1、20162016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（理）數(shù)學(xué)（理） （北京卷）（北京卷） 本試卷共 5 頁(yè)，150 分考試時(shí)長(zhǎng)120 分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無(wú)效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 第一部分第一部分（選擇題共 40 分） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng) （1）已知集合A=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 B=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，則錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！未找到引用源。未找到引用源。 （A）錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！未找到引用源。未找到引用源。（

2、B）錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！未找到引用源。未找到引用源。 （C） 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（D）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 2x y 0 （2）若 x,y 滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。x y 3，則 2x+y 的最大值為 x 0 （A）0（B）3 （C）4（D）5 （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a 值為 1，則輸出的 k 值為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）設(shè) a a,b b 是向量，則“a a b b”是“a ab b a ab b”的 （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件 1 （

3、5）已知 x,y 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。R,且 x 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。y 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 o，則 （A）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。-錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（B）錯(cuò)誤！未找到錯(cuò)誤！未找到 引用源。引用源。 （C）錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。 (-錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。0（D）lnx+lny 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 (6)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 （A）錯(cuò)錯(cuò)誤誤！未未找找到到引引用用源源。 （B）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引

4、用源。 （C）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 （D）1 (7)將函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。圖像上的點(diǎn) P（錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，t ）向 左平移 s（s0） 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) P.若 P位于函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的圖像上， 則 （A）t=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，s 的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（B）t= 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，s 的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 （C）t=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，s 的最小值為錯(cuò)誤！未找

5、到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（D）t= 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，s 的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。 （8）袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三個(gè)空盒 .每次從袋中任意 取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就 放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 （C）乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 （D）乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 第二部分第二部分（非選擇題共 110 分） 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共

6、30 分 （9）設(shè) a 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。R，若復(fù)數(shù)（1+i） （a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上， 2 則 a=_。 （10）在錯(cuò)錯(cuò)誤誤！未未找找到到引引用用源源。的展開式中，錯(cuò)錯(cuò)誤誤！未未找找到到引引用用源源。的系數(shù)為 _.（用數(shù)字作答） （11）在極坐標(biāo)系中，直線錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。與圓錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。交于 A，B 兩 點(diǎn)， 則 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。=_. （12）已知錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為其前 n 項(xiàng)和，若 錯(cuò)誤！未找到引用源

7、。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，則錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。. （13）雙曲線 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的漸近線為正方形OABC 的邊 OA，OC 所在的直線， 點(diǎn) B 為該雙曲線的焦點(diǎn)。若正方形OABC 的邊長(zhǎng)為 2，則 a=_. （14）設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 若 a=0，則 f(x)的最大值為_； 若 f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_。 三、解答題（共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程） （15） （本小題 13 分） 在ABC 中，a c b 2ac （I

8、）求B的大小 （II）求 2cos AcosC 的最大值 （16） （本小題 13 分）A、B、C 三個(gè)班共有 100 名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通 過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)） ； A 班 B 班 C 班 66.577.58 6789101112 34.567.5910.51213.5 333 （I） 試估計(jì) C 班的學(xué)生人數(shù)； （II） 從 A 班和 C 班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A 班選出的人記為甲，C 班選出的 人記為乙， 假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立， 求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概 率； （III）再?gòu)?A、B、C 三個(gè)班

9、中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生， 他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25 （單位：小時(shí)） ，這 3 個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記錯(cuò)誤！未找到引用錯(cuò)誤！未找到引用 源。源。 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，試判斷 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 和錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的大小， （結(jié)論不要求證明） （17） （本小題 14 分） 如 圖 ， 在 四 棱 錐P-ABCD中 ， 平 面PAD平 面ABCD ， PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5 , 3 （I）求證：PD 平面 PAB; （I

10、I）求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值； （II I）在棱PA上是否存在點(diǎn) M，使得BMll 平面 PCD?若存在，求 說(shuō)明理由。 （18） （本小題 13 分） AM 的值；若不存在， AP 設(shè)函數(shù) f(x)=xeeax+bx，曲線 y=f(x)d hko (2,f(2)處的切線方程為 y=(e-1)x+4， （I）求 a,b 的值； (I I) 求 f(x)的單調(diào)區(qū)間。 （19） （本小題 14 分） X2y23 已知橢圓 C： 2 2 1 （ab0）的離心率為，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0） ， ab2 OAB 的面積為 1. （I）求橢圓 C 的方程； (I I)設(shè)

11、 P 的橢圓 C 上一點(diǎn)，直線 PA與 Y 軸交于點(diǎn) M，直線 PB 與 x 軸交于點(diǎn) N。 求證：lANllBMl 為定值。 （20） （本小題 13 分） 設(shè)數(shù)列 A：a1，a2,aN(N2)。如果對(duì)小于 n(2nN)的每個(gè)正整數(shù) k 都有ak 。記“G（A）是數(shù)列 A 的所有“G 時(shí)刻”組成的集 a n ，則稱 n 是數(shù)列 A 的一個(gè)“G 時(shí)刻” 合。 （I）對(duì)數(shù)列 A：-2，2，-1，1，3，寫出 G（A）的所有元素； (I I)證明：若數(shù)列 A 中存在an使得ana1，則 G（A） ； (I I I） 證明： 若數(shù)列 A 滿足an-an11 （n=2,3, ,N） ,則 G （A）

