1、 陳氏優(yōu)學(xué)教學(xué)課題 橢圓 知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.講練結(jié)合一.橢圓的定義1若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是 知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時

2、，橢圓的焦點坐標(biāo)為，。講練結(jié)合二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1橢圓的焦距為，則= 。2橢圓的一個焦點是，那么 。知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b。（3）頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為A1（a，0），A2（a，0

3、），B1（0，b），B2（0，b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因為ac0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性

4、質(zhì)焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，軸長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同。題型一 橢圓焦點三角形面積公式的應(yīng)用定理 y F1 O F2 xPP在橢圓（0）中，焦點分別為、，點P是橢圓上任意一點，則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.典題妙解例1 若P是橢圓上的一點，、是其焦點，且，求的面積.解法一：在橢圓中，而記點P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，由余弦定理得：配方，得：

5、從而解法二：在橢圓中，而解法一復(fù)雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！例2 已知P是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）A. B. C. D. 解：設(shè)，則，故選答案A.練習(xí)6已知橢圓的中心在原點，、為左右焦點，P為橢圓上一點，且， 的面積是，準(zhǔn)線方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案6解：設(shè)，.，.又，即.或.當(dāng)時，這時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)時，這時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；但是，此時點P為橢圓短軸的端點時，為最大，不合題意.故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 題型二 中點弦問題 點差法中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線方

6、程？例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進(jìn)一步的研究。 解：法一 法二 點差法1.過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題

7、的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)

8、2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一. 題型三 弦長公式與焦半徑公式1、 一

9、般弦長公式 弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，（若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則），若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。2、焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。 已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍 6. 解：設(shè)P，橢圓的準(zhǔn)線

10、方程為，不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點、上焦點 則 ， 當(dāng)時， 當(dāng) 因此，的取值范圍是 例2. 時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求F1PF290時，P點的橫坐標(biāo)。 解：法一 法二 題型四 參數(shù)方程3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（ab0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說明： 對上述方程（1）消參即 由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。 直線與橢圓位置關(guān)系： 求橢圓上動點P（x，y）到直

11、線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作ll且l與橢圓相切）例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 1橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是 。2設(shè)，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若，求的面積五離心率的有關(guān)問題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、

12、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 講練結(jié)合六.最值問題1.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|PF2|的最大值為_，最小值為_2、橢圓兩焦點為F1、F2，A(3，1)點P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值 最小值 。4.設(shè)F是橢圓=1的右焦點,定點A(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小,求P點坐標(biāo) 最小值 .知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)

13、焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，軸長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同。1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a、b，一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個

14、量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2。可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點在x軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在

15、y軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓（ab0）共焦點的橢圓方程可設(shè)為（kb2）。此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；若把曲線方程中的y換成y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；若把曲線方程中的x、y同時換成x、y，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何解決與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？ 與焦點三角形有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為c2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當(dāng)越小時，橢圓越扁，e越大；當(dāng)越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。課后作業(yè)1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