1、20152015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷） 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分） 1. 設(shè)集合M x| x2 x，N x|lg x 0，則M A0,1 C0,1) B(0,1 D(,1 N 2. 某中學(xué)初中部共有 110 名教師， 高中部共有 150 名教 師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為 A93B.123 D167C.137 3. 如圖，某港口一天 6 時(shí)到 18 時(shí)的水深變化曲線近似滿 足函數(shù)y 3sin( 6 x) k，據(jù)此函數(shù)

2、可知，這段 時(shí)間水深（單位：m）的最大值為 A5 C8 B6 D10 2 4. 二項(xiàng)式(x1)n(nN )的展開式中x的系數(shù)為 15，則n A7B6C5D4 5. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A3B4 D3 4 C2 4 6. “sin cos”是“cos2 0”的 A.充分不必要條件 C.充分必要條件 B.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 7. 對任意向量a,b，下列關(guān)系式中不恒成立的是 1 A|a b|a|b| C(ab)2|ab|2 B|ab|a|b| D(ab) (ab) a2b2 8. 根據(jù)右邊的框圖，當(dāng)輸入x 為 2006 時(shí)，輸出的y A.2B.4C

3、.10D.28 9. 設(shè)f (x) ln x,0 a b， 若p f ( ab)，q f ( ab ) ， 2 1 ( f (a) f (b)，則下列關(guān)系式中正確的是 2 Aq r pBp r q r Cq r pDp r q 10. 某企業(yè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品均需用 A，B 兩種原料，已知生產(chǎn) 1 噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的 可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1 噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3 萬元、4 萬元，則該企業(yè)每天可 獲得最大利潤為 A12 萬元 A（噸） B（噸） B16 萬元 甲 3 1 C17 萬元 乙 2 2 D18 萬元 原料限額 12 8 11. 設(shè)復(fù)數(shù)z (x 1) yi (x,

4、yR)，若| z |1，則y x的概率為 A 31 42 2 B 11 2 C 11 2 D 11 42 12. 對二次函數(shù)f (x) ax bxc（a 為非零整數(shù)） ，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有 一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是 A-1 是f (x)的零點(diǎn) C3 是f (x)的極值 B1 是f (x)的極值點(diǎn) D.點(diǎn)(2,8)在曲線y f (x)上 二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13. 中位數(shù) 1010 的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 222 14. 若拋物線y 2px(p 0)的準(zhǔn)線

5、經(jīng)過雙曲線x y 1的一個焦點(diǎn)，則p 2 15. 設(shè)曲線y ex在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線y 為 1 (x 0)上點(diǎn)p 處的切線垂直，則p的坐標(biāo) x 16. 如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截 面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示） ，則原始的最大流量與當(dāng)前 最大流量的比值為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟（本大題共6 小題，共 70 分） 17、 （本小題滿分 12 分） C的內(nèi)角，C所對的邊分別為a，b，c 向量m (a, 3b)與n (cosA,sin B) 平行 （）求； （）若a 7，b 2，求C的面積 18、（本小題滿分 12 分） 如圖1，在直

6、角梯形CD中，D/C，D 2 ， C 1，D 2，是D 的中點(diǎn)，是C與的交點(diǎn)將沿折起到 1 的位置，如圖2 （）證明：CD 平面1C； （）若平面1 平面CD，求平面 1C 與平面 1CD 夾角的余弦值 19、（本小題滿分 12 分） 設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100的 樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下： （分鐘） 頻數(shù)（次） 25 20 30 30 35 40 40 10 （）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET； （） 劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)， 前往新校區(qū)做一個 50 分鐘的講座， 結(jié)束后立即返回老校區(qū)， 3 求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120

7、分鐘的概率 20、 （本小題滿分 12 分） x2y2 已知橢圓: 2 2 1（a b 0） 的半焦距為c， 原點(diǎn) ab 到經(jīng)過兩點(diǎn)c,0，0,b的直線的距離為 （）求橢圓E的離心率； （）如圖，是圓:x 2y 1 求橢圓的方程 21、（本小題滿分 12 分） 設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x，x的各項(xiàng)和，其中x 0，n，n 2 （）證明：函數(shù)F n (x) f n ( 在,1內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)（記為x n ） ，且 x ) 2 2n 1 c 2 5 的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)， 2 22 1 2 x n 11 n1x n ； 22 （） 設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、 末項(xiàng)、 項(xiàng)數(shù)分別相同

8、的等差數(shù)列， 其各項(xiàng)和為gnx， 比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明 請?jiān)谡堅(jiān)?2222、2323、2424 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)用三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)用2B2B 鉛筆鉛筆 在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑 22、 （本小題滿分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講 如圖，切 于點(diǎn)，直線AO 交 于D，兩 點(diǎn)，C D，垂足為C （）證明：BED DBA； （）若D 3DC，BC 2，求O的直徑 23、 （本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1x 3 t

