1、講座5里曼積分(正常積分)4.1積分第一，明確積分的背景：曲線梯形面積的代數(shù)和計算。二、明確積分的概念和定義(a)明確積分的概念首先用小矩形的代數(shù)面積大致替換小曲線邊的代數(shù)面積，然后用小矩形的代數(shù)面積之和大致替換小曲線邊的梯形代數(shù)面積之和(曲線邊的梯形代數(shù)面積)，第三，用小矩形的代數(shù)面積之和精確地替換小曲線邊的梯形代數(shù)面積之和(曲線邊的代數(shù)面積)，我們使用直線邊的面積公式(b)明確積分的定義定義():函數(shù)定義將閉合部分分割為單元的閉合部分，(分割的精度)，如果有限制，則將限制稱為閉合部分上函數(shù)的有限積分(黎曼積分)。定義():函數(shù)定義將閉合部分分割為單元的閉合部分，(分割的精度)，如果有限制，

2、則將限制稱為閉合部分上函數(shù)的有限積分(黎曼積分)。定義(微元素方法的定義):函數(shù)在閉合部分定義，在任意點的積分下限到積分上限的方向上遞增。絕對值使用表示有多小的代數(shù)區(qū)域、小曲線邊梯形的代數(shù)區(qū)域(區(qū)域前面的加號或減號)，以符號形式表示封閉區(qū)域中累計小曲線邊梯形的代數(shù)區(qū)域的曲線梯形的代數(shù)區(qū)域。如果存在值，則函數(shù)在閉合部分稱為積分(黎曼積分)。從以上兩個定義中可以看出(1)；(2)；(3)。按照定義，表示實數(shù)(軸上的區(qū)域)的上點處的方向(從積分下限到積分上限)，表示絕對值有多小和多小。當時；被包圍的彎曲梯形的面積(或)或面積的一半(或)；如果函數(shù)在閉合區(qū)間連續(xù)或有限的離散點，則存在極限。也就是說，函

3、數(shù)只能在閉合部分乘上黎曼。函數(shù)在封閉區(qū)間上限定的話，極限不一定存在。也就是說，函數(shù)在閉合區(qū)間不一定只有李克萊函數(shù)這樣的李可積分。三、計算：(1)一般計算方法牛頓-萊布尼茨公式方法，在這里?；蛘?，這里，這個表達式說明了函數(shù)的所有原始函數(shù)稱為函數(shù)的無限積分，并以符號表示函數(shù)的無限積分的原因。逐步積分法。交換積分法第一交換積分法，在這里，第二交換積分法.(2)對稱計算方法：函數(shù)在對稱閉合間隔處為奇函數(shù)()時；函數(shù)在對稱閉合間隔處是雙函數(shù)()。四、明確積分計算的實例和實踐例1(上海大學(xué)2004)給出了封閉區(qū)間上邊界函數(shù)的黎曼可積定義。舉例證明，限制在封閉區(qū)間，但不能堆積的例子。在定義：閉合區(qū)間上設(shè)置的

4、邊界函數(shù)，證明只能乘以：的乘積，例如，有。其中是封閉部分隨機分割的常數(shù)，封閉區(qū)間上限定但不能積累的例子。存在，對，那時，有，其中的有理數(shù)。所以僅限于封閉區(qū)間，但不能堆積。例2(蘭州大學(xué)2005)。解決方案：首先判斷積分異常。上面有間斷點，所以積分是理想積分。.例3(華東師范大學(xué)2006)。因為解決方案：有間歇點所以積分是黎曼積分(正常積分)。因為，然后例4(南京工業(yè)大學(xué)2006)。因為解決方案：有間歇點所以積分是黎曼積分(正常積分)。因此，所以而且，然后.例5(陜西師范大學(xué)2003)。因為解決方案：是奇數(shù)函數(shù)。也因為這個緣故，所以。例6(山東科技大學(xué)2005)計算。解決方案：而且，因為，而且，

5、而且，所以。例7(上海大學(xué)2005年)尋找頂峰。解決方案：因奇數(shù)函數(shù)、偶數(shù)函數(shù)而尋找示例8(北京交通大學(xué)2003)。解決方案：.例9(北京交通大學(xué)2004)。解決方案：命令.例10(南京工業(yè)大學(xué)2004)。解決方案：因為，所以，還有。(1)那時，是.(2)那時，是嗎練習(xí)：1(中國科學(xué)院武漢物理數(shù)學(xué)研究所2004)計算。(提示：是功率減少公式，回答：)2(中山大學(xué)2007)計算。(提示：根據(jù)分數(shù)下限用變量代替。回答：)3(湖南師范大學(xué)2005)計算。(刀尖：基于積分下限用變量代替?；卮穑?4(南京工業(yè)大學(xué)2006)追求。(替換變量。回答：)5(無限工科大學(xué)2004)計算，正整數(shù)。(提示：回答：)

