1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點(diǎn)之間,線段最短, ,()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè),已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。,P,連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。,思考？ 為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.,如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？,P,所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短,應(yīng)用,問題1 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久 負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪

2、海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然 后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？,探索新知,追問1 這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線,探索新知,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問2 你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,探索新知,追問2 你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽

3、象為數(shù)學(xué)問題嗎？,（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）,追問1 對(duì)于問題2，如何 將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B 處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn) C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度 相等？,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。?追問2 你能利用軸對(duì)稱的 有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條 件的點(diǎn)B嗎？,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

4、當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？,作法： （1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱 點(diǎn)B； （2）連接AB，與直線l 相交 于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？,探索新知,問題3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不 重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC

5、+BC 即 AC +BC 最短,探索新知,問題3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn) C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離 和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小,探索新知,追問1 證明AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上 任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），證明AC +BC AC +BC？這里的“C”的作用是什么？,探索新知,追問2 回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？,問題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短,練習(xí),請(qǐng)你自己動(dòng)手 試一試！,()一點(diǎn)

6、在兩直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,B,C,D,E,分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小,()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求,3.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果

7、，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)C關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N， 則CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,G,H,4. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,A/,B/,P,Q,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接 點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱，點(diǎn)G.M在OA上，GF=GC,FM=CM, 同理HD=H