1、1,第三章 機器人運動學,第一節(jié) 概述 第二節(jié) 機器人的運動學基本問題 第三節(jié) 機器人的雅可比矩陣,2,第一節(jié) 概述,常見的機器人運動學問題可歸納如下： 1對一給定的機器人，已知桿件幾何參數(shù)和關節(jié)角矢量求機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的位置和姿態(tài)。 2已知機器人桿件的幾何參數(shù)，給定機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(tài) (位姿)，機器人能否使其末端執(zhí)行器達到這個預期的位姿？如能達到，那么機器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件?,3,第一個問題常稱為運動學正問題(直接問題); 第二個問題常稱為運動學逆問題(解臂形問題)。這兩個問題是機器人運動學中的基本問題。,4,第二節(jié) 機器人運動學的

2、基本問題,一、運動學基本問題 圖31所示為2自由度機器人手部的連桿機構(gòu)。,5,圖中的連桿機構(gòu)是兩桿件通過轉(zhuǎn)動副聯(lián)接的關節(jié)結(jié)構(gòu)，通過確定連桿長度，以及關節(jié)角，可以定義該連桿機構(gòu)。在分析機器人的末端手爪的運動時，若把作業(yè)看作主要依靠機器人手爪來實現(xiàn)的，則應考慮手爪的位置（圖中點的位置）。一般場合中，手爪 姿勢也表示手指位置。從 幾何學的觀點來處理這個 手指位置與關節(jié)變量的關 系稱為運動學（Kinematics）。,6,引入向量分別表示手爪位置和關節(jié)變量， 因此，利用上述兩個向量來描述一下 這個2自由度機器人的運動學問題。 手爪位置的各分量，按幾何學可表示為：,(3-1),(3-2),7,用向量表示

3、這個關系式，其一般可表示為 式中 表示向量函數(shù)。已知機器人的關節(jié)變量 ，求其手爪位置的運動學問題稱為正運動學（direct kinematics）。該公式被稱為運動方程式。如果，給定機器人的手爪位置，求為了到達這個預定的位置，機器人的關節(jié)變量的運動學問題稱為逆運動學（inverse kinematics）。其運動方程式可以通過以下分析得到。,(3-3),8,如圖所示，根據(jù)圖中描述的幾何學關系，可得,式中,(3-4),(3-5),(3-6),9,同樣，如果用向量表示上述關系式，其一般可表示為,如圖所示，機器人到達給定的手爪位置 r,有兩個姿態(tài)滿足要求，即圖中的 也是其解。 這時 和 變成為另外的

4、值。 即逆運動學的解不是惟一的， 可以有多個解。,(3-7),10,二、機器人位置與關節(jié)變量的關系,1表示方法 以手爪位置與關節(jié)變量之間的關系為例，要想正確表示機器人的手爪位置和姿態(tài)，就要首先建立坐標系，如圖33所示，應分別定義固定機器人的基座和手爪的坐標系，這樣才能很好地描述它們之間的位置和姿態(tài)之間的關系。,11,圖33 基準坐標系和手爪坐標系,基準坐標系,固定在基座上,手爪坐標系 ，固定在手爪上,12,2姿態(tài)的變換矩陣 如圖34所示，給出原點重合的兩坐標系,則假設點 P 的位置p 向量的分量在兩坐標系中分別表示為,13,則從 向 的變換為：,其中：,它是從 坐標向坐標進行位置向 量姿態(tài)變換

5、的矩陣，稱為姿態(tài)變換矩陣（或旋轉(zhuǎn)矩陣）。,14,為了加深印象，現(xiàn)在分析如圖35所示坐標系 ，它是將 圍繞 Z軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角 后構(gòu)成的坐標系。,圖35 兩個坐標系的旋轉(zhuǎn)坐標變換,因此，在坐標系 上表示的坐標 與在將坐標系 繞Z軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角得到的坐標系 上表示的坐標 之間，存在下列關系式：,15,由上面知從 坐標系向坐標系 的坐標變換矩陣為：,16,因為上述變換是把某一坐標系上表示的坐標，表示到另一坐標系中，因此有時也稱它為坐標變換。在該例子中是從 坐標系向坐標系 的坐標變換，由于坐標系 是 圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)角后構(gòu)成的坐標系，則該坐標變換矩陣也可用 來表示,17,同理，上述例子中，當考慮圍繞著

