1、第2章 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2.1 基本概念2.1.1 約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的位移和速度提供的限制，約束在數(shù)學(xué)上通過約束方程來表達(dá)。對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，約束方程的一般形式為：或簡寫為：式中，、分別為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量和速度矢量，為時(shí)間，為約束方程的個(gè)數(shù)。注：彈性支座不對(duì)位置和速度提供直接限制，不作為約束。約束方程的分類：（1） 幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束：約束方程中不顯含速度項(xiàng)，如：運(yùn)動(dòng)約束：約束方程中顯含速度項(xiàng)，如： 下圖中，如果圓輪與地面之間無滑動(dòng)，則其約束方程為：（2） 定常約束和非定常約束定常約束：約束方程中不顯含時(shí)間，如：非定常約束：約束方程中顯含時(shí)間，如： （3） 完整約束與非完整約束完整

2、約束：幾何約束以及可積分的運(yùn)動(dòng)約束非完整約束：不可積分的運(yùn)動(dòng)約束方程可積分為，因此是完整約束。（4） 單面約束與雙面約束單面約束：約束方程為不等式，如：雙面約束：約束方程為等式，如：下圖中，如果考慮到繩子可以縮短，則其約束方程為：，表現(xiàn)為不等式形式，就是一個(gè)單面約束。一般分析力學(xué)的研究對(duì)象為：完整的雙面約束，方程為：。2.1.2 廣義坐標(biāo)與自由度廣義坐標(biāo)：描述系統(tǒng)位置狀態(tài)的獨(dú)立參數(shù)，稱為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)：（1） 空間質(zhì)點(diǎn)系：（2） 平面質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)于如圖雙連剛桿的平面兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，約束方程為：廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為：，具體地可選擇為：；等。如果系統(tǒng)的位移狀態(tài)可以通過一組基函數(shù)來線性組合，如：

3、，由于各系數(shù)相互獨(dú)立，因此系數(shù)也是一種廣義坐標(biāo)。例：簡支梁的撓度曲線可表示為，為與基函數(shù)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)廣義坐標(biāo)的概念，設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為，當(dāng)選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)后，系統(tǒng)的位置狀態(tài)可以由全部廣義坐標(biāo)來表示，也即有：，自由度：某瞬時(shí)，系統(tǒng)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的個(gè)數(shù)。自由度強(qiáng)調(diào)的是獨(dú)立運(yùn)動(dòng)也即獨(dú)立速度，廣義坐標(biāo)強(qiáng)調(diào)的是獨(dú)立坐標(biāo)（位移）。對(duì)于完整系統(tǒng)，自由度與廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)相同；對(duì)于非完整系統(tǒng)，由于存在非完整約束，對(duì)獨(dú)立速度的限制多于對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)的限制，因此自由度數(shù)比廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)少。2.1.3 力的功對(duì)于力，設(shè)在微小時(shí)間間隔內(nèi)力作用點(diǎn)的位移為，則該力做的功稱為元功：式中，為與的夾角。經(jīng)過一段路徑，做的總功為

4、：對(duì)于力偶，設(shè)在微小時(shí)間間隔內(nèi)物體在力偶作用下的轉(zhuǎn)角為，則元功為：轉(zhuǎn)過一定角度，做的總功為：力、力偶在單位時(shí)間內(nèi)做的功稱為功率：2.1.4 有勢(shì)力與勢(shì)能有勢(shì)力：在作用點(diǎn)變化過程中，力做的功如果只與起止位置有關(guān)，而與中間路徑無關(guān)，則這個(gè)力稱為有勢(shì)力，有勢(shì)力所在的空間稱為該有勢(shì)力的勢(shì)力場(chǎng)，如重力與重力場(chǎng)。勢(shì)能：在勢(shì)力場(chǎng)中，物體從位置運(yùn)動(dòng)到任選的位置，有勢(shì)力所作的功稱為物體在位置相對(duì)于位置的勢(shì)能，以表示：位置的勢(shì)能等于零，稱為零勢(shì)能位置（點(diǎn)、狀態(tài)）。勢(shì)能是位置的函數(shù)，記為。有勢(shì)力分量與勢(shì)能具有如下關(guān)系：，證明如下：當(dāng)具有微小變化變?yōu)闀r(shí)，勢(shì)能的增量為：因此有：，當(dāng)彈性體變形后，恢復(fù)變形到原始狀態(tài)的過程

