1、小學數(shù)學應用題解題方法大全之小學數(shù)學應用題解題方法大全之 21-2521-25 二十一、守恒法二十一、守恒法 應用題中的數(shù)量有的是變化的，有的是始終不變的。解應用題時，抓住始終不變的數(shù)量， 分析不變的數(shù)量與其他數(shù)量的關系，從而找到解題的突破口，把應用題解答出來的解題方法， 叫做守恒法，也叫抓不變量法。 （一）總數(shù)量守恒（一）總數(shù)量守恒 有些應用題中不變的數(shù)量是總數(shù)量，用守恒法解題時要抓住這個不變的總數(shù)量。 例例 1 1 晶晶要看一本書，計劃每天看 15 頁，24 天看完。如果要 12 天看完，每天要看多少 頁？如果改為每天看 18 頁，幾天可以看完？（適于三年級程度） 解：無論每天看多少頁，總

2、是看這一本書，只要抓住這本書的“總頁數(shù)不變”這個關鍵， 問題就好辦了。 這本書的總頁數(shù)是： 1524=360（頁） 如果要 12 天看完，每天要看的頁數(shù)是： 36012=30（頁） 如果改為每天看 18 頁，看完這本書的天數(shù)是： 36018=20（天） 答略。 此題由于第一步是用乘法求出總數(shù)，因此也叫做“歸總”應用題。 *例例 2 2 用一根鐵絲圍成一個長 26 厘米，寬16 厘米的長方形。用同樣長的鐵絲圍成一個正 方形，正方形所圍成的面積是多少？（適于三年級程度） 解：這根鐵絲的長是不變的量，鐵絲圍成的長方形的周長和正方形的周長相同。即： 262+162 =52+32 =84（厘米） 正方形

3、的邊長是： 844=21（厘米） 正方形所圍成的面積是： 2121=441（平方厘米） 答略。 解：書架上書總的本數(shù)是不變的數(shù)量，設它為單位 1。從“上層書的本 書總的本數(shù)分成 5 份，上層的書占總本數(shù)的 因此，書總的本數(shù)是： 原來書架的上層有書： 原來書架的下層有書： 90-18=72（本） （二）部分數(shù)量守恒（二）部分數(shù)量守恒 當應用題中不變的數(shù)量是題中的一部分數(shù)量時，要抓住這個不變的部分數(shù)量解題。 例例 1 1 一輛汽車，從甲站到乙站，要經(jīng)過 20 千米的平路，45 千米的上坡路，15 千米的下 坡路。如果這輛汽車在平路上每小時行 40 千米，在上坡路上每小時行 30 千米，在下坡路上每

4、 小時行 45 千米。照這樣的速度行駛，這輛汽車在甲、乙兩站間往返一次需要多少時間？（適 于五年級程度） 解：無論汽車行駛在平路上、上坡路上，還是在下坡路上，每一段路上的速度是不變的。 這輛汽車往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45） 千米這輛汽車往返一次需要的時間是： 答略。 例例 2 2 有含鹽 15的鹽水 20 千克，要使鹽水含鹽 10，需要加水多少千克？（適于六年 級程度）解：題中鹽的重量是不變的數(shù)量，鹽的重量是： 2015=3（千克） 在鹽水含鹽 10時，鹽的對應分率是 10，因此鹽水的重量是： 310=30（千克） 加入的水的重量是：

5、30-20=10（千克） 答略。 解：文藝書的本數(shù)是不變的數(shù)量。文藝書有： =720（本） 從后來兩種書總的本數(shù)中減去原來兩種書總的本數(shù)，得到買進科技書的本數(shù)： 720-630=90（本） 綜合算式： =720-630 =90（本） 答略。 （三）差數(shù)守恒（三）差數(shù)守恒 當應用題中兩個數(shù)量的差是不變的數(shù)量時，要抓住這個差，分析數(shù)量關系解題。 例例 1 1 父親今年 35 歲，兒子5 歲。多少年后父親的年齡是兒子年齡的 3 倍？（適于四年級 程度） 解：父子年齡的差是個不變的數(shù)量，始終是 35-5=30（歲） 在父親年齡是兒子年齡的 3 倍時，父子年齡的差恰好是兒子年齡的 2 倍。 因此，這時兒

6、子的年齡是： 302=15（歲） 15-5=10（年） 答：10 年后父親的年齡是兒子年齡的 3 倍。 *例例 2 2 小明有 200 個棗，大平有120 個棗。兩人吃掉個數(shù)相同的棗后，小明剩下的棗是大 平剩下棗的 5 倍。問兩個人一共吃掉多少個棗。（適于四年級程度） 解：兩個人相差的棗的個數(shù)是不變的數(shù)量： 200-120=80（個） 兩人吃掉個數(shù)相同的棗后， 小明剩下的棗是大平剩下棗的 5 倍。 這就是說大平剩下的棗是 1 份數(shù)，小明剩下的棗比大平剩下的棗多 4 份數(shù)。因為兩人吃掉的棗的個數(shù)相同，所以相差數(shù) 還是 80 個。這 80 個是 4 份數(shù)。 因此，大平剩下的棗是其中的一份數(shù)： 80

7、4=20（個） 大平吃掉的棗是： 120-20=100（個） 因為兩個人吃掉的棗一樣多，所以一共吃掉棗： 1002=200（個） 答略。 *例例 3 3 有甲、乙兩個車間，如果從甲車間調(diào)出18 人給乙車間，甲車間就比乙車間少 3 人； 如果從兩個車間各調(diào)出 18 人，乙車間剩下人數(shù)就是甲車間 解：由“從甲車間調(diào)出 18 人給乙車間，甲車間就比乙車間少 3 人”可看出，甲車間比乙 車間多 2 個 18 人又少 3 人，即甲車間比乙車間多： 182-3=33（人） 由“從兩個車間各調(diào)出 18 人，乙車間剩下的人數(shù)就是甲車間剩下人數(shù)的 甲車間原有的人數(shù)是： 88+18=106（人） 乙車間原有的人數(shù)

