1、3、兩個平面互相垂直,兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。,兩個平面互相垂直通過畫成：直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直。平面與垂直，記作：。,兩個平面互相垂直的畫法及其表示:,4、兩個平面垂直的判定,兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直,注：這個定理簡稱“線面垂直，則面面垂直”,下面我們來證明這個定理,求證：,分析：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BECD，使A

2、BE為二面角-CD-的平面角,求證：,證明：設(shè)a=CD，則BCD,ABCD,在平面內(nèi)過點B作直線BECD，則ABE是二面角-CD-的平面角，又ABBE，即二面角-CD-是直二面角,C,D,A,B,特別注意：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)另外，這個定理說明要證明面面垂直，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明,課堂診斷:,1.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則.（）,2.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則.（）,3.如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,則.（）,4.若m，m/，則.（）,5.二面角指的

3、是（）A、從一條直線出發(fā)的兩個半平面所夾的角度。B、從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形。C、兩個平面相交時，兩個平面所夾的銳角。D、過棱上一點和棱垂直的二射線所成的角。,B,證明：設(shè)O所在平面為，由已知條件，有PA，BC在內(nèi)，所以，PABC，因為，點C是不同于A，B的任意一點，AB為O的直徑，所以，BCA90，即BCCA又因為PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，BC平面PAC，又因為BC在平面PBC內(nèi)，所以，平面PAC平面PBC。,例1：如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周一不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC。,探究：你還能發(fā)現(xiàn)哪些面互相垂直

4、？,直線與平面垂直的性質(zhì),20102011學(xué)年度高一數(shù)學(xué)必修2（人教A版）,濟寧育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)組朱繼哲,2、直線與平面垂直的判定,如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面,復(fù)習(xí),思考1:如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線與底面ABCD的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具有什么位置關(guān)系？,知識探究(一)直線與平面垂直的性質(zhì)定理,思考2:如果直線a，b都垂直于同一條直線l，那么直線a，b的位置關(guān)系如何？,知識探究(一)直線與平面垂直的性質(zhì)定理,思考3:一個平面的垂線有多少條？這些直線彼此之間具有什么位置關(guān)系？,思考4:如果直

5、線a，b都垂直于平面，由觀察可知a/b，從理論上如何證明這個結(jié)論？,知識探究(一)直線與平面垂直的性質(zhì)定理,證明：假定b與a不平行,設(shè)bO，b是經(jīng)過點O與直線a平行的直線，ab，a，b所以,經(jīng)過同一點O的兩條直線b，b都垂直于平面。顯然這是不可能的因此，ab,思考5：根據(jù)上述分析，得到一個什么結(jié)論？,垂直于同一個平面的兩條直線平行,思考6:上述定理通常叫做直線與平面垂直的性質(zhì)定理.用符號語言可表述為：.該定理有什么功能作用？,知識探究(一)直線與平面垂直的性質(zhì)定理,思考1:設(shè)a，b為直線，為平面，若a，b/a，則b與的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(二)直線與平面垂直的性質(zhì)探究,思考2:設(shè)a

6、，b為直線，為平面，若a，b/，則a與b的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(二)直線與平面垂直的性質(zhì)探究,思考3:設(shè)l為直線，為平面，若l，/，則l與的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(二)直線與平面垂直的性質(zhì)探究,思考4:設(shè)l為直線，、為平面，若l，l，則平面、的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(二)直線與平面垂直的性質(zhì)探究,例1如圖，已知于點A，于點B，求證：.,例題,例2如圖，已知求證：,a,b,例題,例3如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.求證：（1）MNCD；（2）若PDA45，求證：MN面PCD,例題,平面與平面垂直的性質(zhì),思考1:如果平面與平面

7、互相垂直，直線l在平面內(nèi)，那么直線l與平面的位置關(guān)系有哪幾種可能？,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考2:黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考3:如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，其交線為AD，直線A1A，D1D都在平面A1ADD1內(nèi)，且都與交線AD垂直，這兩條直線與平面ABCD垂直嗎？,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考4:一般地，,垂足為B，那么直線AB與平面的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考5:據(jù)上分

8、析可得什么定理？試用文字語言表述之.,定理若兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直交線的直線與另一個平面垂直.,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考6:上述定理通常叫做兩平面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合下圖，如何用符號語言描述這個定理？該定理在實際應(yīng)用中有何理論作用？,知識探究(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,思考1:若，過平面內(nèi)一點A作平面的垂線，垂足為B，那么點B在什么位置？說明你的理由.,知識探究(四)平面與平面垂直的性質(zhì)探究,思考2:上述分析表明：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過一個平面內(nèi)一點且垂直于另一個平面的直線，必在這個平面內(nèi).該性質(zhì)在實際應(yīng)用中有何理論作用？,知識探究(四)平面與平面垂直的性質(zhì)探究,思考3:對于三個平面、，如果，那么直線l與平面的位置關(guān)系如何？為什么？,知識探究(四)平面與平面垂直的性質(zhì)探究,思考4:上述結(jié)論如何用文字語言表述？該性質(zhì)在實際應(yīng)用中有何理論作用？,如果兩個相交平面都垂