5、中，彈性力會(huì)做功，做的功等于變形狀態(tài)改變釋放的變形能，只與前后變形狀態(tài)有關(guān)，因此具有勢(shì)能的性質(zhì)。彈性體因變形而具有變性能為：2.1.5 虛位移虛位移：某瞬時(shí)，約束所容許的任意微小位移。要點(diǎn)1：“某瞬時(shí)”意味著虛位移不考慮時(shí)間的變化，也即是虛位移無時(shí)間過程。要點(diǎn)2：“約束所容許”表示不破壞約束，滿足約束條件。要點(diǎn)3：“微小位移”指位移小到只考慮一階變化。要點(diǎn)4：“任意”指無需考慮真實(shí)的力、速度和時(shí)間等真實(shí)運(yùn)動(dòng)因素，可以人為地設(shè)定。要點(diǎn)5：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，由于存在內(nèi)部的約束聯(lián)系，各位置點(diǎn)的虛位移不具有完全的任意性。要點(diǎn)6：根據(jù)定義，獨(dú)立虛位移的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。概念辨析：可能位移：考慮時(shí)間，但

6、不考慮運(yùn)動(dòng)的原因，約束所容許的位移稱為可能位移。真實(shí)位移：同時(shí)考慮時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的原因，約束所容許的位移稱為真實(shí)位移，真實(shí)位移是可能位移中的一種?？赡芪灰坪驼鎸?shí)位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虛位移。設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，系統(tǒng)的位置狀態(tài)可以由全部廣義坐標(biāo)表示為：，根據(jù)微積分的概念，任一質(zhì)點(diǎn)的位移增量有如下關(guān)系：略去上式中與時(shí)間有關(guān)的增量，將變?yōu)樘撐灰?，則可得到質(zhì)點(diǎn)的虛位移：上式建立了任一點(diǎn)虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系。由于各廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，因此各廣義坐標(biāo)可以獨(dú)立發(fā)生虛位移。當(dāng)只有一個(gè)廣義坐標(biāo)有虛位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的虛位移為：另外，根據(jù)約束方程也可建立虛位移之間的關(guān)系，方法如下：對(duì)于約束方程，有

7、：例如：有：2.1.5 虛功與廣義力虛功：力在虛位移上所做的功稱為虛功。力系中各力作用點(diǎn)的虛位移為：則總虛功為：記：為與對(duì)應(yīng)的廣義力，則有：廣義力的計(jì)算方法：（1）記：，得：（2）單獨(dú)使一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生虛位移，此時(shí)的虛功為：因此有：（3）如果所有力均為有勢(shì)力，根據(jù)：， 得：例題2-1：如圖雙擺，以、為廣義坐標(biāo)，對(duì)于重力、的廣義力。解：方法1：因此有：方法2：首先只讓產(chǎn)生一個(gè)虛位移，兩質(zhì)點(diǎn)的虛位移為：虛功為：因此廣義力為：再只讓產(chǎn)生一個(gè)虛位移，兩質(zhì)點(diǎn)的虛位移為：虛功為：因此廣義力為：方法3：以O(shè)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能為：廣義力為：2.2 虛功（虛位移）原理2.2.1 理想約束虛功的計(jì)算公式

8、為：一個(gè)系統(tǒng)可能有很多力，但是有些力在虛位移上不做功。在計(jì)算虛功時(shí)這些力就不必考慮，為計(jì)算帶來極大的便利。如果不做功的力是約束反力，其約束稱為理想約束，比如光滑表面提供的支持力、不可伸長繩子的拉力、光滑鉸鏈的約束反力、剛體的內(nèi)力等都不作功，都是理想約束。2.2.2 虛功（虛位移）原理虛功（虛位移）原理：物體系統(tǒng)保持平衡的必要和充分條件是：所有力在任意虛位移上所作的虛功之和為零，即：虛功（虛位移）原理的意義：為獲取系統(tǒng)的平衡條件、平衡（運(yùn)動(dòng)）方程提供了統(tǒng)一的具有普遍適用能力的方法。不管系統(tǒng)中物體的多少，不管物體是變形體還是剛體，不管物體是平衡還是運(yùn)動(dòng)（通過Dalembert原理轉(zhuǎn)化為平衡），虛功

9、（虛位移）原理均適用，均能提供完備的方程組。例題2-2：對(duì)于光滑的墻面和地面，分析使無重剛桿保持平衡的、之間的關(guān)系，桿長為。解：虛位移為：虛功為：根據(jù)平衡條件和虛位移的任意性，可解得：例題2-3：對(duì)于圖示雙擺，在處作用一個(gè)水平力，求平衡時(shí)兩桿與鉛垂方向的夾角。2. 根據(jù)平衡條件和虛位移、的任意性，可得：解得：，2.2.3 虛功（虛位移）原理的其它形式（一）以廣義力表示的虛功原理用廣義力表示的平衡方程：由虛功（虛位移）原理，考慮到廣義坐標(biāo)虛位移的獨(dú)立性和任意性，可得個(gè)獨(dú)立的平衡方程：（二）保守系統(tǒng)的的虛功原理對(duì)于保守系統(tǒng)，由可得系統(tǒng)的獨(dú)立平衡方程為：例題2-4：半徑為的光滑球形槽內(nèi)有一長的無重剛

