1、證法1作四個(gè)全等的直角三角形，把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線上（設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c.）。過點(diǎn)c作ac的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn)p. d、e、f在一條直線上， 且rtgef rtebd， egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 abc + cbe = 90 rtabc rtebd， abc = ebd. ebd + cbe = 90 即 cbd= 90又 bde = 90，bcp = 90， bc

2、 = bd = a. bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形。同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則 證法2作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。斜邊長(zhǎng)為c. 再把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)q作qpbc，交ac于點(diǎn)p. 過點(diǎn)b作bmpq，垂足為m；再過點(diǎn) f作fnpq，垂足為n. bca = 90，qpbc， mpc = 90， bmpq， bmp = 90， bcpm是一個(gè)矩形，即mbc = 90。 qbm + mba = qba = 90， abc + mba = mbc =

3、 90， ，又 bmp = 90，bca = 90，bq = ba = c， rtbmq rtbca. 同理可證rtqnf rtaef.即 證法3作兩個(gè)全等的直角三角形，同證法2，再作一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以cf，ae為邊長(zhǎng)做正方形fcji和aeig，ef=df-de=b-a，ei=b，fi=a，g,i,j在同一直線上，cj=cf=a，cb=cd=c， cjb = cfd = 90，rtcjb rtcfd ， 同理，rtabg rtade，rtcjb rtcfd rtabg rtadeabg = bcj，bcj +cbj= 90，abg +cbj= 90，ab

4、c= 90，g,b,i,j在同一直線上， 。證法4作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) bf、cd. 過c作clde， 交ab于點(diǎn)m，交de于點(diǎn)l. af = ac，ab = ad， fab = gad， fab gad， fab的面積等于， gad的面積等于矩形adlm 的面積的一半， 矩形adlm的面積 =. 同理可證，矩形mleb的面積 =. 正方形adeb的面積 = 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積 即 證法5幾何原本中的證明 在歐幾里得的幾何原本一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)abc為一直角三角形，其中a為直

5、角。從a點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。其證明如下：設(shè)abc為一直角三角形，其直角為cab。其邊為bc、ab、和ca，依序繪成四方形cbde、bagf和

6、acih。畫出過點(diǎn)a之bd、ce的平行線。此線將分別與bc和de直角相交于k、l。分別連接cf、ad，形成兩個(gè)三角形bcf、bda。cab和bag都是直角，因此c、a 和 g 都是線性對(duì)應(yīng)的，同理可證b、a和h。cbd和fba皆為直角，所以abd等于fbc。因?yàn)?ab 和 bd 分別等于 fb 和 bc，所以abd 必須相等于fbc。因?yàn)?a 與 k 和 l是線性對(duì)應(yīng)的，所以四方形 bdlk 必須二倍面積于abd。因?yàn)閏、a和g有共同線性，所以正方形bagf必須二倍面積于fbc。因此四邊形 bdlk 必須有相同的面積 bagf = ab²；。同理可證，四邊形 ckle 必須有相同的面積

7、 acih = ac2；。把這兩個(gè)結(jié)果相加， ab2;+ ac2; = bdbk + klkc。由于bd=kl，bdbk + klkc = bd(bk + kc) = bdbc 由于cbde是個(gè)正方形，因此ab2;+ ac2;= bc2；。此證明是于歐幾里得幾何原本一書第1.47節(jié)所提出的證法6（歐幾里得（euclid）射影定理證法）如圖1，rtabc中，abc=90，bd是斜邊ac上的高 通過證明三角形相似則有射影定理如下：（bd）2;=addc，（ab）2;=adac ，（bc）2;=cdac。由公式+得：（ab）2;+（bc）2;=adac+cdac =（ad+cd）ac=（ac）2；，

8、 圖1即 （ab）2;+（bc）2;=（ac）2，這就是勾股定理的結(jié)論。 圖1證法6在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形abde是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化簡(jiǎn)后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研

9、究，因此有許多名稱。中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩?！币虼?，勾股定理在中國(guó)又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國(guó)家稱勾股定理為“平方定理”。在陳子后

10、一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理” 前任美國(guó)第二十屆總統(tǒng)伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。1 周髀算經(jīng)， 文物出版社，1980年3月， 據(jù)宋代嘉定六年本影印，1-5頁。2. 陳良佐：周髀算經(jīng)勾股定理的證明與出入相補(bǔ)原理的關(guān)系?？稘h學(xué)研究， 1989年第7卷第1期，255-281頁。3. 李國(guó)偉： 論周髀算經(jīng)“商高曰數(shù)之法出于圓方”章?？兜诙每茖W(xué)史研討會(huì)匯刊， 臺(tái)灣，1991年7月， 227-234頁。4. 李繼

11、閔：商高定理辨證。刊於自然科學(xué)史研究，1993年第12卷第1期，29-41頁。5. 曲安京： 商高、趙爽與劉徽關(guān)於勾股定理的證明?？稊?shù)學(xué)傳播20卷， 臺(tái)灣，1996年9月第3期， 20-27頁證法7達(dá)芬奇的證法三張紙片其實(shí)是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個(gè)“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達(dá)式卻不再相同，讓這兩個(gè)形式不同的表達(dá)式相等，就能得出一個(gè)新的關(guān)系式勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個(gè)共同點(diǎn)。觀察紙片一，因?yàn)橐C的是勾股定理，那么容易知道ebcf，又因?yàn)榧埰膬蛇吺菍?duì)稱的，所以能夠知道四邊形abof和cdeo都是正方形。然后需要知道的是角a和角d都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié)ad，因?yàn)閷?duì)稱的緣故，所以bad=fad=cda=eda=45，那么很明顯，圖三中角a和角d都是直角。證明：第一張中多邊形abcdef的面積s1=s正方形abof+s正方形cdeo+2sbco=of2+oe2+ofoe 第三張中多邊形abcdef的面積s2=s正方形bcef+2cde=ef2+cdde 因?yàn)閟1=s2所以of2+oe2+ofoe=ef2+cdde又因?yàn)閏d=cd=oe,de=af=of所以of2+oe2=ef2因?yàn)閑f=ef所以of2+oe2=ef2 勾股定理得證。證法8從這張圖可以得到一個(gè)矩