8、是： 106-33=73（人） 答略。 *例例 4 4 甲種布的長是乙種布長的 3 倍。兩種布各用去8 米時，甲種布剩下的長是乙種布剩 下長度的 4 倍。兩種布原來各長多少米？（適于六年級程度） 解：甲、乙兩種布的長度差是不變的數(shù)量，解題時要以這個不變的數(shù)量作為標準量。 原來乙種布的長是標準量的： 乙種布先后兩個分率的差是： 乙種布的長是： 甲種布的長是： 48+24=72（米） 二十二、兩差法二十二、兩差法 解應用題時，首先確定一個標準數(shù)（即1 倍數(shù)），再根據(jù)已知的兩數(shù)差與倍數(shù)差，用除法求出 1 倍數(shù)，然后以此為基礎，用乘法求出另一個數(shù)的解題方法，叫做兩差法。用兩差法一般是解 答差倍問題。

9、差倍問題的數(shù)量關系是： 兩數(shù)差倍數(shù)差=1 倍數(shù) 1 倍數(shù)倍數(shù)=幾倍數(shù) 較小數(shù)+兩數(shù)差=較大數(shù) 例例 1 1 某廠女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的 6 倍，男職工比女職工少65 人。這個廠男女職工共 有多少人？（適于四年級程度） 解：根據(jù)“人數(shù)差倍數(shù)差=1 倍數(shù)”，有： 65（6-1）=13（人） 那么，這個廠男女職工共有的人數(shù)是： 13（6+1）=91（人） 答略。 例例 2 2 小李買 3 本日記本，小華買同樣的 8 本日記本，比小李多用 2.75 元。小李、小華兩 人分別用去多少錢？（適于五年級程度） 解：小華比小李多用2.75 元（總價差），是因為小華比小李多買（8-3）本（數(shù)量差）日 記本，用

10、這兩個差求出每本日記本的價錢。 小李用的錢數(shù)是： 0.553=1.65（元） 小華的錢數(shù)是： 0.558=4.40（元） 答略。 例例 3 3 甲、乙兩數(shù)的差是 28，甲數(shù)是乙數(shù)的 3 倍。問甲乙兩數(shù)各是多少？（適于四年級程 度） 解：甲-乙=28，甲是乙的 3 倍，那么乙就是1 倍數(shù)，28 所對應的倍數(shù)是 3-1=2（倍），則 乙數(shù)可以求出。解法是： 28（3-1）=14乙數(shù) 143=42甲數(shù) 答：甲數(shù)是 42，乙數(shù)是 14。 例例 4 4 一個植樹小組植樹。如果每人栽 5 棵，還剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵。這 個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹苗？（適于五年級程度） 解

11、：把題中的條件簡要摘錄如下： 每人 5 棵剩 14 棵 每人 7 棵缺 4 棵 比較兩次分配的情況可看出， 由于第二次比第一次每人多栽 （7-5） 棵， 一共要多栽 （14+4） 棵樹。根據(jù)兩次每人栽的棵數(shù)差和所栽總棵數(shù)的差，可求出植樹小組的人數(shù)，然后再求出原有 樹苗的棵數(shù)。 （14+4）（7-5）=9（人）人數(shù) 59+14=59（棵）棵數(shù) 答略。 例例 5 5 用一個杯子向一個空瓶里倒水。如果倒進 3 杯水，連瓶共重 440 克；如果倒進 5 杯 水，連瓶共重 600 克。一杯水和一個空瓶各重多少克？（適于五年級程度） 解：解這類題，要先找出“暗差”的等量關系，再找解題的最佳方法。 這道題的

12、“暗差”有兩個：一個是 5-3=2（杯），另一個是 600-440=160（克）。這里兩 個暗差的等量關系是：2 杯水的重量=160 克。 這樣就能很容易求出一杯水的重量： 1602=80（克） 一個空瓶的重量： 440-803=200（克） 答略。 *例例 6 6 甲從西村到東村，每小時步行 4 千米。3.5 小時后，乙因有急事，從西村出發(fā)騎自 行車去追甲，每小時行 9 千米。問乙需要幾小時才能追上甲？（適于高年級程度） 解：乙出發(fā)時，甲已經(jīng)行了（43.5）千米，乙每行 1 小時便可比甲每小時多行（9-4） 千米，那么（43.5）千米中含有幾個（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個小時。所以：

13、 答：乙需 2.8 小時才能追上甲。 例 6 是典型的“追及問題”。由此可知，追及問題也可以利用兩差法來解答。 *例例 7 7 某電風扇廠生產(chǎn)一批電風扇。原計劃每天生產(chǎn)120 臺電風扇，實際每天比原計劃多 生產(chǎn) 30 臺，結(jié)果提前 12 天完成任務。這批電風扇的生產(chǎn)任務是多少臺？（適于高年級程度） 解： 在同樣的時間 （計劃天數(shù)） 里， 實際比原計劃多生產(chǎn)電風扇的臺數(shù)是： （120+30） 12。 因為實際每天比原計劃多生產(chǎn) 30 臺，因此： 計劃完成任務的天數(shù)是 60 天，那么這批電風扇的生產(chǎn)任務就是： 12060=7200（臺） 答略。 *例例 8 8 甲每小時走 5 千米，乙每小時走 4