9、 2 在直角坐標(biāo)系xy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半 y 3 t 2 軸為極軸建立極坐標(biāo)系， （）寫出 C的極坐標(biāo)方程為 2 3sin C的直角坐標(biāo)方程； 4 （）為直線l上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心C的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo) 24、 （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講 已知關(guān)于x的不等式xa b的解集為x 2 x 4 （）求實(shí)數(shù)a，b的值； （）求at 12 bt的最大值 5 參考答案參考答案 一、選擇題 1.A2.C3.C4.B5.D 7.B8.C9.B10.D11.D 二、填空題 13. 514. 2 2 15. （1，1） 三、解答題 17.解： （）

10、因?yàn)閙/ n，所以asinB 3bcosA 0， 由正弦定理，得sin Asin B 3sin Bcos A 0， 又sin B 0，從而tan A 3， 由于0 A ，所以A 3 （）解法一：由余弦定理，得 a2 b2c22bccos A， 而a 7,b 2,A 3 ， 得7 4c22c，即c22c3 0， 因?yàn)閏 0，所以c 3 故ABC的面積為S 1 2 bcsin A 3 3 2 解法二：由正弦定理，得 7 2 sin sin B ， 3 從而sin B 21 7 ， 又由a b，知A B，所以cosB 2 7 7 故sinC sin(A B) sin(B 3 ) 6.A 12.A 1

11、6. 1.2 6 sin Bcos 3 cosBsin 3 3 21 14 所以ABC的面積為S 18.解： （）在圖 1 中， 因?yàn)?13 3 absinC 22 AB BC 1,AD 2,E是AD的中點(diǎn)， BAD 即 從而 又 所以 2 ，所以BE AC 在圖 2 中，BE OA 1,BE OC ， BE 平面AOC， 1 CD / BE， CD 平面AOC 1 BCDE， （）由已知，平面A 1BE 平面 又由（）知，BE OA 1,BE OC 所以AOC為二面角A 11 BE C的平面角 所以A 1 OC 2 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?所以 A 1B A1E BC E

12、D 1,BC /ED ， B( 2222 ,0,0), E(,0,0), A 1(0,0, ),C(0,0)， 2222 2222 ,0), AC (0,)， 1 2222 得 BC ( CD BE ( 2,0,0) 設(shè)平面A的法向量n2 (x2, y2,z2)，平面A 1BC 的法向量n 1 (x 1, y1,z1) ，平面ACD 11BC 與 平面ACD夾角為 1 n 1 BC 0, x 1 y 1 0, 則得取n 1 (1,1,1)； y z 0, n1 A 1C 0, 11 7 n2 CD 0, x 2 0, 得取n 2 (0,1,1)， 0,y2 z2 0, n2 AC 1 從而co

13、s|cos n 1,n2 | 26 ， 332 6 3 即平面A夾角的余弦值為 1BC 與平面ACD 1 19.解： （）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為 T（分鐘） 頻率 以頻率估計(jì)概率得T的分布列為 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 T P 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 從而ET 250.2300.3350.4 400.1 32（分鐘） （）設(shè)T 1,T2 分別表示往、返所需時(shí)間，T 1,T2 的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同。 設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過 120 分鐘” ，由于講座時(shí)間為 50 分鐘，所以事件A對 應(yīng)于“劉教授在路途中

14、的時(shí)間不超過70 分鐘” 。 解法一： P(A) P(T 1 T 2 70) P(T 1 25,T 2 45) P(T 1 30,T 2 40) P(T 1 35,T 2 35) P(T 1 40,T 2 30) 0.210.310.40.9 0.10.5 0.91 解法二： P(A) P(T 1 T 2 70) P(T 1 35,T 2 40) P(T 1 40,T 2 35) P(T 1 40,T 2 40) 0.40.10.10.4 0.10.1 0.09 故P(A) 1P(A) 0.91 20.解： （）過點(diǎn)(c,0),(0, b)的直線方程為bxcy bc 0， 則原點(diǎn)O到該直線的距

15、離d bc b2c2 bc ， a 8 由d 1 2 c，得a 2b 2 a2c2，解得離心率 c3 a 2 （）解法一： 由（）知，橢圓E的方程為x24y2 4b2 依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且| AB| 10 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y k(x2)1，代入式得 (14k2)x28k(2k 1)x(2k 1)24b2 0 設(shè)A(x 8k(2k 1)4(2k 1, y1),B(x2 , y 2 )，則x 1 x 2 14k2 ,x 1)24b2 1x2 14k2 由x 1 x 2 4，得 8k(2k 1)1 14k2 4，解得k 2 從而x 1x2 82b2 于是 |

