1、第 五 章 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué),一、,二、,齊次變換形式：,4X1的列矢量表示三維空間的點(diǎn)，稱為點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，仍然記為：,描述B系相對(duì)于A系的方位， 為B系相對(duì)于A系的平移矢量。,坐標(biāo)原點(diǎn)的矢量，即零矢量表示為0,0,0,1T。矢量0,0,0,0T沒有定義。具有形如a,b,c,0T的矢量表示無限遠(yuǎn)矢量，用來表示方向，即1,0,0,0T，0,1,0,0T，0,0,1,0T分別表示x，y，z軸的方向。,例：已知點(diǎn)u=7i+3j+2k，對(duì)它進(jìn)行繞z軸旋轉(zhuǎn)90的齊次變換為：,三、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的表示,同理，若A3表示第三個(gè)連桿相對(duì)于第二個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，則有：,1、 可以把任何機(jī)器人的機(jī)械手看

2、做是一系列由關(guān)節(jié)連接起來的連桿構(gòu)成。機(jī)械手每一個(gè)連桿建立一個(gè)坐標(biāo)系，并用齊次變換來描述這些坐標(biāo)間的相對(duì)位置和姿態(tài)。通常把描述一個(gè)連桿與下一個(gè)連桿間相對(duì)關(guān)系的齊次變換叫做A矩陣。一個(gè)A矩陣就是一個(gè)描述連桿坐標(biāo)系間相對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。如果A1表示第一個(gè)連桿對(duì)于基系的位置和姿態(tài)，A2表示第二個(gè)連桿相對(duì)于第一個(gè)連桿的位置和姿態(tài)，那么第二個(gè)連桿在基系中的位置和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積給出：,六連桿機(jī)械手有下列矩陣：,T2=A1A2,T3=A1A2A3,T6=A1A2A3A4A5A6,2、機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方向,六連桿機(jī)械手的T矩陣（T6）可由其16個(gè)元素的數(shù)值來確定，其中只有12個(gè)元素具有實(shí)際含義。,機(jī)器

3、人的運(yùn)動(dòng)方程，又稱位姿方程，都是用位姿矩陣表示機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程，即以各桿之間的關(guān)節(jié)變量為變量的方程式，這可分成兩類問題求解。,Si,3、機(jī)械手運(yùn)動(dòng)方程的求解,1）求解運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，從T6開始求解關(guān)節(jié)位置。使T6的符號(hào)表達(dá)式的各元素等于其一般形式，并據(jù)此確定1，其他五個(gè)關(guān)節(jié)參數(shù)不可能從T6求的，因此可從其他T矩陣來求解它們。一旦求的1之后，可由A1-1 左乘T6的一般形式，得：,式中左邊為1和T6各元的函數(shù)，此式可用來求解其他各關(guān)節(jié)變量，如2。不斷的用A的逆矩陣左乘，可得另外四個(gè)矩陣方程式：,求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即求的機(jī)械手各關(guān)節(jié)坐標(biāo)，這對(duì)機(jī)械手的控制至關(guān)重要。根據(jù)T6知道機(jī)械手要移動(dòng)到什么地方，知道

4、各關(guān)節(jié)坐標(biāo)，一邊進(jìn)一步確定如何移動(dòng)。,2）繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變換解,令：,其中，f11=cx+sy，f12=-sx+cy，f13=z, 而x,y和z為f11, f12和f13的各相應(yīng)分量，例如： f11(p)=cpx+spy f12(a)=-sax+cay,令f12(n)與右式對(duì)應(yīng)元素相等，可得：,四、,經(jīng)驗(yàn)算：,（3-66）,（3-67）,（3-68）,（3-70）,（3-72）,（3-74）,（3-75）,（3-80）,（3-83）,（3-84）,在對(duì)機(jī)器人進(jìn)行操作與控制時(shí)，常常涉及到機(jī)械手位置和姿態(tài)的微小變化。這些變化可由描述機(jī)械手位置的齊次變換矩陣的微小變化來表示。在數(shù)學(xué)上，這種微小變化可用

5、微分變化來表達(dá)。機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中的微分關(guān)系是很重要的。 例如，當(dāng)用攝像機(jī)來觀察機(jī)械手的末端執(zhí)行裝置時(shí)，我們需要把對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)系的微分變化變換為對(duì)于另一坐標(biāo)系的微分變化。比如說，把攝像機(jī)的坐標(biāo)系建立在T6上。應(yīng)用微分關(guān)系對(duì)于研究機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問題，也是十分重要的。,機(jī)器人的雅可比公式,機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng) 已知一個(gè)變換，其元素為某個(gè)變量的函數(shù)，那么對(duì)這個(gè)變量的微分變換就是這樣的變換，其元素為原變換元素的導(dǎo)數(shù)。研究出一種方法，使得對(duì)坐標(biāo)系T的微分變換等價(jià)于對(duì)基系的變換。 既可以用給定的坐標(biāo)系也可以用基坐標(biāo)系來表示微分平移和旋轉(zhuǎn).,（3-85）,（3-86）,（3-87）,（3-88）,（3-89）,（

6、3-90）,（3-91）,（3-92）,（3-93）,（3-94）,（3-95）,（3-96）,（3-97）,（3-98）,（3-99）,（3-100）,（3-101）,（3-102）,設(shè)有兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B，B相對(duì)于A而定義，微分運(yùn)動(dòng)變換圖為：,5CAM,5A6,因此：,n o a p,微分坐標(biāo)變換矩陣T可以從圖中直接求出：即從已知的微分變化變換的箭頭起，回溯到待求的等價(jià)微分變化止所經(jīng)過的路徑。,（3-106）,（3-107）,（3-108）,（3-109）,（3-110）,（3-111）,（3-112）,（3-113）,（3-114）,（3-115）,（3-116）,（3-117）,（3-118）,（3-119）,（3-120）,（3-121）,（3-122）,機(jī)器人雅可比矩陣計(jì)算實(shí)例,下面舉例說明計(jì)算具體機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)和雅可比矩陣的方法。先建立西博特奇（Cybotech）V-80 機(jī)器人的雅可比矩陣，再計(jì)算PUMA560機(jī)器人的雅可比矩陣。,1、V-80機(jī)器人的雅可比矩陣 如圖表示法國西博特奇公司生產(chǎn)的V-80工業(yè)機(jī)器人的外形略圖及其停止位置。圖（b）中，停止位置是這樣選擇的，使得懸臂與基系坐標(biāo)x軸平行，而機(jī)械手的夾手垂直向上。V-80的連桿和關(guān)節(jié)參數(shù)表示于表，其6個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)都是轉(zhuǎn)動(dòng)的。,V-80 機(jī)械手連桿與關(guān)節(jié)參數(shù),在建立V-8