14、 千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了 3 小時。 問這段路長多少千米？（適于五年級程度） 解： 解答這道題應從“差異”入手。 因為凡是發(fā)生差異必定有它的道理。 題中的差異是“甲 比乙少用了 3 小時”，抓住它作如下追問，即可發(fā)現(xiàn)解題途徑。 為什么會“甲比乙少用了 3 小時”？因為甲比乙的速度快。 （1）在 3 個小時里甲比乙多走多少千米的路呢？在 3 小時里甲比乙正好多走： 43=12（千米） （2）甲每小時可以追上乙多少千米呢？ 5-4=1（千米） （3）走完這 12 千米的差數(shù)甲要走幾小時呢？ 121=12（小時） （4）這段路長多少千米？ 512=60（千米） 綜合算式： 543（5-4

15、） =5121 =512 =60（千米） 答略。 解：此題是“差倍”問題的變形。 答略。 兩堆煤原來各有多少噸？（適于六年級程度） 解：這里已知兩堆煤的總數(shù)和運走的總數(shù)，不知道兩堆煤在總數(shù)中占多大比率，也無法把 運走的煤分為甲堆運走的和乙堆運走的。雖然知道甲堆運 知道，無法發(fā)生聯(lián)系，因此這兩個分率無法參加運算。 本題的難點在于兩堆煤運走的分率不同，若分率相同，分析就會有所進展。 然后再看假設引出了什么差異。 已知條件告訴我們共運走 180 噸， 與方才算得的 162 噸相 差 180-162=18（噸），為什么會產(chǎn)生這 18 噸的差異呢？ 270-120=150（噸）甲堆 答略。 *例例 11

16、11 祖父給兄弟二人同樣數(shù)目的零花錢， 祖母給了哥哥 1100 日元， 給了弟弟 550 日元， 這樣兄弟二人所得到的零花錢數(shù)的比為 75。求祖父給兄弟二人的錢數(shù)都是多少日元？（適 于六年級程度） 解：因為祖父給兄弟二人的錢數(shù)相同，所以祖母給兄弟二人的錢數(shù)之差，就是他們分別得 到的所有零花錢錢數(shù)之差。 1100-550=550（日元） 由兄弟二人所得到的零花錢錢數(shù)的比為 75 可知，把哥哥的錢看成是 7 份的話，弟弟的 錢數(shù)就是 5 份，它們相差： 7-5=2（份） 所以，每一份的錢數(shù)是： 5502=275（日元） 哥哥有零花錢： 2757=1925（日元） 其中祖父給的是： 1925-110

17、0=825（日元） 答：祖父給兄弟二人的錢都是 825 日元。 *例例 1212 一位牧羊人趕著一群羊走過來， 小明問他： “你的羊群里有山羊、 綿羊各幾只？” 牧羊人說：“山羊的只數(shù)加上 99 只就是綿羊的只數(shù)，綿羊的只數(shù)加上 99 只就是山羊的 3 倍， 你去算吧?！闭埬銕椭∶魉阋凰?。（適于五年級程度） 解：由“山羊的只數(shù)加上 99 只就是綿羊的只數(shù)”知道，綿羊比山羊多 99 只。由“綿羊的 只數(shù)加上 99 只就是山羊的 3 倍”知道， 綿羊的只數(shù)加上 99 只后， 綿羊的只數(shù)比山羊多 （99+99） 只。此時，如果把山羊只數(shù)看作1 倍，綿羊只數(shù)就是 3 倍，比山羊多（3-1）倍，這（3

18、-1）倍 正好是（99+99）只（圖 22-1）。用除法可以求出 1 倍數(shù)（山羊只數(shù)），再用加法就可以求出 綿羊只數(shù)。 （99+99）（3-1） =1982 =99（只）山羊只數(shù) 99+99=198（只）綿羊只數(shù) 答略。 *例例 1313 某工廠有大、小兩個車間。如果從小車間調(diào)10 人到大車間，則大車間的人數(shù)是小 車間的 3 倍；如果從大車間調(diào) 30 人到小車間，則兩個車間的人數(shù)相等。求大、小兩個車間各 有多少人？（適于高年級程度） 解：根據(jù)“如果從大車間調(diào) 30 人到小車間，則兩個車間的人數(shù)相等”知道，大車間比小 車間多 302 人；根據(jù)“如果從小車間調(diào) 10 人到大車間，則大車間的人數(shù)是小

19、車間的 3 倍” 知道，這樣調(diào)動后，大車間比小車間多（302+102）人。把調(diào)動后小車間的人數(shù)看作 1 倍 數(shù)，則大車間的人數(shù)就是 3 倍數(shù)，比小車間的人數(shù)多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好是 （302+102）人。用除法可以求出1 倍數(shù)（調(diào)動后，小車間人數(shù)），加上10 就得小車間原 有人數(shù)。 （302+102）（3-1）+10 =8024+10 =50（人）（小車間原有人數(shù)） 50+302=110（人）（大車間原有人數(shù)） 答略。 在差倍問題中， 有一類比較特殊， 這就是年齡問題。 年齡問題一般用差倍問題的解題思路、 計算公式來分析、解答。但要注意年齡問題所單獨具有的“定差”特點，即大、小