6、x軸旋轉(zhuǎn)時（設其旋轉(zhuǎn)量為），可得到如下關系式：,另外，當圍繞著軸y旋轉(zhuǎn)時（設其旋轉(zhuǎn)量為），可表示為如下關系式,18,可以驗證,該矩陣為單位矩陣式中*表示 x、y 、z中的任何一個。所以有下列等式成立 在分析機器人運動時，當只用圍繞一個軸旋轉(zhuǎn)不能表示時，可以通過圍繞幾個軸同時旋轉(zhuǎn)的組合方式進行表示。,均滿足,19,3齊次變換,前面討論了機器人在進行旋轉(zhuǎn)運動時的坐標變換，一般來說，機器人的運動不僅是旋轉(zhuǎn)運動，有時要做平行移動，或以上兩種運動的合成，因此也應考慮平移運動時的坐標變換，即齊次變換。,20,現(xiàn)在來看下圖的兩個坐標系，坐標系 是將坐標系 單獨地平行移動 后，再進行適當?shù)匦D(zhuǎn)得到的坐標系。,

7、21,這時，某一點P其在坐標系 和 上的坐標分別為p 1 、p2 ，可以認為 p 1 是由p2旋轉(zhuǎn)而進行坐標變換后，即乘以旋轉(zhuǎn)坐標變換 R，在加上表示平移的向量 p0而得到的，因此可寫出下列表達式：,22,因旋轉(zhuǎn)而進行的坐標變換，與因平移而進行的坐標變換，可以用一個坐標變換矩陣來表示，記為A ，稱這個矩陣 A為齊次坐標變換矩陣，或簡稱為坐標變換矩陣，表示為：,23,三、機器人的運動學的一般表示,前面所介紹的是任意兩個坐標系之間的坐標變換，我們知道，機器人一般是有多個關節(jié)組成的，各關節(jié)之間的坐標變換可以通過坐標變換相乘后，結(jié)合在一起進行求解。如前所述，可以把機器人的運動模型看作是一系列由關節(jié)連接

8、起來的連桿機構(gòu)。一般機器人具有個自由度，為了分析其運動，可將上述方法擴展一下。,24,通常把描述一個連桿與下一個連桿間相對關系的齊次變換稱為A矩陣。一個A矩陣就是一個描述連桿坐標系間相對平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。如果用 表示第一個連桿在基系的位置和姿態(tài)， 表示第二個連桿相對第一個連桿的位置和姿態(tài)，那么第二個連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得,25,同理，若 表示第三個連桿相對第二個連桿的位置和姿態(tài)，那么第三個連桿在基系的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得,26,于是，對于六連桿的機器人，有下列矩陣 成立 一般，每個連桿有一個自由度，則六連桿組成的機器人具有六個自由度，并能在其運動范圍內(nèi)任意

9、定位與定向。其中，三個自由度用于規(guī)定位置，另外三個自由度用來規(guī)定姿態(tài)。所以，表示了機器人的位置和姿態(tài)。,27,對于具有n個關節(jié)的機器人，若設坐標系 為固定在指尖上的坐標系時，則從坐標系 到基準坐標系 的坐標變換矩陣T可由下式給出： T 不僅是從 坐標系到坐標系 的坐標變換，而且同時還可以解釋為在基準坐標系 上看到的表示指尖位置和方向的矩陣。,28,四、機器人運動問題的示例,1機器人正運動學問題 機器人正運動學問題就是求機器人運動學的正解（forward kinematics），即在給定組成運動副的相鄰連桿的相對位置情況下，確定機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。通過上述分析可知，運動學正解可用一個反

10、映此相對關系的變換矩陣來表示，這里一般是指開式鏈的機器人結(jié)構(gòu)。,29,以一個6自由度的機器人為例，如圖所示，在該機器人中，除第3個關節(jié)為平移關節(jié)外，其余均為旋轉(zhuǎn)關節(jié)。,30,對于這個機器人，根據(jù)圖中表示的坐標系 為基準坐標系，正運動學問題就是求該機器人末端手指關節(jié)6的位置和姿態(tài)，也就是在基準坐標系上看關節(jié)6，因此找出由 到 的坐標變換矩陣T即可。也就是表示這個機器人的末端指尖的位置和方向，可以由下式給出：,31,其中,32,33,34,上式即為該6自由度機器人的運動學正解。對于不同類型的機器人，其坐標變換矩陣的形式不同，要根據(jù)實際結(jié)構(gòu)求得。,35,2機器人逆運動學,機器人的逆解問題比較復雜，為