6、6(山東師范大學(xué)2005)追求(回答：)7(上海理工大學(xué)2005)頂點計算(回答：)。8(上海理工大學(xué)2003)設(shè)置計算靜態(tài)分的函數(shù)。(提示：代替變量。回答：)9(遼寧大學(xué)2004)的原函數(shù)之一是計算明確積分。(提示：是變量替代。回答：)10(遼寧大學(xué)2005)成立，計算頂點(提示：是分部積分法)?；卮穑?11(山東科技大學(xué)2006)成立，(對變量的替代)。12(上海理工大學(xué)2004)有二次連續(xù)微分(刀尖：是部分積分法)?；卮穑?。五、明確積分的應(yīng)用1，如果函數(shù)在閉合部分連續(xù)繞軸旋轉(zhuǎn)函數(shù)的圖形，則得到的旋轉(zhuǎn)體體積為.2，如果函數(shù)在閉合部分連續(xù)繞軸旋轉(zhuǎn)函數(shù)的圖形，則得到的旋轉(zhuǎn)體體積為.3，如果函

7、數(shù)在閉合部分連續(xù)，則函數(shù)包圍的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體體積為：4、旋轉(zhuǎn)體的表面積計算如果函數(shù)在上面連續(xù)，則圍繞軸旋轉(zhuǎn)函數(shù)圖形一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為：如下所示，當：從封閉區(qū)間獲取一個點，在該方向上增量該點可以是多么小和小的正數(shù)，當該點創(chuàng)建的平行平面與旋轉(zhuǎn)體邊界相交一個圓時，該圓的周長可以通過微元素方法知道，旋轉(zhuǎn)體的表面積是。練習(xí)：計算由1(復(fù)旦大學(xué)2001)拋物線和軸圍成的平面區(qū)域的面積。(回答：)2(中山大學(xué)2005)嘗試確定參數(shù)，以最小化曲線和點的法線方程、軸包圍的區(qū)域的面積。(回答：最小面積為)3(中山大學(xué)2007)平面中，平滑曲線通過點，在曲線的任意點，切線斜率和直線斜率的差

8、值是常數(shù)。(1)求曲線的方程；(2)由曲線和直線圍成的平面地物的面積為時確定的值(回答：曲線的方程式，)4 (2004年山東科技大學(xué))求擺線，圍繞橫軸旋轉(zhuǎn)的拱形體積。(回答：)。尋找從5 (2004年山東科技大學(xué))點到點的對數(shù)螺旋線的弧長。(回答：)6(汕頭大學(xué)2003)求明星線的總長。(回答：)7(湖南師范大學(xué)2005)求曲線的弧長。(回答：)8(南京臺2003)創(chuàng)建拋物線切線：(1)相切方程式；(2)拋物線、切線和軸包圍的平面形狀面積；(3)此圖形圍繞軸旋轉(zhuǎn)體積，每個繞軸旋轉(zhuǎn)一周。(回答：切線方程：面積：卷)。9(河北大學(xué)2006)表示，兩條拋物線及其相交坐標的絕對值。(1)求出這兩條拋物

9、線包圍的平面形狀的面積。尋找(2)系列的和。(回答：平面圖的面積；)。10 (2005年北京航空航天大學(xué))讓直線和拋物線周圍的圖形求出圍繞直線旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。(回答：)。11 (2005年浙江師范大學(xué))尋找拋物線和直線包圍的繪圖區(qū)域(回答：)。12 (2005年浙江師范大學(xué))拋物線圍成的圖形面積。(回答：)。13(重慶大學(xué)2003)求圓柱和包圍的立方體的體積。(回答：)14(中國科學(xué)院2006)尋找恒星線圍繞直線旋轉(zhuǎn)的表面的表面積。(回答：)。15(東南大學(xué)2005)將懸掛鏈方程分別列為上弧長度和曲線梯形的面積。這種曲線梯形是通過繞軸旋轉(zhuǎn)一圈而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積、側(cè)面積和截面面積寫如下來證

10、明的。(1)、(2)；(3)。4.2二重積分第一，二重積分產(chǎn)生的背景：歌塔體積對數(shù)總和。二、二重積分的概念和定義(a)二重積分的概念首先，用小盒的代數(shù)體積大致代替小盒的代數(shù)體積，然后用小盒的代數(shù)體積之和大致代替小盒的代數(shù)體積之和(曲線頂柱的代數(shù)體積)，第三，通過精確地代替小盒的代數(shù)體積之和和和和小頂柱的代數(shù)體積(曲線頂柱的代數(shù)體積)，我們可以(b)二重積分的定義定義函數(shù)在封閉區(qū)域中定義，分割將封閉區(qū)域分割為較小的區(qū)域，如果存在此區(qū)域，則限制稱為封閉區(qū)域中函數(shù)的二重積分(黎曼積分).根據(jù)定義，該區(qū)域(面的區(qū)域)的中點和正軸向增量(此變量更精確)是多么小、多么小的正數(shù)(不能為負值)。頂?shù)巾?，底到區(qū)