20、兩個年齡， 相當于大、小兩個數(shù)，無論現(xiàn)在、過去、將來，這兩個年齡的差不變。抓住這個特點，再利用 差倍問題的數(shù)量關系和解題方法，便可解答年齡問題。 *例例 1414 今年哥哥 18 歲，弟弟 8 歲。問幾年前哥哥的年齡是弟弟的 3 倍？（適于高年級程 度） 解：作圖 22-2。 哥哥和弟弟年齡之差（18-8）歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1 倍數(shù)，哥哥的年齡 就是 3 倍數(shù)，比弟弟多（3-1）倍數(shù)，這（3-1）倍數(shù)正好對應于（18-8）歲。用除法可以求出 1 倍數(shù)，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的 3 倍。 8-（18-8）（3-1）=3（年） 答略。 *例例

21、1515 今年父親 40 歲，兒子 4 歲。問幾年后父親的年齡是兒子的 4 倍？（適于高年級程 度） 解：作圖 22-3。 父子年齡之差（40-4）歲始終不變。把幾年后兒子的年齡看作1 倍數(shù)，父親的年齡就是 4 倍數(shù)，比兒子多（4-1）=3 倍數(shù)，這（4-1）倍數(shù)正好對應于（40-4）歲。用除法可求出 1 倍 數(shù)，即幾年后兒子的年齡，再用減法便可求出幾年后父親的年齡是兒子的 4 倍。 （40-4）（4-1）-4 =363-4 =8（年） 二十三、比例法二十三、比例法 比和比例是傳統(tǒng)算術(shù)的重要內(nèi)容， 在較早的年代， 許多實際問題都是應用比和比例的知識來解 答的。近年來，小學數(shù)學教材中比和比例的內(nèi)

22、容雖然簡化了，但它仍是小學數(shù)學教學的重要內(nèi) 容之一，是升入中學繼續(xù)學習的必要基礎。 用比例法解應用題，實際上就是用解比例的方法解應用題。有許多應用題，用比例法解簡 單、方便，容易理解。 用比例法解答應用題的關鍵是：正確判斷題中兩種相關聯(lián)的量是成正比例還是成反比例， 然后列成比例式或方程來解答。 （一）正比例（一）正比例 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的 比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。 如果用字母 x、y 表示兩種相關聯(lián)的量，用 k 表示比值（一定），正比例的數(shù)量關系可以 用下面的式子表示： 例例 1 1

23、 一個化肥廠 4 天生產(chǎn)氮肥 32 噸。照這樣計算，這個化肥廠4 月份生產(chǎn)氮肥多少噸？ （適于六年級程度） 解：因為日產(chǎn)氮肥的噸數(shù)一定，所以生產(chǎn)氮肥的噸數(shù)與天數(shù)成正比例。 設四月份 30 天生產(chǎn)氮肥 x 噸，則： 答略。 例例 2 2 某工廠要加工 1320 個零件，前8 天加工了 320 個。照這樣計算，其余的零件還要加 工幾天？（適于六年級程度） 解：因為每一天加工的數(shù)量一定，所以加工的數(shù)量與天數(shù)成正比例。 還需要加工的數(shù)量是： 1320-320=1000（個） 設還需要加工 x 天，則： 答略。 例例 3 3 一列火車從上海開往天津，行了全程的 60，距離天津還有 538 千米。這列火車

24、已 行了多少千米？（適于六年級程度） 解：火車已行的路程剩下的路程=60（1-60）=32。 設火車已行的路程為 x 千米。 答略。 米。這時這段公路余下的長度與已修好長度的比是 23。這段公路長多少米？（適于六 年級程度） 解：余下的長度與已修好長度的比是 23，就是說，余下的長度是已 這段公路的長度是： 答略。 （二）反比例（二）反比例 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數(shù)的積 一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。 如果用字母 x、y 表示兩種相關聯(lián)的量，用 k 表示積（一定），反比例的數(shù)量關系可以用 下面的式子表達： xy=k

25、（一定） 例例 1 1 某印刷廠裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂 2500 本，14 天可以完成。如果每天裝訂 2800 本，多少天可以完成？（適于六年級程度） 解：由于要裝訂的本數(shù)一定，因此，每天裝訂的本數(shù)與可以裝訂的天數(shù)成反比例。 設 x 天可以完成，則： 答略。 例例 2 2 一項工程，原來計劃30 人做，18 天完成。現(xiàn)在減少了3 人，需要多少天完成？（適 于六年級程度） 解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人數(shù)與天數(shù)成反比例。 現(xiàn)在減少 3 人，現(xiàn)在的人數(shù)就是： 30-3=27（人） 設需要 x 天完成，則： 答略。 例例 3 3 有一項搬運磚的任務，25 個人去做，6

26、小時可以完成任務；如果相同工效的人數(shù)增 加到 30 人，搬運完這批磚要減少幾小時？（適于六年級程度） 解：題中的總?cè)蝿蘸兔咳说墓ぷ餍室欢?，所以搬運磚的人數(shù)與所需要的時間成反比例。 設增加到 30 人以后，需要 x 小時完成，則： 6-5=1（小時） 答：增加到 30 人后，搬運完這批磚要減少 1 小時。 例例 4 4 某地有駐軍 3600 人，儲備著吃一年的糧食。經(jīng)過4 個月后，復員若干人。如果余下 的糧食可以用 10 個月，求復員了多少人？（適于六年級程度） 解：按原計劃，4 個月后余下的糧食可以用： 12-4=8（個月） 因為復員一部分人后，人數(shù)少了，所以原來可以用 8 個月的糧食，現(xiàn)在

