1、第一與第二可數(shù)性公理,可分空間,Lindelff空間,5.1 第一與第二可數(shù)性公理,可 數(shù) 基,可數(shù)鄰域基,拓?fù)淇臻g在某一點處的一個鄰域基是一個可數(shù)族，則稱它是可數(shù)鄰域基.,拓?fù)淇臻g的一個基, 如果是一個可數(shù)族,則稱這個基是一個可數(shù)基.,定義5.1.1 一個拓?fù)淇臻g如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，或簡稱為A2空間,定義5.1.2 一個拓?fù)淇臻g如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為A1空間,不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子,設(shè)X是包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補(bǔ)空間,則X在它的任何一點處都沒有可數(shù)鄰域基,定理5.1.

2、3 每一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理反之不成立.,定理5.1.4 設(shè) X 和Y是兩個拓?fù)淇臻g， 是一個滿的連續(xù)開映射.如果X滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理)，則Y也滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理),繼續(xù),可遺傳性質(zhì),如果一個拓?fù)淇臻g具有這個 性質(zhì)那么它的任何一個子空間也 都具有這個性質(zhì),對開閉子空間可遺傳性質(zhì),例: 局部連通空間的任何一個開集作為子空間都是一個局部連通空間,證明：設(shè)X是一個局部連通空間，U是X的一個開集，則對任意xU和x在子空間U中的任意一個鄰域V，V也是x在X中的一個鄰域,由于X是一個局部連通空間， 從而 x有一個連通的鄰域W, 使得 , 從

3、而U是一個局部連通空間.,定理5.1.5 滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理)的空間的任何一個子空間是滿足第二可數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理)的空間,推論5.1.7 n維歐氏空間 Rn的每一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理,作業(yè):2,6,5.2 可分空間,定義5.2.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g， 如果 ，則稱D是X的一個稠密子集,定理5.2.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，D是X中的一個稠密子集.又設(shè) 都是連續(xù)映射,如果 , 則f = g.,f(x),g(x),x,(,),),(,V1,V2,f,g,f -1(V1),g -1(V2),U,X,定義5.2.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果X中有一個可數(shù)稠密子集，

4、則稱X是一個可分空間,定理5.2.2 每一個滿足第二 可數(shù)性公理的空間都是可分空間.,繼續(xù),推論5.2.3 滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個子空間都是可分的.,定理5.3.2逆不成立 可分性出不具有可遺傳性 (見例5.2.1),繼續(xù),定理5.2.4 每一個可分的度 量空間都滿足第二可數(shù)性公理.,推論5.2.5 可分度量空間的每一個子空間都是可分空間.,作業(yè)：4,5.3 Lindelff 空間,定義5.3.1 設(shè)A 是一個集族，B是一個集合如果 , 則稱集族是集合B的一個覆蓋，并且當(dāng)A是可數(shù)族或有限族時，分別稱集族是集合B的個可數(shù)覆蓋或有限覆蓋,設(shè)集族 A 是集合B的一個覆蓋如果集族 A 的一個

5、子族A1也是集合B的覆蓋，則稱集族 A1 是覆蓋A (關(guān)于集合B)的一個子覆蓋.,設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果由X中開(閉)子集構(gòu)成的集族 A 是X的子集B的一個覆蓋，則稱集族 A 是集合B的一個開(閉)覆蓋,定義5.3.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果 X 的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個Lindelff空間,定理5.3.1 任何一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都是 Lindelff空間,繼續(xù),推論5.3.2 滿足第二可數(shù)性 公理的空間的每一個子空間都是Lindelff空間 特別，n歐氏空間Rn的每 一個子空間都是Lindelff空間 定理5.3.1和推論5.3.2的逆 命題不成立.(見例5.3.1),定理5.3.3 每一個Lindelff的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理.,繼續(xù),定理5.3.4 Lindelff空間的每一個閉子空間都是Lindelff空間,繼續(xù),繼續(xù),