1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗,數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析,統(tǒng)計的基本概念,參數(shù)估計,假設(shè)檢驗,數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析,一、統(tǒng)計量,2020/7/4,4,幾種分布的數(shù)學(xué)期望和方差:,正態(tài)分布N(u,2):E(x)=uD(x)=2泊松分布:E(x)=D(x)=均勻分布XU(a,b):E(x)=a+b/2D(x)=二項分布Xb(n,p):E(x)=npD(x)=np(1-p),二、分布函數(shù)的近似求法,2020/7/4,7,例:,下面給出了84個伊特斯坎人男子的頭顱的最大寬度(mm),現(xiàn)在來畫這些數(shù)據(jù)的”頻率直方圖”.141148132138154142150146155158150140147148144150149

2、145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145,2020/7/4,8,解:這些數(shù)據(jù)雜亂無章,按第一個步驟先要將它們進(jìn)行整理.這些數(shù)據(jù)的最小值,最大值分別為126,158,即所有數(shù)據(jù)落在區(qū)間126,158上,現(xiàn)取區(qū)間124.5,159.5,它能覆

3、蓋區(qū)間124.5,159.5等分為7個小區(qū)間,小區(qū)間的長度記為,=(159.5-124.5)/7=5.成為組距,小區(qū)間的端點稱為組限.數(shù)出落在每個小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)fi,算出頻率fi/n(n=84,i=1,2.,7)如下表,2020/7/4,9,2020/7/4,10,現(xiàn)在自左向右依次在各個小區(qū)間上以(fi/n)/為高的小矩形.顯然這種小矩形的面積就等于數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間的頻率fi/n.由于當(dāng)n很大時該頻率接近于概率因而一般來說每個小區(qū)間上的小矩形面積接近于概率密度曲線之下該小區(qū)間之上的曲邊梯形的面積于是一般來說直方圖的外輪廓曲線接近于總體X的概率密度曲線從本例的直方圖看(圖1),它有一個峰,

4、中間高,兩頭底,比較對稱.看起來樣本很像來自某一正態(tài)總體X.從直方圖上還可以估計X落在某一區(qū)間的概率,例如從圖上看到有51.2%的人最大頭顱寬度落在區(qū)間(134.5,144.5)之內(nèi),最大頭顱寬度小于129.5的僅占1.1%等等.圖1,三、幾個在統(tǒng)計中常用的概率分布,1,正態(tài)分布,密度函數(shù)：,分布函數(shù)：,其中,m,為均值，,為方差，,.,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：,N,（0，1）,密度函數(shù),分布函數(shù),返回,F（10，50）分布的密度函數(shù)曲線,參數(shù)估計,一、點估計的求法,(一）矩估計法,2020/7/4,17,樣本k階原點矩,總體k階原點矩,基本思想是用樣本矩代替總體矩.,樣本k階中心矩,總體k階中心矩,2

5、020/7/4,18,矩估計法的步驟,(1)計算總體X的r階原點矩E(Xr)，并記E(Xr)=gr(1,2,k)(r=1,2,k);,(2)用樣本r階原點矩替換總體r階原點矩，列出方程組：,2020/7/4,19,(3)解方程組，得r=hr(X1,X2,Xn)(r=1,2,k);,則以hr(X1,X2,Xn)作為r的估計量，并稱hr(X1,X2,Xn)為r的矩法估計量，而稱hr(x1,x2,xn)為r的矩法估計值。,2020/7/4,20,例1.設(shè)總體XN(,2)，其中,2是未知參數(shù)。試求,2的矩估計量。,解：因為總體X的分布中有兩個未知參數(shù),所以應(yīng)該考慮一,二階原點距.V1=E(X)=,V2

6、=E(X2)=D(X)+E(X)2=2+u2.,總體期望、方差的矩估計量分別是樣本均值和樣本二階中心矩。,2020/7/4,21,當(dāng)總體只含一個未知參數(shù)時，用方程,即可解出未知參數(shù)的估計量；,當(dāng)總體只含兩個未知參數(shù)時，用方程組,即可解出未知參數(shù)的估計量。,2020/7/4,22,練習(xí):,設(shè)總體Xb(n,p)，其中n已知。試求p的矩估計量。,2020/7/4,23,解：E(X)=np.,(二）極大似然估計法,2020/7/4,25,求極大似然估計量的步驟：,(1)根據(jù)f(x;)，寫出似然函數(shù),(2)對似然函數(shù)取對數(shù),(3)寫出方程,若方程有解，,求出L()的最大值點,2020/7/4,26,例4

7、設(shè)總體X的概率密度為,x1,x2,xn為樣本觀測值,求未知參數(shù)(0)的極大似然估計量.,解似然函數(shù)為,取對數(shù)得:,對求導(dǎo)得:,2020/7/4,27,二、估計量的評價標(biāo)準(zhǔn),任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量。到底采用哪個估計量好呢？確定估計量好壞必須在大量觀察的基礎(chǔ)上從統(tǒng)計的意義來評價。,2020/7/4,28,常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：,無偏性,有效性,一致性,2020/7/4,29,無偏性,是的無偏估計量。,2020/7/4,30,例1.設(shè)X1,X2來自有有限數(shù)學(xué)期望和方差2的總體。證明下列統(tǒng)計量都是的無偏估計量。,2020/7/4,31,解：,2020/7/4,32,有效性,有效。,2020/

8、7/4,33,例3.例2中1,2,3哪個估計量更有效？,解：,可見D(1)D(2)D(3)，所以1(X1,X2)比較有效。,2020/7/4,34,相合性,相合估計量。,三、區(qū)間估計的求法,2020/7/4,36,求置信區(qū)間的一般步驟,(2)給定置信度1-，定出常數(shù)a,b，使PaUb=1-；,(3)將aUb變形，使得；,2020/7/4,37,1均值的區(qū)間估計2已知時的置信區(qū)間2未知時的置信區(qū)間,2020/7/4,38,2已知時的置信區(qū)間,即得的置信度為的置信區(qū)間,2020/7/4,39,例1.從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件中隨機(jī)抽取16個，分別測得其長度為：2.142.102.1

9、32.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11估計該批零件的平均長度，并求的置信區(qū)間(=0.05).,解：的矩估計值為,的置信區(qū)間為(2.115,2.135).,2020/7/4,40,2未知時的置信區(qū)間,即得的置信區(qū)間,2020/7/4,41,例2.從一批服從正態(tài)分布N(,2)的零件中隨機(jī)抽取16個，分別測得其直徑為：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.0112.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.06估計該批零件的平均長度，并求的置信區(qū)間(=0.05).,解：,的置