27、就可以用 10 個月。 糧食的數(shù)量一定，人數(shù)與用糧的時間成反比例。 設余下的糧食供 x 人吃 10 個月，則： 答：復員了 720 人。 （三）按比例分配 按比例分配的應用題可用歸一法解，也可用解分數(shù)應用題的方法來解。 用歸一法解按比例分配應用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法 比解分數(shù)應用題的方法容易一些。 用解分數(shù)應用題的方法解按比例分配問題的關鍵是： 把兩個 （或幾個）部分量之比轉(zhuǎn)化為部分量占總量的（幾個部分量之和）幾分之幾。這種轉(zhuǎn)化稍微難 一些。然而學會這種轉(zhuǎn)化對解答某些較難的比例應用題和分數(shù)應用題是有益的。 究竟用哪種方法解，要根據(jù)題目的不同，靈活采用不同的方法。

28、 有些應用題敘述的數(shù)量關系不是以比或比例的形式出現(xiàn)的， 如果我們用按比例分配的方法 解這樣的題，要先把有關數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為比或比例的關系。 1.按正比例分配 甲、乙、丙三個數(shù)的連比是： 4+5+8=17 答略。 例例 2 2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多 12.5，乙堆比丙堆少 解：因為甲堆比乙堆多 12.5，所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5）。 甲乙=（1+12.5）1=98 甲乙丙=9810 已知甲堆比丙堆少 6 噸，這 6 噸所對應的份數(shù)是 1，所以，甲堆煤的噸數(shù)是： 69=54（噸） 乙堆煤的噸數(shù)是： 68=48（噸） 丙堆煤的噸數(shù)是： 610=60（噸） 答略。

29、2.按反比例分配 *例例 1 1 某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10 小時，去時每小時行12 千米，返回時每小 時行 8 千米。求甲、乙兩地相距多少千米？（適于六年級程度） 解：此人往返的速度比是： 128=32 因為在距離一定的情況下，時間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是 32， 可推出此人往返所用的時間比是 23。 去時用的時間是： 兩地之間的距離： 124=48（千米） 答略。 *例例 2 2 一個文藝演出隊去少數(shù)民族地區(qū)慰問演出，路上共用了 110 個小 這也是騎馬、乘輪船、坐火車的時間比。 將 110 小時按 821 的比例分配。 騎馬的時間是： 坐火車的時間是： 答略。

30、 3.按混合比例分配 把價格不同、數(shù)量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價（或總價 和總數(shù)量），求混合量的應用題叫做混合比例應用題。混合比例應用題在實際生活中有廣泛的 應用。 *例例 1 1 紅辣椒每 500 克 3 角錢，青辣椒每 500 克 2 角 1 分錢?，F(xiàn)將紅辣椒與青辣椒混合， 每 500 克 2 角 5 分錢。 問應按怎樣的比例混合， 菜店和顧客才都不會吃虧？ （適于六年級程度） 解：列出表 23-1。 表 23-1 表中，價格一欄是根據(jù)題意填的，其他欄目是在分析題的過程中填的。 混合后的辣椒是每 500 克賣 2 角 5 分錢，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能

31、是11， 因為在混合后的辣椒中每有 500 克紅辣椒，紅辣椒就要少賣 5 分錢， 所以應算是每 500 克紅辣 椒損失了 5 分錢，在“損”一欄中，橫對紅辣椒和3 角，填上5 分；又因為在混合后的辣椒中 每有 500 克青辣椒，青辣椒就要多賣 4 分錢，所以應算是每 500 克青辣椒多賣了（益）4 分錢， 在“益”一欄中，橫對青辣椒和 2 角 1 分，填上 4 分。 5 與 4 的最小公倍數(shù)是 20。 2054，2045， 只有在混合的辣椒中，有 4 份的紅辣椒，5 份的青辣椒，500 克混合后的辣椒正好賣 2 角 5 分錢。 4 份的紅辣椒是 4 個 500 克，它的價錢是， 0.34=1.

32、2（元） 5 份的青辣椒是 5 個 500 克，它的價錢是， 0.215=1.05（元） 4 份紅辣椒與 5 份青辣椒的總價是， 1.2+1.05=2.25（元） 而 9 個 500 克的混合辣椒的總價是， 0.259=2.25（元） 9 份（9 個 500 克）紅辣椒和青辣椒的總價正好與 9 個 500 克混合辣椒的總價相等。 所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣椒的比應是45。這個比正好是益損兩數(shù)比的反比。 答略。 *例例 2 2 王老師買甲、乙兩種鉛筆共 20 支，共用 4 元 5 角錢。甲種鉛筆每支 3 角，乙種鉛 筆每支 2 角。兩種鉛筆各買多少支？（適于六年級程度） 解：20 支鉛筆的

33、平均價格是： 4.520=0.225（元）=2.25（角） 列出表 23-2。 表 23-2 因為甲種鉛筆每支 3 角， 而平均價格是每支 2.25 角， 所以每支甲種鉛筆損失了 0.75 角錢。 在表中“損”一欄橫對“甲”填上 0.75 角/支；因為乙種鉛筆每支 2 角，而平均價格是每支 2.25 角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25 角。在表中“益”一欄橫對“乙”填上0.25 角/支。 兩種鉛筆的混合比，正好是損、益兩數(shù)比的反比，所以在混合比一欄中，橫對甲填0.25， 而橫對乙填 0.75。把 0.25 和 0.75 化簡后得 1 和 3。 現(xiàn)在可以認為兩種鉛筆的總份數(shù)是： 1+3=

