shù)的最大似然估計和95置信區(qū)間 圖3：序列的超限期望圖 圖4：和時的QQ圖圖5：和極值分布與經(jīng)驗分布的比較對于的估計 Embrechets（1999）認

33、為金融序列的的取值范圍在3到4之間，而我們這里計算出來的，幾乎不落在的區(qū)域內(nèi)，這主要是因為我們對金融序列用ARMA(Asymmetric)GARCH模型進行了過濾，得到的序列在一定程度上消除了的尖峰后尾現(xiàn)象，使得估計出來的值偏小，這與Embrechets的結(jié)論并不矛盾。另外在QQ圖中，我們可以看到在0.99的分為數(shù)之前擬合效果非常好，在后面出現(xiàn)了個別的異常值，這不會影響我們對的估計，因為只關(guān)心0.99分為數(shù)之前的分布情況，而不受到0.99分為數(shù)之后分布情況的影響。但是的估計由于受到0.99分為數(shù)之后分布情況的影響，所以這會對的估計造成一定的誤差，這也是為什么我們在表7中看到的95估計區(qū)間明顯比

34、的95估計區(qū)間要寬的原因之一。下面我們采用Bootstrap的方法來確定各參數(shù)的置信區(qū)間，首先在序列中進行3390次重復抽取得到一個包含3390個數(shù)據(jù)的新樣本，利用這些新樣本估計、和取值，重復上述1000次，則得到四個估計序列，其中每個序列中包含了1000關(guān)于某個參數(shù)的估計值，我們把他看作是一個樣本，把這些樣本與前面估計出來的參數(shù)區(qū)間相比較，如圖6左其中方形區(qū)域是、單參數(shù)確定的95置信區(qū)間，橢圓形區(qū)域是、的95聯(lián)合置信區(qū)間，圖形中的散點表示每次估計出來的、的值構(gòu)成的點。從圖形中我們可以看到大概有5的點落在了95的聯(lián)合置信區(qū)間的外面，但是當我們考慮單參數(shù)置信區(qū)間時發(fā)現(xiàn)在區(qū)域以外的點大大超過了5，

35、這表明單參數(shù)估計的置信區(qū)間存在一定的問題，類似的現(xiàn)象我們還可以在和的估計中（見圖6右）看到，聯(lián)合置信區(qū)間比較準確的捕獲了數(shù)據(jù)的特性，單參數(shù)置信區(qū)間的表示方法就有較大的誤差。圖6：單參數(shù)和聯(lián)合置信區(qū)間，以及bootstrap的估計點圖7：Bootstrap方法得到的、和的經(jīng)驗分布圖另外，從四個參數(shù)估計序列我們可以得到四個參數(shù)的經(jīng)驗分布（見圖7），通過線性插值的方法得到參數(shù)的估計值和95的置信區(qū)間（見表8），用Bootstrap方法估計的置信區(qū)間明顯比最大似然估計得到的置信區(qū)間要寬，這可能是因為我們的樣本與廣義Pareto分布并不是完全符合，且樣本數(shù)量有限，最大似然估計的估計值是無偏的，但不是最小方差的，造成的估計的誤差，但是兩種方法估計出來的參數(shù)值比較接近，特別是對和的估計的