12、的元素個(gè)數(shù)不小于aN-a1。 20162016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（理）數(shù)學(xué)（理） （北京卷）參考答案（北京卷）參考答案 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） （1）C（2）C（3）B（4）D 4 （5）C（6）A（7）A（8）B 二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （9）1（10）60 （11)2（12）6 （13）2（14）2(,1) 三、解答題（共 6 小題，共 80 分） （15） （共 13 分） a2c2b22ac2 解： （）由余弦定理及題設(shè)得cosB . 2ac2ac2 又因?yàn)? B ，所

13、以B （）由（）知AC 4 . 3 . 4 3 2 cos AcosC 2 cos Acos( A) 4 2cos A 因?yàn)? A 2222 cos Asin A cos Asin A cos(A), 22224 3 ，所以當(dāng)A 時(shí)， 2cos AcosC取得最大值1. 44 （16） （共 13 分） 解： （）由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來(lái)自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法，C 班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100 8 40. 20 （）設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人” ，i 1,2,5， 事件C j 為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人” ，j 1,2,8， 由題意可知，P(A i )

14、11 ，i 1,2,5；P(C j ) ，j 1,2,8. 58 111 P(A iCj ) P(A i )P(C j ) ,i 1,2,5,j 1,2,8. 5840 設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”.由題意知， E A 1C1 A 1C2 A 2C1 A 2C2 A 2C3 A 3C1 A 3C2 A 3C3 A 4C1 A 4C2 A 4C3 A 5C1 A 5C2 A 5C3 A 5C4 因此 P(E) P(A 1C1) P(A1C2 ) P(A 2C1) P(A2C2 ) P(A 2C3 ) P(A 3C1) P(A3C2 ) P(A 3C3 ) P(A 4C1) P(

15、A4C2 ) P(A 4C3 ) P(A 5C1) P(A5C2 ) P(A 5C3 ) P(A 5C4 ) 15 13 408 5 （）10. （17） （共 14 分） 解： （）因?yàn)槠矫鍼AD 平面ABCD，AB AD， 所以AB 平面PAD. 所以AB PD. 又因?yàn)镻A PD， 所以PD 平面PAB. （）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO,CO. 因?yàn)镻A PD，所以PO AD. 又因?yàn)镻O 平面PAD，平面PAD 平面ABCD， 所以PO 平面ABCD. 因?yàn)镃O 平面ABCD，所以PO CO. 因?yàn)锳C CD，所以CO AD. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O xyz.由題意得， A(0,1,0

16、),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1). 設(shè)平面PCD的法向量為n (x, y,z)，則 nPD 0, 即 nPC 0, y z 0, 2x z 0, 令z 2，則x 1, y 2. 所以n (1,2,2). 又PB (1,1,1)，所以cos n,PB nPB n PB 3 3 . 所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 3 3 . （）設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在0,1使得AM AP. 6 因此點(diǎn)M(0,1,),BM (1,). 因?yàn)锽M 平面PCD，所以BM 平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM n 0， 即(1,)(1,2,2) 0，解得 1 4 . 所以在棱PA

17、上存在點(diǎn)M使得BM 平面PCD，此時(shí) AM1 AP 4 . （18） （共 13 分） 解： （）因?yàn)閒 (x) xeaxbx，所以f (x) (1 x)eaxb. 依題設(shè)， f (2) 2e2, 2e a22b 2e f (2) e1, 即 2, ea2b e1, 解得a 2,b e. （）由（）知f (x) xe2xex. 由f (x) e2x(1 xex1)即e2x 0知，f (x)與1 xex1同號(hào). 令g(x) 1 xex1，則g(x) 1ex1. 所以，當(dāng)x(,1)時(shí)，g(x) 0，g(x)在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x(1,)時(shí)，g(x) 0，g(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增.

18、 故g(1) 1是g(x)在區(qū)間(,)上的最小值， 從而g(x) 0,x(,). 綜上可知，f (x) 0，x(,)，故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,). （19） （共 14 分） c 3 , a2 解： （）由題意得 1 ab 1, 解得a 2,b 1. a2 2 b2c2, 所以橢圓C的方程為 x2 4 y21. （）由（）知，A(2,0),B(0,1)， 7 設(shè)P(x，則x2 2 0 , y 0 ) 0 4y 0 4. 當(dāng)x0 0時(shí)，直線PA的方程為y y 0 x 2 (x2). 0 令x 0，得y y 0 M 2 x .從而BM 1 y 2y 0 M 1 . 0 2x 0 2 直線PB的方程為y y 0 1 x x1. 0 令y 0，得xN x 0 y .從而AN 2 x x 0 N 2 . 0 1y 0 1 所以AN BM 2 x 0 2y y 10 0 1x 0 2 x24y2 0 0 4x 0 y 0 4x 0 8y 0 44x 0 y 0 4x 0