34、4（份） 甲種鉛筆的支數(shù)是： 乙種鉛筆的支數(shù)是： 答略。 （四）連比（四）連比 如果甲數(shù)量與乙數(shù)量的比是 ab，乙數(shù)量與丙數(shù)量的比是 bc，那么表示甲、乙、丙三 個數(shù)量的比可以寫作 abc，abc 就叫做甲、乙、丙三個數(shù)量的連比。 注意：“比”中的比號相當于除號，也相當于分數(shù)線，而“連比”中的比號卻不是相當于 除號、分數(shù)線。 *例例 1 1 已知甲數(shù)和乙數(shù)的比是 56，丙數(shù)和乙數(shù)的比是 78，求這三個數(shù)的連比。（適 于六年級程度） 解：已知甲、乙兩數(shù)的比是 56，丙數(shù)與乙數(shù)之比為 78，即乙數(shù)與丙數(shù)之比為 87。 第一個比的后項是 6，第二個比的前項為8，這說明甲、丙兩個數(shù)不是以相同標準劃分的

35、，甲、 乙、丙三個數(shù)不能直接寫成連比。 用下面的方法可以統(tǒng)一甲、丙的標準，把甲、乙、丙三個數(shù)寫成連比。把5 擴大 8 倍，得 40；把 6 擴大 8 倍，得 48。把 6 擴大 8 倍得 48，也就是把 8 擴大 6 倍，得 48，所以也要把 7 擴大 6 倍得 42。 甲、乙、丙三個數(shù)的連比是：4O 4842=202421。 答略。 *例例 2 2 甲、乙、丙三堆煤共重 1480 噸，已知甲堆煤重量的 又根據(jù)，甲乙=32，乙丙=56，可求出甲、乙、丙三個數(shù)的連比是： 甲乙丙=151012 把 1480 噸煤按 151012 的比例分配。 甲堆煤重： 乙堆煤重： 二十四、轉(zhuǎn)換法 解答應用題時，

36、通過轉(zhuǎn)換（即轉(zhuǎn)化）題中的情節(jié)，分析問題的角度、數(shù)據(jù)從而較快找到解 題思路，或簡化解題過程的解題方法叫做轉(zhuǎn)換法。 （一）轉(zhuǎn)換題中的情節(jié) 轉(zhuǎn)換題中的情節(jié)是運用聯(lián)想改變原題的某個情節(jié)，使題目變得易于解答。 14+6=20（噸） 30 噸所對應的分率是： 答略。 例 2 一項工程，甲、乙兩隊合做要用 12 天完成。如果甲隊先獨做 16 天，余下的再由乙隊獨 做 6 天完成。如果全部工程由甲隊獨做，要用幾天完成？（適于六年級程度） 解：求甲隊獨做要用幾天完成全部工程，得先求出甲隊的工作效率?？墒穷}中已知的是甲、乙 合做要用的時間，和甲、乙一前一后獨做的時間，很難求出甲的工作效率。如果將“一前一后 獨做”

37、這一情節(jié)變換為“先合做，后獨做”就便于解題了?？蛇@樣設想，從甲隊的工作量中劃 出 6 天的工作量與乙隊 6 天的工作量合并起來， 也就是假定兩隊曾經(jīng)合做了 6 天。 情節(jié)這樣變 動后，原題就變換成： 一項工程，甲、乙兩隊合做要用 12 天完成，這項工程先由甲乙兩隊合做 6 天后，余下的工程 由甲隊單獨做 10 天完成。如果全部工程由甲隊獨做要用幾天完成？ 這樣就很容易求出甲隊的工作效率是： 甲隊獨做完成的時間是： 答略。 （二）轉(zhuǎn)換看問題的角度 解應用題時，如果看問題的角度不適當就很難解出題。如果轉(zhuǎn)換看問題的角度，把原來從正面 看問題轉(zhuǎn)換為從側(cè)面看或從反面看， 把這一數(shù)量轉(zhuǎn)換為另一數(shù)量進行分析

38、， 就可能找到解題思 路。 解：一般都沿著女工占總?cè)藬?shù)的分率去尋找與之相對應的具體人數(shù)，但這樣往往會誤入歧途， 難以找到正確答案。不如根據(jù)女工所占分率，換一個角度，想一想男工的情況。 男工人數(shù)便占總?cè)藬?shù)的： 后來女工的總?cè)藬?shù)是： =560-480 =80（人） 答略。 *例 2 求圖 24-1 中陰影部分的面積。 （單位：厘米） （適于六年級程度） 解：如果直接計算圖中陰影部分的面積，幾乎是不可能的。如果把角度轉(zhuǎn)換為，從大扇形面積 減去右面空白處的面積，就容易求出陰影部分的面積了。 =200.96-81.5 =119.46（平方厘米） 答：陰影部分的面積是 119.46 平方厘米。 （三）轉(zhuǎn)換

39、題中的數(shù)據(jù) 轉(zhuǎn)換題中的數(shù)據(jù)就是將題中已知的數(shù)據(jù)進行等價變換，從而協(xié)調(diào)各個數(shù)據(jù)之間的關系。 例 1 兩輛汽車同時從相距 465 千米的兩地相對開出，4.5 小時后兩車還相距 120 千米。一輛汽 車每小時行 37 千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度） 解：如果兩地的距離減少 120 千米，兩車經(jīng)過 4.5 小時正好相遇，兩車 4.5 小時行的路程是： 465-120=345（千米） 兩車的速度之和是： 綜合算式： （465-120）4.5-37 =3454.5-37 解：如果從分數(shù)角度分析，不易找出數(shù)量間的關系。如果把分數(shù)轉(zhuǎn)換為比來分析，就會得出， 第一天與第二天種的棵數(shù)的比是