11、域頂柱的體積()或體積的倒數(shù)()；如果功能封閉的區(qū)域有連續(xù)或有限的不連續(xù)曲線，則存在限制。在積分部位方面表示長、寬分別是小的微元素。定義(微元素方法的定義):函數(shù)在閉合區(qū)域中具有定義，在閉合區(qū)域中取任意點，在每個軸的正方向上給定增量向量，指示有多小，表示頂部柱的代數(shù)體積(體積前面的加號或減號)的符號，或表示在閉合區(qū)域中累計小曲線頂部柱的代數(shù)體積的曲線頂部柱的代數(shù)體積的符號(無限實數(shù)的和)三、二重積分計算：1，在正交坐標系中計算(1)矩形區(qū)域：.計算矩形積分區(qū)域二重積分的方法有兩種，因為：對矩形區(qū)域內(nèi)的每個點將點擬合到整個矩形區(qū)域，點不重復(fù)。 (1)首先，有沿軸移動點的科學(xué)有效的方法，即值的范圍

12、為，這是與軸平行的恒定長度的段(與的值無關(guān))，然后沿軸移動點的方法。起點為。也就是說，的范圍是，此時點擬合矩形區(qū)域，得到矩形區(qū)域的積分。(2)首先沿軸移動點。起點為，終點為。也就是說，的范圍是，它是與軸平行的恒定長度的段(與的值無關(guān))。然后使點沿軸移動。起點為，終點為。也就是說，的范圍是。此時，點擬合矩形區(qū)域，得到矩形區(qū)域的積分。(2)類型：.在：對中的每個點上，將點擬合到整個類型區(qū)域，因此，在一般類型積分區(qū)域中，有計算二重積分的方法的原因是，首先讓點沿軸移動，起點為，終點為。也就是說，值的范圍為，這是平行于軸的非恒定長線段(與和的值相關(guān))。然后使點沿軸移動，起點為，終點為。也就是說，值的范圍

13、為。點擬合在矩形區(qū)域，成為矩形區(qū)域的積分。對于類型區(qū)域中的每個點，如果要使點首先沿軸移動，則起點為，終點為。也就是說，的范圍為，這是平行于軸的恒定長度的段(與的值無關(guān))。然后，使點沿軸移動將首先乘以常規(guī)類型區(qū)域，因為無論起點和終點如何確定，復(fù)蓋到點的區(qū)域都不能在類型區(qū)域內(nèi)或超出范圍。(3)類型：為什么要先堆類型的領(lǐng)域，請向?qū)W生說明。2，在極坐標系中計算(1)。.而且，而且，其中，沿軸正向的角度為。(2)、是參數(shù)。而且，而且，即可從workspace頁面中移除物件。: 雖然不能減少積分變量(一般情況)，但通過極軸變換計算二重積分，該變換可以改變積分函數(shù)的形式，將積分函數(shù)轉(zhuǎn)換為容易積分的積分函數(shù)。

14、積分函數(shù)通常包含項目。通過極坐標變換計算二重積分。這里雅克比行列式的絕對值。3、對稱計算方法：(1)如果積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱的，則函數(shù)，如果積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱的，則函數(shù)，其中面積是。(2)如果積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱的，則函數(shù)；積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱的時函數(shù)，其中面積是。四、二重積分計算的實例和實踐例1(遼寧大學(xué)2005年)。解決方案：例2(山東師范大學(xué)2006年)計算了連續(xù)分數(shù)。解決方案：.例3(中國科學(xué)院2007年)是上面定義的二進制函數(shù)，在點上微乎其微。解決方案：例4(上海理工大學(xué)2003)被設(shè)置為連續(xù)函數(shù)，證明了：證明：所以。例5(華中科技大學(xué)2005)被證明具有連續(xù)二次微分。證明：可用逐

15、步積分法得到。根據(jù)點改變順序所以。例6(北京師范大學(xué)2006年)追求。其中是由軸、直線和曲線包圍的平面區(qū)域。解決方案：.例7(西安電子科技大學(xué)2005年)。解決方案：例7(大連理工大學(xué)2004)計算了直線和拋物線圍成的面積。解決方案：.實例8(無限工科大學(xué)2004)計算。其中是橢圓區(qū)域。變量大體上解：Jacobi決定因素是。.例9(華東師范大學(xué)2003)知道。通常情況下，如果解決：.例10(汕頭大學(xué)2004)計算了分數(shù)。因為解決方案3360，所以執(zhí)行變量替代。練習(xí)1(南京航空航天大學(xué)2003)以曲線環(huán)繞平面區(qū)域。其中(回答：)2(2004年北京師范大學(xué))。(回答：變量替代：)。3(電子科技大學(xué)2004)計算。其中是常數(shù)，常數(shù)(回答：提示