11、了說明問題，下面先以2自由度的機器人為例。 如圖所示，已知機器人末端的坐標值（x,y） ，試利用 x,y表示 2,36,根據(jù)圖中的幾何關系可知：,（338）,（339）,37,聯(lián)立求解上述兩方程，可分別求出 的表達式。,因此可進一步得到：,將該式代入前面的幾何表達式就可求出的 表達式。,38,從機器人的手爪末端位置姿態(tài)出發(fā)，可以求出機器人對應的各關節(jié)的角度。該例的機器人是屬于平面多關節(jié)機器人，對于一般的機械手來講，其求解過程比較復雜，往往其解不是唯一的。請有興趣的愛好者參考相關的文獻書籍。,39,第三節(jié) 機器人的雅可比矩陣,一、雅可比矩陣的定義 前面討論了機器人的指尖位置和方向與各關節(jié)的變化位

12、置之間的關系。在本節(jié)將進一步討論指尖的速度與各關節(jié)的速度（轉(zhuǎn)動或平移）之間的關系。 考慮機械手的手爪位置r和關節(jié)變量的關系用正運動學方程表示如下：,40,假定這里考慮的是,的一般情況，并設手爪位置包含表示姿態(tài)的變量，以及關節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。,（355）,41,若用每個分量表示，則變?yōu)?在 的情況下，將變?yōu)槭肿ξ恢玫年P節(jié)變量有無限個解的冗余機器人。而工業(yè)上常用的多關節(jié)機器人手臂，通常用于作業(yè)的所需手爪應有3個位置變量和3個姿態(tài)變量，總計6個變量。而且由于不采用冗余機器人結(jié)構(gòu)，所以,42,將式（355）的兩邊對時間微分，可得到下式,（357）,其中,（358）,43,稱 為雅可比

13、矩陣（Jacobian matrix）。若在式（357）的兩邊乘以微小時間 ，則可得到,（359）,該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關系的關系式。,44,二、與平移速度相關的雅可比矩陣,現(xiàn)在設基準坐標系為 ，固定于指尖的坐標系為 ，在 上表示的的坐標為 ，則 可以表示如下：,（360）,45,這時，指尖的平移速度可以寫成：,（361）,式中， ，其中 是關節(jié)的數(shù)目。這里的 稱為與平移速度相關的雅可比矩陣。,46,下面以2自由度機械手為例，如前面圖32所示的2自由度機械手的雅可比矩陣。前面已推導過，該機器人的指尖位置可以表示為,47,則與這個機器人的平移速度相關的雅可比矩陣，可以下列形式給出：,

14、（363）,48,現(xiàn)在，我們來討論一下 的各列向量的幾何學意義，即在 時，考慮 ， 的幾何學意義。根據(jù)式（363）， 是在時 ，也就是第2關節(jié)固定時，僅在第1關節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出的向量。 同樣， 是第1關節(jié)固定時，僅在第2關節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出的向量。,49,因此，當用圖表示 和 時，就變成了如圖所示的情況。,圖39 和 的幾何學說明,50,三、與旋轉(zhuǎn)速度相關的雅可比矩陣,一般來講，指尖的旋轉(zhuǎn)速度表示方法，有以下兩種類型：,1考慮由表示指尖方向的三變量組合（例如為歐拉角）構(gòu)成向量 ，然后由它對時間的微分 進行表示的一種方法。 2以基準坐

15、標系的各坐標軸作為旋轉(zhuǎn)軸，以分別圍繞各旋轉(zhuǎn)軸的角速度作為分量構(gòu)成向量 ，然后用 進行表示的方法。,51,在第二種表示方法中，可以把 解釋為在基準坐標系上，圍繞x軸，y軸和 z軸的旋轉(zhuǎn)速度的合成，因為物理意義明確。這時，公式,（364）,其中矩陣JA稱為與旋轉(zhuǎn)速度相關的雅可比矩陣。,52,四、雅可比矩陣的計算方法,考慮一般情況，如六維向量，它可以指尖的平移速度和旋轉(zhuǎn)速度作為其向量的分量，即,（365）,這時，若采用 和 表示機器人的雅可比矩陣，則表示,（366）,53,這里，為了計算雅可比矩陣中的各分量，需對進一步作下列分割,式中，n為機器人的關節(jié)數(shù)， 和 分別表示 和 的第個列向量。而 和 則分別表示只有第i個關節(jié)以速度 運行，其他的關節(jié)都固定時的指尖平移速度向量和旋轉(zhuǎn)速度向量。,（367）,54,這時， 和 可以求解如下： 第 個關節(jié)為平移關節(jié)時 第 個關節(jié)為旋轉(zhuǎn)關節(jié)時,（368）,（369）,55,式中， 是第i關節(jié)的運行軸方向，在基準坐標系上表示的單位向量。 是從固定在第i關節(jié)上的坐標系 的原點，到指尖的位置向量，在基準坐標系上表示的向量，如圖310所示。,圖310 與,56,此外，如果 表示向量的外積，則可以進行下列計算：,（370）,57,如