40、35，第二天與第三天種的棵數(shù)比是 56。 所以，第一、二、三天種的棵數(shù)的比是 356。 第一天種： 第三天種： 答略。 （四）轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一標準 當題中兩個或幾個數(shù)量的單位“1”不統(tǒng)一，不便于解答時，如把某個數(shù)量作為標準單位“ 1” ， 把其他數(shù)量轉(zhuǎn)化為以它為標準的分率，就會突破障礙，順利解題。 例 1 甲、乙、丙、丁四人合買一批化肥。甲付的錢是其他人所付錢數(shù)之 解：把甲、乙、丙、丁所付錢數(shù)統(tǒng)一為以總數(shù)量作為標準量的分率。由 答略。 色電視機的臺數(shù)沒有發(fā)生變化，我們以彩色電視機的臺數(shù)作為單位 彩色電視機的臺數(shù)是： 黑白電視機的臺數(shù)是： 答略。 （五）轉(zhuǎn)換隱蔽條件為明顯條件 有些應用題的解題條件十分

41、隱蔽。認真體會題中字、詞、句的含義，看清這些字、詞、句實質(zhì) 上說的是什么，必要時借助圖形分析，或適當改變題中的條件，就可能把原來題中隱蔽的條件 轉(zhuǎn)換為明顯條件，從而較快解題。 *例 1 甲、乙二人分別從 A、B 兩地同時出發(fā)，相向而行，在離 B 點 18 千米的地方相遇。相遇 后二人繼續(xù)往前行，甲到 B 地和乙到 A 地立即返回，在離 A 地 8 千米的地方又相遇。求 A、B 兩地相距多少千米？（適于高年級程度） 解：解答此題的條件十分隱蔽。借助圖 24-2 分析問題，可將隱蔽條件轉(zhuǎn)換為明顯條件。 （1）從開始出發(fā)到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一個全程的路程，其中乙走了 18 千米。 這就是

42、說甲、乙二人共同走完一個全程的路程時乙走 18 千米，若共同走完三個全程，那么乙 就走 183 千米的路程。 （2）甲、乙第二次相遇時，二人走了三個全程的路程，而乙走了一個全程加 8 千米。 （3）乙走的一個全程加 8 千米應等于 183 千米，所以，A、B 兩地的距離是： 183-8=46（千米） 答：甲乙兩地相距 46 千米。 220-100=120（千克）甲袋米重 答略。 （六）轉(zhuǎn)換敘述方式 對數(shù)量關系復雜、不易理出頭緒、不易分析解答的應用題，經(jīng)過逐字、逐句地分析，弄清每一 句話的意思，然后轉(zhuǎn)換原題的敘述方式，就可化繁為簡，化難為易，使原題變得易于解答。 *例 1 李老師帶領學生植 10

43、0 棵樹。李老師先植一棵，然后對同學們說： “男同學每人植兩棵， 女同學每兩人合植一棵。 ” 這樣正好把余下的樹苗植完。 問李老師帶領的學生中有多少名男生， 多少名女生？（適于高年級程度） 解：逐層分析每一句話的意思。李老師植一棵，那么學生就是植了99 棵；男同學每人植兩棵， 女同學每兩人合植一棵，可以看作一名男生和兩名女生組成一組，植樹 3 棵。 993=33（組） 這樣就可以認為學生正好分成 33 組。 根據(jù)上面的分析，上面的題就可以這樣敘述： 有 33 組學生去植樹，每一組學生中有一名男生、兩名女生。求去植樹的學生中有多少名男生、 女生？ 133=33（名）男生人數(shù) 233=66（名）女

44、生人數(shù) 答：有男生 33 名，有女生 66 名。 *例 2 一位天文愛好者說： “土星直徑比地球直徑的 9 倍還多 4800 千米，土星直徑除以 24 等 于水星直徑，水星直徑加上 2000 千米等于火星直徑，火星直徑的一半減去 500 千米等于月亮 直徑，月亮直徑是 3000 千米。求地球直徑是多少千米？（適于高年級程度） 解：把原題倒過來敘述：月亮直徑是 3000 千米，月亮直徑加上 500 千米后的 2 倍等于火星直 徑，火星直徑減去 2000 千米等于水星直徑，水星直徑的 24 倍等于土星直徑，土星直徑減去 4800 千米是地球直徑的 9 倍。 水星直徑： （3000+500）2-20

45、00=5000（千米） 土星直徑： 500024=120000（千米） 地球直徑： （120000-4800）9=12800（千米） 答略。 （七）轉(zhuǎn)換解題的方法 當題目用通常方法很難解答或不能解答時，應轉(zhuǎn)換解題方法，使問題得到解決。 例 1 汽車 7 小時行 300 千米， 照這樣計算， 行駛 7500 千米需要多少小時？ （適于三年級程度） 解：此題如果這樣考慮，求行 7500 千米需要多少小時，要先求出汽車每小時行多少千米，然 后 7500 千米再除以汽車每小時的速度，即：7500（3007） 這樣列式計算時， 小括號內(nèi)的 3007 是除不盡的， 三年級的學生還沒學過計算小數(shù)的近似值。

46、本題用上面的方法列式解答看來不行，應換一種解題方法。 如果求出 7500 千米中含有多少個 300 千米，就可求出這輛汽車行多少個 7 小時。這時可這樣 列式解答： 7（7500300） =725 =175（小時） 答：行駛 7500 千米需要 175 小時。 *例 2 一個長方體，表面積是66.16 平方分米，底面積是19 平方分米，底面周長是17.6 分米。 這個長方體的高是多少分米？（適于五年級程度） 解：以一般方法解此題，求長方形的高，需要用底面積去除體積?？墒且阎獥l件中沒有體積， 而且不容易求出，這就需要轉(zhuǎn)換解題方法。 題中已知長方體的表面積。因為長方體共有 6 個面，每一對相對面的

