1、高等數(shù)學(上) 總復習,第一部分 復習的重點及題型分析,第二部分 高等數(shù)學(上)方法綜述,第一部分 復習的重點及題型分析,復習重點,三個基本計算 極限 , 導數(shù) , 積分,兩個基本應用 導數(shù)應用 , 積分應用,一個基本理論 有關中值的定理及應用,一. 三個基本計算 (約 70 % ),1. 極限的計算 (約 24 % ),主要題型,(1) 利用基本方法求極限,函數(shù)的連續(xù)性 ;,四則運算法則 ;,極限存在準則 ;,兩個重要極限 ;,等價無窮小替換 ;,洛必塔法則 .,(2) 利用特殊方法求極限,導數(shù)定義 ;,定積分定義 ;,微分中值定理 ;,變限積分求導 ;,討論左右極限 .,(3) 無窮小量的

2、比較,例題分析,例1. 計算,解:,解: 利用等價關系,例2. 設 f (x) 處處連續(xù), 且 f (2)=3, 計算,解:,化為指數(shù)形式 , 利用,例3. 計算,解:,例4. 計算,例5. 計算,解: 令,例6. 計算,解 : 令,例7. 計算,解:,利用等價無窮小,例8. 計算,解:,例9. 求,解: 令,則,原式 =,洛,例10. 計算,解:,直接用洛必塔法則不方便,利用等價無窮小,例11. 計算,解: 利用微分中值定理,例12. 計算,解:,洛,這是積分變量,例13. 求,原式 =,洛,利用等價無窮小,解:,例14. 已知,解:,對所給等式左邊用洛必塔法則, 得,再利用,可知,求 a,

3、 b .,2. 導數(shù)和微分的計算 (約 18%),主要題型,(1) 計算復合函數(shù)的導數(shù)和微分 ;,(2) 計算隱函數(shù)的導數(shù)和微分 ;,(3) 參數(shù)方程求一階、二階導數(shù) ;,(4) 用導數(shù)定義求特殊點的導數(shù)值 ;,(5) 計算 n 階導數(shù) .,(包括對數(shù)微分法),例題分析,例1. 已知,解法1.,等式兩邊對 x 求導, 得,故,解法2. 等式兩邊取對數(shù), 得,兩邊對 x 求導, 得,故,例2. 已知,解：,兩邊取對數(shù)，得,兩邊對 x 求導,例3. 證明下述函數(shù)在 x = 0 連續(xù)且可導,證: 因為,又,在 x = 0 連續(xù)且可導.,思考: 若函數(shù)改為,是否有同樣的,結論?,例4. 已知,解:,

4、求,例5. 設,解:,例6. 設,解:,例7. 設,求,解:,例8. 求,解:,方法1 .,利用歸納法可證,方法2 . 利用萊布尼茲求導公式,的 n 階導數(shù).,例9. 設,求,解:,3. 不定積分與定積分的計算 (約 28%),主要題型,(1) 利用基本積分方法計算不定積分 ;,(2) 利用基本積分方法及公式計算定積分 ;,(3) 利用簡化技巧計算積分 ;,(4) 廣義積分的計算及收斂性判別 .,例題分析,例1. 求,解:,令,令,例2. 求,解:,例3. 求,解:,原式 =,例4. 求,解:,例5. 討論積分,解:,的斂散性.,可見原積分發(fā)散.,例6. 求,解:,例7. 已知,解: 對所給等

5、式兩邊求導, 得,求,利用“偶倍奇零”,得,例8. 設, 求,(P270 題13),解: 令,則,例9. 已知,解: 由已知條件得,求,例10. 求,解:,利用 P248 例6(2), 即,例11. 利用遞推公式計算下列廣義積分,解:,(P260 題3),二. 兩個基本應用 (約 24 % ),1. 導數(shù)的應用 (約 16 % ),主要題型,(1) 導數(shù)的幾何應用,(2) 利用導數(shù)研究函數(shù)形態(tài),(3) 求解最值問題,(4) 利用導數(shù)證明恒等式,(5) 利用單調性證明不等式,例1. 設函數(shù),在定義域內可導,的圖形如右圖所示,則導函數(shù),的圖形為 . (2001考研),提示:,在某區(qū)間I 內可導,則

