1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法,高二數(shù)學(xué)組 林占生,課前篇檢查與展示,問題 1:,問題2：某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。,問題情境一,.,我是白的哦！,：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,歸納法,思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？,優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時是不正確的,思考1：與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？,思考2：如果一個數(shù)學(xué)

2、命題與正整數(shù)n有關(guān),我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？,對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：,（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1) 時命題成立; （2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時命題成立 證明當(dāng)n=k+1時命題也成立. 最后由（1）（2）得出結(jié)論全體自然數(shù)成立,數(shù)學(xué)歸納法,【命題成立的連續(xù)性】,【命題成立的必要性】,這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法,1+3+5+(2n1)=n2 (nN*),證明：,例1：觀察,歸納猜想：,你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。,n,n,（1）當(dāng)n=1時，左邊=1,右邊=12=1

3、，,等式成立.,（2）假設(shè)n=k時等式成立，,即1+3+5+(2k1)=k2 ,則n=k+1時， 1+3+5+2(k+1)1,= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1,= k2+2k+1,=(k+1)2.,即n=k+1時等式也成立.,根據(jù)（1）,（2）知等式對一切nN*都成立.,135（2n1）,用數(shù)學(xué)歸納法證明,n2,即當(dāng)n=k+1時等式也成立。,根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何 都成立。,證明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么當(dāng)n=k+1時,（2）假設(shè)當(dāng)nk時，等式成立，即,（1）當(dāng)n=1時，左邊1，右邊1，等式成立。,（假設(shè)）,（利用假設(shè)）,注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)

4、要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉。,（湊結(jié)論）,數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：,歸納奠基,歸納遞推,注：兩個步驟,一個結(jié)論,缺一不可,證明：（1）當(dāng)n=1時，,等式是成立的,（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是,那么,這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立,由（1）和（2），可知等式對任何 都成立,試用數(shù)學(xué)歸納法證明,因此數(shù)學(xué)歸納法是一種科學(xué)的遞推方法 (1)是遞推的基礎(chǔ) (2)是遞推的依據(jù),注意 ：,1、用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時,要分兩個步驟,兩步同樣重要，兩步驟缺一不可.,2、第二步證明，由假設(shè)nk時命題成立，到n=k+1時必須用假設(shè)條件，否則不是數(shù)學(xué)歸納法。,3、最后一定要寫“由（1）（2）”,例3：

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 122334n(n1) ,從n=k到n=k+1有什么變化,利用假設(shè),湊結(jié)論,證明:,2)假設(shè)n=k時命題成立,即 122334k(k+1),=, n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。,1)當(dāng)n=1時，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立,練習(xí)2 用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明： （1）當(dāng)n=1時，左邊121，右邊 等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，就是,那么,這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。,思考1：試問等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請問該同學(xué)得到

6、的結(jié)論正確嗎？,解:設(shè)nk時成立，即,這就是說，nk+1時也成立,2+4+6+2kk2+k+1,則當(dāng)n=k+1時 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對任何nN*都成立,事實上，當(dāng)n1時，左邊2，右邊3 左邊右邊，等式不成立,該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何nN*都成立，為時尚早,證明：當(dāng)n=1時，左邊,右邊,假設(shè)n=k時，等式成立，,那么n=k+1時,等式成立,這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立,根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立,即,第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。,1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個步驟一個