47、面積相等，所以可以把表 面積轉(zhuǎn)化為三個不同面積之和： 66.162=33.08（平方分米） 又因為底面積已知，所以可求出另外兩個面的面積之和： 33.08-19=14.08（平方分米） 14.08 平方分米這個面積是由“長高+寬高=（長+寬）高”得到的。 14.08 平方分米這個面積的長（即長與寬的和）是： 17.62=8.8（分米） 所以，這個長方體的高是： 14.088.8=1.6（分米） 答略。 例 3 一輛快車和一輛慢車同時分別從 A、B 兩站相對開出，經(jīng)過4 小時后兩車相遇。相遇后快 車繼續(xù)行駛 3 小時到達乙地。已知慢車每小時比快車少行 15 千米。求 A、B 兩站相距多少千 米？

48、（適于六年級程度） 解：此題要是依靠具體的數(shù)量進行分析，解題就會遇到困難。如果轉(zhuǎn)換解題思路，用解工程問 題的方法可化難為易。 慢車每小時行全程的： A、B 兩地的距離是： 二十五、假設法二十五、假設法 當應用題用一般方法很難解答時， 可假設題中的情節(jié)發(fā)生了變化， 假設題中兩個 或幾個數(shù)量相等， 假設題中某個數(shù)量增加了或減少了， 然后在假設的基礎上推理， 調(diào)整由于假設而引起變化的數(shù)量的大小，題中隱蔽的數(shù)量關系就可能變得明顯， 從而找到解題方法。這種解題方法就叫做假設法。 用假設法解應用題，要通過豐富的想象，假設出既合乎題意又新奇巧妙，既 簡單又便于計算的條件。 有些用一般方法能解答的應用題，用假

49、設法解答可能更簡捷。 （一）假設情節(jié)變化（一）假設情節(jié)變化 解：假設籃球沒有借出，足球借出一個，那么， 可以把現(xiàn)有籃球的個數(shù)看作 是 3 份數(shù)，把現(xiàn)有足球的個數(shù)看作 2 份數(shù)，兩種球的總份數(shù)是： 3+2=5（份） 原來籃球的個數(shù)是： 原來足球的個數(shù)是： 21-12=9（個） 答略。 例例 2 2 甲乙兩個煤場共存煤 92 噸，從甲場運出 28 噸后，乙場的存煤比甲場 的 4 倍少 6 噸。兩場原來各存煤多少噸？（適于六年級程度） 解：假設從甲場運出的不是 28 噸，而是比 28 噸少 6 噸的 22 噸，那么，乙 場的存煤數(shù)就正好是甲場的 4 倍，甲場的存煤是 1 份數(shù)，乙場的存煤是 4 甲場

50、原來存煤： 92-50=42（噸） 答略。 （二）假設兩個（或幾個）數(shù)量相等 例 1 有兩塊地，平均畝產(chǎn)糧食185 千克。其中第一塊地5 畝，平均畝產(chǎn)糧食203 千克。如 果第二塊地平均畝產(chǎn)糧食 170 千克，第二塊地有多少畝？（適于五年級程度） 解： 假設兩塊地平均畝產(chǎn)糧食都是 170 千克， 則第一塊地的平均畝產(chǎn)量比兩塊地的平均畝 產(chǎn)多： 203-170=33（千克） 5 畝地要多產(chǎn)： 335=165（千克） 兩塊地實際的平均畝產(chǎn)量比假設的平均畝產(chǎn)量多： 185-170=15（千克） 因為 165 千克中含有多少個 15 千克，兩塊地就一共有多少畝，所以兩塊地的畝數(shù)一共是： 16515=1

51、1（畝） 第二塊地的畝數(shù)是： 11-5=6（畝） 答略。 解：此題可以有三種答案。 答：剩下的兩根繩子一樣長。 答：甲繩剩下的部分比乙繩剩下的部分長。 （3）假設兩根繩子都比 1 米長。任意假定為 1.5 米，則甲繩剪去 答：乙繩剩下的部分比甲繩剩下的部分長。 例例 3 3 一項工作，甲、乙兩隊單獨做各需要 10 天完成，丙隊單獨做需要 7.5 天完成。在三 隊合做的過程中， 甲隊外出 1 天， 丙隊外出半天。 問三隊合做完成這項工作實際用了幾天？ （適 于六年級程度） 解：假設甲沒有外出，丙也未外出，也就是說，甲、乙、丙三個隊的工作天數(shù)一樣多，則 三隊合做的工作量可達到： 三隊合做這項工作，

52、實際用的天數(shù)是： 答略。 *例例 4 4 一項工程，甲、乙兩隊合做80 天完成。如果先由甲隊單獨做 72 天，再由乙隊單獨 做 90 天，可以完成全部工程。甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需要用多少天？（適于六年級 程度） 解：假設甲隊做 72 天后，乙隊也做 72 天，則剩下的工程是： 乙隊還需要做的時間是： 90-72=18（天） 乙隊單獨完成全部工程的時間是： 甲隊單獨完成全部工程的時間是： 答略。 （三）假設兩個分率（或兩個倍數(shù)）相同（三）假設兩個分率（或兩個倍數(shù)）相同 *例例 1 1 某商店上月購進的藍墨水瓶數(shù)是黑墨水瓶數(shù)的 3 倍， 每天平均賣出黑墨水 45 瓶，藍 墨水 120 瓶。過了一段時間，黑墨水賣完了，藍墨水還剩300 瓶。這個商店上月購進藍墨水和 黑墨水各多少瓶？（適于高年級程度） 解：根據(jù)購進的藍墨