10、桿，兩端質(zhì)量分別重、，以桿中心到球心的連線與鉛垂線的夾角為廣義坐標(biāo)，求桿件的平衡位置。解：記為，有：，根據(jù)幾何關(guān)系可得：系統(tǒng)的勢(shì)能為：由得：2.3 DAlembert原理由牛頓第二定律有：將視為一個(gè)力：，該力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和加速度的乘積，方向與加速度矢量的方向相反，稱為慣性力。慣性力是一個(gè)假想的力，不是一個(gè)真實(shí)的力。通過慣性力，牛頓第二定律可表達(dá)為：上面式子表明：作用于質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與假想的慣性力在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為平衡。因?yàn)槲矬w系統(tǒng)由質(zhì)點(diǎn)組成，如果每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)均加上假想的慣性力，則系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)均在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為平衡，則系統(tǒng)也在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為平衡。DAlembert原理：對(duì)于一個(gè)物體系統(tǒng)，真實(shí)力與

11、每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的假想慣性力組成平衡力系。DAlembert原理的意義：將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題，于是動(dòng)力學(xué)問題也可采用靜力學(xué)問題的解決方法。因此DAlembert原理也稱為“動(dòng)靜法”。例題2-5：圖示系統(tǒng)中剛桿AC的質(zhì)量不記，用虛功方程列出運(yùn)動(dòng)方程。解：用桿件AC的轉(zhuǎn)角（相對(duì)于C點(diǎn)順時(shí)針方向?yàn)檎┍硎鞠到y(tǒng)的位置狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn)的加速度為。此時(shí)對(duì)于C的力矩平衡方程為：2.4 Lagrange方程將DAlembert原理和虛位移原理結(jié)合，有結(jié)論：真實(shí)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上所做的虛功之和為零。即：2.4.1 兩個(gè)基本關(guān)系式的推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)位置矢量可通過廣義坐標(biāo)表達(dá)為：（1）上式表明：質(zhì)點(diǎn)的速度是廣義速度

12、、廣義位移和時(shí)間的函數(shù)：對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得：（2）對(duì)任意函數(shù)，有：將取為，有：2.4.2 Lagrange方程的推導(dǎo)（1）（2）于是轉(zhuǎn)化為：由虛位移的任意性，可得：2.4.3 Lagrange方程的幾種形式（1），（2）對(duì)于保守系統(tǒng)，有：,其中，為Lagrange函數(shù)。（3）部分有勢(shì)力的Lagrange方程：，或：，為非有勢(shì)力對(duì)應(yīng)的廣義力。例題2-6：質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓柱在半徑為的圓弧槽為做純滾動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)能：勢(shì)能（以位置為勢(shì)能零點(diǎn)）：代入Lagrange方程有：上述公式表明，圓柱在槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為非線性振動(dòng)。在微幅振動(dòng)情況下，有：可求得固有頻率為：角度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：其中，、由初始條件(位移

13、、速度)確定2.4.4小變形線彈性體系的運(yùn)動(dòng)方程（1）動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式根據(jù)廣義坐標(biāo)的概念，任意質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為：，其速度為：系統(tǒng)的動(dòng)能為：式中，由的表達(dá)式可知：。在定常約束條件下，則有：矩陣形式為：顯然，為對(duì)稱矩陣。（2）小變形線彈性體系的勢(shì)能對(duì)于小變形線彈性體系，勢(shì)能可表達(dá)為：且有：（3）運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)記：類似地有：帶非有勢(shì)力的Lagrange方程為：，向量形式為：在小變形情況下，有，于是：將、代入得：2.5 Hamilton方程目的：應(yīng)用變分法來建立結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)中廣泛應(yīng)用的變分法是Hamilton原理。體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值，一般

14、是極小值。Hamilton原理：在任意時(shí)間區(qū)段內(nèi)，體系的動(dòng)能與勢(shì)能差的變分加上非保守力所做的虛功等于0。 其中：T為體系的總動(dòng)能；V為體系的勢(shì)能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能。為非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所做的虛功。Hamilton原理的優(yōu)點(diǎn)：不明顯使用慣性力和彈性力，分別用對(duì)動(dòng)能和勢(shì)能的變分代替，僅涉及能量的處理。在虛位移中，盡管虛功本身是標(biāo)量，但用來計(jì)算虛功的力和虛位移則都是矢量。2.5.1單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于單自由度體系，動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為：變分計(jì)算為：非保守力所（外力和阻尼力）做的虛功(非保守力在虛位移上作的功)為：將以上兩式代入Hamilton原理，得：對(duì)上式中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分：于是有：2.5.2多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于多自由度體系，動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為：動(dòng)能的變分為：勢(shì)能的變分為：非保守力所作的虛功為：由Hamilton原理可得