6、在I 內,是,的極值點,例題分析,例2. 證明,在,上單調增加.,證:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故當 x 0 時,從而,在,上單調增.,得,例3. 證明當 x 0 時,證法1: 設,則,故,證法2:當 x 0 時,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,例4.,證明:,證:,即,例5. 證明當,證: 歸結為證,即,在(0,1)上不好判別正負號,提示: 證明 f (0) 是 f (x) 在( , 1) 上的最大值.,說明: 若改為證明當 x 1 時,如何證明?,例5.,設,證: 設,且,比較 , 可知,故不等式成立 .,有兩個根 ;,例6. 討論方程,有幾個實根.,解

7、: 設,令,得,(最大值),注意,因此,當,時,當,時,只有一個根；,當,時,無實根 .,(P153 題6),例7. 求雙曲線,的曲率半徑 R, 并分析何處 R 最小?,解:,則,利用,例8. 求內接于半徑為R 的球內的正圓錐體的最大體積.,解: 設錐體的底半徑為 r, 高為 h , 如圖,因 ADB BDE, 所以,圓錐體體積,為極大值點,在 (0, 2R) 內只有唯一駐點, 且為極大值點,故為最大,值點, 最大值為,2. 定積分的應用 (約 8% ),(1) 利用定積分計算面積,直角坐標方程 參數(shù)方程 極坐標方程,(2) 利用定積分計算弧長及旋轉體體積,(3) 定積分的物理應用,(4) 有

8、關定積分的證明題,主要題型,例題分析,例1. 求曲線,解:,設切點為,則切線方程為,令,得,與其通過原點的切線及 y 軸所圍圖形,的面積.,故所求面積為,例2. 求曲線,解:,列表 :,繞 x 軸旋轉所得,旋轉體的體積.,例3. 求拋物線,解:,與直線,所圍的圖形繞 y 軸,旋轉一周所得旋轉體體積.,（此題也可用柱殼法）,（一般法）,例4. 求由圓,解: 圓的方程為,圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉,一周形成的旋轉體體積.,利用“偶倍奇零”,（這是柱殼法）,例5. 證明,提示: 令, 得 x = 1, 0,判別 x = 1 為 f (x) 在,上的唯一極大點 , 故,則,時,例6. 求拋物線,在(

9、0,1) 內的一條切線, 使它與,兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解: 設拋物線上切點為,則該點處的切線方程為,它與 x , y 軸的交點分別為,所求面積,且為最小點 .,故所求切線為,得 0 , 1 上的唯一駐點,三. 一個基本理論 有關中值的問題 (約 5% ),主要題型,(1) 討論函數(shù)的零點問題或方程根的問題,存在性,唯一性, 常用介值定理 ; 羅爾定理, 利用單調性 ; 反證法,(2) 利用微分和積分中值定理證明等式或不等式,例1. 敘述拉格朗日中值定理并證明之.,提示:,利用逆向思維設出滿足羅爾定理的輔助函數(shù) .,例題分析,例2. 設常數(shù),至少有一正根 , 且不超過,證: 設, 則,均為正值,證明方程,若,則,為一正根 , 且符合題意.,若,則,由根的存在定理知 , 又,至少存在一個,使, 即所給方程至少有一個不超過,的正根 .,證明方程,例3. 已知,證: 先證存在性.,使,再證唯一性.,在 0, 1 上有唯一的根.,則,因此,即,假設方程還有一根,則,無妨設x 0 0 時, F (x) 可導, 故連續(xù),問 a 取何值時 F (x) 連續(xù)?,顯然連續(xù),2. 注意綜合試題,(1) 極限與其它知識點的結合,(2) 求導與積分方法的結合