1、4.1 設(shè)有一泊松過程，求：（1） ，用的函數(shù)表示之；（2） 該過程的均值和相關(guān)函數(shù)。問該過程是否為平穩(wěn)過程？(1) 解：首先，根據(jù)泊松過程的獨(dú)立增量性質(zhì)可知于是，(2) 解：該過程的均值為根據(jù)泊松過程的獨(dú)立增量過程性質(zhì)可得其相關(guān)函數(shù)為()其中，于是，時(shí)的相關(guān)函數(shù)為同理可得時(shí)的相關(guān)函數(shù)為所以，泊松過程的相關(guān)函數(shù)為所以，泊松過程過程不是平穩(wěn)過程。4.2 設(shè)有一個(gè)最一般概念的隨機(jī)電報(bào)信號(hào)，它的定義如下：（1） 是正態(tài)分布的隨機(jī)變量；（2） 時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)電報(bào)脈沖的個(gè)數(shù)服從泊松分布，即 (k=1,2,)（3） 不同時(shí)間的電報(bào)脈沖幅度服從正態(tài)分布N(0,)，這個(gè)脈沖幅度延伸到下一個(gè)電報(bào)脈沖出現(xiàn)時(shí)保持不變，

2、不同電報(bào)脈沖幅度的取值是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，同一電報(bào)脈沖內(nèi)幅度是不變的。（4） 不同時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)電報(bào)脈沖的個(gè)數(shù)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。它的樣本函數(shù)如圖4-2。(k) (t)0t圖4-2 (1) 試求它的二元概率密度。(2) 試問該過程是否平穩(wěn)？(1) 解：設(shè)t10，q (t)是一個(gè)二級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)過程，設(shè)是過程q (t)的二維特征函數(shù)，即同時(shí)對(duì)于任何，。試證明過程x(t)是寬平穩(wěn)過程，并求它的相關(guān)函數(shù)。證明：首先，x(t)的均值為x(t)的相關(guān)函數(shù)為因?yàn)閝 (t)是一個(gè)二級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)過程，所以只與t1-t2有關(guān)。因此，也只與t1-t2有關(guān)，且其均值為常數(shù)，所以是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。4.8 設(shè)有一時(shí)間離散的馬爾可夫過

3、程。具有概率密度函數(shù)對(duì)于，當(dāng)給定時(shí)的條件概率密度均勻分布于之間。問是否滿足嚴(yán)平穩(wěn)的條件？解：對(duì)于任意一個(gè)馬爾可夫過程和任意m+1個(gè)取樣點(diǎn)，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)對(duì)于本題，其中的是不隨時(shí)刻i變化的。若也是與時(shí)刻i無關(guān)的，則在時(shí)間軸上做任意平移時(shí)是不變的，那么該過程是嚴(yán)平穩(wěn)的。因此，只需要證明與時(shí)刻j無關(guān)。首先，的概率密度函數(shù)為由此可見，的概率密度函數(shù)與的概率密度函數(shù)相同。依此類推，可得的概率密度函數(shù)也與的概率密度函數(shù)相同，即的概率密度函數(shù)不隨時(shí)刻i變化。因此，取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上做任意平移時(shí)該過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的，即是嚴(yán)平穩(wěn)過程。x y01 y1-y4.9 設(shè)有兩狀態(tài)時(shí)間離散的

4、馬爾可夫鏈(n =1,2,3,.)，可取0或1，它的一步轉(zhuǎn)移矩陣為其中，p1+q1=1 , p2+q2=1 , 試證明該過程為嚴(yán)平穩(wěn)過程。證明：對(duì)于齊次馬爾可夫鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率與時(shí)刻無關(guān)，若其一維概率分布也與時(shí)刻無關(guān)，則其任意維聯(lián)合概率密度函數(shù)只與取樣點(diǎn)間的時(shí)間間隔有關(guān)，而與具體的時(shí)刻無關(guān)，即具有嚴(yán)平穩(wěn)性質(zhì)。因此，對(duì)于本題只需要證明該馬爾可夫鏈的一維概率分布與時(shí)刻無關(guān)。首先，的概率分布為同理可得由于一步轉(zhuǎn)移概率與時(shí)刻無關(guān)。所以，由此可以推知其中，n =1,2,3,.。所以該過程為嚴(yán)平穩(wěn)過程。此題的另一種解法就是先求n步轉(zhuǎn)移陣，然后直接求n時(shí)刻的概率分布。首先，利用習(xí)題2.11的結(jié)果可得n步轉(zhuǎn)

5、移陣為于是， 同理可得，所以，該過程是嚴(yán)平穩(wěn)過程。4.10 設(shè)有相位調(diào)制的正弦過程其中，w為常數(shù)，w0，是泊松過程，A是對(duì)稱貝努利型隨機(jī)變量，即，A和是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。試畫出其樣本函數(shù)，樣本函數(shù)是否連續(xù)？求的相關(guān)函數(shù)，問是否均方連續(xù)？解：設(shè)。由給出的可得其中，于是， 所以，相關(guān)函數(shù)為同理可得時(shí)的相關(guān)函數(shù)為因此，相關(guān)函數(shù)為在時(shí)，即在處連續(xù)，。所以，在上均方連續(xù)。樣本函數(shù)見下圖，顯然樣本函數(shù)是不連續(xù)的。4.11 設(shè)有實(shí)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，其相關(guān)函數(shù)為。試證：證明：設(shè)。因?yàn)槭瞧椒€(wěn)隨機(jī)過程，所以則的均值和方差分別為根據(jù)契必雪夫不等式得4.12 設(shè)有隨機(jī)過程其中，Ak（k=1,2,n）是n個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，(k

6、=1,2,n)是n個(gè)實(shí)數(shù)。試問各Ak之間應(yīng)滿足怎樣的條件才能使是一個(gè)復(fù)的平穩(wěn)隨機(jī)過程？解：首先，的均值為若是寬平穩(wěn)過程，則為常數(shù)，即與t無關(guān)，則要求。的相關(guān)函數(shù)為若是寬平穩(wěn)過程，則相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，因此要求4.13 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)為，且，T為一常數(shù)，T 0，試證：(1) 有依概率1相等；(2) ，即相關(guān)函數(shù)具有周期性，周期為T。（具有周期性相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)隨機(jī)過程稱為周期性隨機(jī)過程）(1) 證明：要證依概率1相等，只需證即可。由于是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以由相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性可得所以，依概率1相等；(2) 證明：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義 ，由依概率1相等于是，此外，也可以用另一種方法證明：首先由(1)中結(jié)論可知所以，因此，4.14 設(shè)有隨機(jī)過程其中，(k=1,2,n)是給定的實(shí)數(shù)，Ak、Bk（k=1,2,n）是實(shí)隨機(jī)變量，各Ak、Bk間彼此相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立， (k=1,2, n)。求它的相關(guān)函數(shù)。解：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義得因?yàn)锳k與Bk間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，并且。所以， ，于是由此可見，該過程是寬平穩(wěn)過程。4.15 設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過程，且是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；又設(shè)有隨機(jī)過程,求解：由于和是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以可以設(shè)、的均值分別為和，相關(guān)函數(shù)分別為和。于是因?yàn)楹拖嗷ソy(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以同理可得4.16設(shè)，為實(shí)隨機(jī)過程，。