16、 AB| 1( 1 )2| x 5 1 x 2 | 2 (x 2 1 x 2 ) 4x 1x2 10(b2 2 2) 由| AB| 10，得 10(b22) 10，解得b2 3 2 故橢圓E的方程為 xy2 12 3 1 解法二： 由（）知，橢圓E的方程為x24y2 4b2 依題意，點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(2,1)對稱，且| AB| 10 設(shè)A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，則 x24y2x2 2 11 4b2, 2 4y 2 4b2， 兩式相減并結(jié)合x 1 x 2 4,y 1 y 2 2，得 4(x 1 x 2 )8(y 1 y 2 ) 0， 易知AB與x軸不垂直，則x 1 x 2

17、 ， 所以 AB的斜率k y 2 1 AB y 1 x x 12 2 因此直線AB的方程為y 1 2 (x2)1，代入得 9 x24x82b2 0 所以x 1 x 2 4,x 1x2 82b2， 于是| AB| 1( 1 2 )2| x 5 1 x 2 | 2 (x 1 x 2 )24x 1x2 10(b22) 由| AB| 10，得 10(b22) 10，解得b2 3 故橢圓E的方程為 x2y2 12 3 1 21.解： （）F n (x) f n (x)2 1 x x2. xn2， 則F n (1) n1 0， 1( 1 ) F 1 2 1 1 2 ( 1 2 )2.( 1 n1 n (

18、) 2 )n2 2 1 1 1 2 2n 0， 2 所以F 1 n (x)在( 2 ,1)內(nèi)至少存在一個零點(diǎn) 又F n (x) 12x. nxn1 0， 故F 1 n (x)在( 2 ,1)內(nèi)單調(diào)遞減， 所以F 1 n (x)在( 2 ,1)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)x n ， 因?yàn)閤n是F n (x)的零點(diǎn)，所以F n (x n ) 0， n1 即 1 x n 11 n1 1 x 2 0，故x n x n n 22 （）解法一： 由題設(shè)，g (n1)(1 xn) n (x) 2 設(shè)h(x) f 2 (n1)(1 xn) n (x) g n (x) 1 x x . xn 2 ,x 0 當(dāng)x 1時(shí)，fn

19、(x) gn(x) 10 n(n1)xn1 當(dāng)x 1時(shí)，h(x) 12x.nxn1 2 1 若0 x 1,h(x) xn12xn1.nxn1 n(n1)xn 2 n(n1)xn1n(n1)xn1 2 2 0 若x 1，h(x) xn12xn1.nxn1 n(n1)xn1 2 n(n1)xn1n(n1)xn1 2 2 0 所以h(x)在（0,1）上遞增，在(1,)上遞減， 所以h(x) h(1) 0，即fn(x) gn(x) 綜上所述，當(dāng)x 1時(shí)，f n (x) g n (x)；當(dāng)x 1時(shí)，f n (x) g n (x) 解法二： 由題設(shè)，f1 x x2. xn，g (n1)(1 xn) n (

20、x) n (x) 2 ,x 0 當(dāng)x 1時(shí)，fn(x) gn(x) 當(dāng)x 1時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(x) gn(x) 當(dāng)n 2時(shí)，f 1 2 (x) g 2 (x) 2 (1 x)2 0，所以f 2 (x) g 2 (x)成立 假設(shè)n k(k 2)時(shí)，不等式成立，即fk(x) gk(x) 那么，當(dāng)n k 1時(shí)， f (k 1)(1 xk k1(x) fk (x) xk1 g k (x) xk1 ) xk1 2 2xk1(k 1)xk k 1 2 又g 2xk1(k 1)xkk 1kxk1(k 1)xk k1(x) 2 1 2 令h k (x) kxk1(k 1)xk1(x 0)， 則h

21、) k(k 1)xkk(k 1)xk1 k(k 1)xk1 k (x(x1) 所以，當(dāng)0 x 1時(shí)，hk(x) 0,hk(x)在（0，1）上遞減； 11 當(dāng)x 1時(shí)，hk(x) 0,hk(x)在(1,)上遞增 所以h k (x) h k (1) 0 從而g x) 2xk1(k 1)xkk 1 k1( 2 故f k1(x) gk1(x) ，即n k 1時(shí)不等式也成立 由和知，對一切n 2的正數(shù)，都有f n (x) g n (x) 解法三： 由已知，記等差數(shù)列為ak，等比數(shù)列為b k ,k 1,2,., n1 則a 1 b 1 1,a n1 b n1 xn 所以a (k 1) xn1 k 1 n (2 k n)， b k xk1(2 k n)， 令m a xn1 k (x) k b k 1(k 1) n xk1,x 0(2 k n) 當(dāng)x 1時(shí)，akbk，所以fn(x) gn(x) 當(dāng)x 1時(shí)，mk(x) k 1 nxn1(k 1)xk2 n (k 1)xk2(xnk11) 而2 k n，所