1、教案：CAD/CAM-2008第3章 曲線曲面的表示本章學(xué)習(xí)三次樣條曲線、Bezier曲線及B-樣條曲線等的數(shù)學(xué)表示及其性質(zhì)，討論如何生成、控制這些曲線。最后簡要討論曲面的表示。3.0 曲線曲面及其表示分類：規(guī)則曲線/曲面：可用解析方程表示的自由曲線/曲面：由給定的離散點通過擬合或插值得到的。表示：非參數(shù)方程表示 顯式 隱式參數(shù)方程表示3.1 樣條曲線3.1.1三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景工程中，如飛機(jī)、船舶工業(yè)在幾何外形的數(shù)學(xué)放樣時，經(jīng)常會遇到這樣的問題：在平面上給定一組離散的有序點列，要畫一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。設(shè)計員在進(jìn)行這項工作時，通常使用一根稱為“樣條”的富有彈性的木條或有機(jī)玻

2、璃條。在每一型值點處用“壓鐵”壓住，使樣條依次經(jīng)過這些型值點，然后沿著樣條面出一根光滑的曲線。如果把樣條看成彈性細(xì)粱，壓鐵看成是作用在梁上的集中載荷，那么用上述方法得到的曲線在力學(xué)上可以模擬為求彈性細(xì)梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。在“小撓度”的情況下，變形曲線的數(shù)學(xué)表示為分段三次多項式，它是二階連續(xù)的三次光滑曲線。3.1.2 三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義設(shè)在區(qū)間a,b上給定一個分割：a=x0x12）個控制點則可定義(n-2)段二次B-樣條曲線。由三個控制點P0、P1和P2確定的一段二次均勻B-樣條曲線定義如下： (0=u=1) （式3-7）一階導(dǎo)數(shù)端點性質(zhì) 四個控制點P0、P1、P2和P3可

3、定義二段二次B-樣條曲線。其中P0、P1、P2和P1、P2、P3各生成一段曲線 （式3-8）其中考察P(u)的連續(xù)性。（1）連續(xù)性，故（2）一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，故3.4.2三次均勻B-樣條曲線(Cubic uniform B-spline)由四個控制點P0、P1、P2和P3可確定一段三次均勻B-樣條曲線： （式3-9）關(guān)于u的各階導(dǎo)數(shù)端點性質(zhì)：3.2.3 B樣條函數(shù)一般表達(dá)式 （式3-10）其中基函數(shù)Bk,d(u) 是u的d-1次多項式，用Cox-deBoor recursion formulas定義如下： （式3-11）(k=0,1,n+d-1)基函數(shù)之和等于1，即 （式3-10）Bk,d(u

4、)是以u0、u1、u2、.、un+d為節(jié)點的分段函數(shù)，B-樣條函數(shù)也是分段函數(shù)。的基函數(shù)如下：由此可見，定義B-樣條函數(shù)的參數(shù)包括：(1) n+1個控制點P0 、P1、 P2Pn；(2) 曲線階次d-1；(3) 由(n+d+1)個u節(jié)點組成的節(jié)點矢量。B-樣條曲線按節(jié)點矢量中節(jié)點的分布情況不同，可劃分為均勻B-樣條曲線、準(zhǔn)均勻B-樣條曲線、一般非均勻B-樣條曲線等幾種類型。(1) 均勻B-樣條曲線(uniform B-spline curve)。節(jié)點矢量中節(jié)點為沿參數(shù)軸等間隔分布，即 ()。例如，四個控制點的二次均勻B-樣條（n=3，d=3）的節(jié)點矢量-2,-1,0,1,2,3,4，基函數(shù)B-

5、樣條函數(shù)定義于0,2：和式（3-8）相同。(2) 準(zhǔn)均勻B-樣條曲線(quasi-unform B-spline curve)。節(jié)點矢量中首尾節(jié)點重復(fù)d次，其余節(jié)點等間隔分布。即，例如，三個控制點的二次準(zhǔn)均勻B-樣條（n=2，d=3）的節(jié)點矢量取0,0,0,1,1,1，基函數(shù)在 0,1有定義所以，樣條曲線 （）這是一條二次Bezier曲線！事實上，Bezier曲線是特殊的B-樣條： d=n+1的準(zhǔn)均勻B-樣條就是n次Bezier曲線。準(zhǔn)均勻B-樣條的端點性質(zhì)類似于Bezier樣條，而無它的缺點，所以應(yīng)用十分廣泛。 (3) 一般非均勻B-樣條曲線(genernal uniform B-splin

6、e)。節(jié)點非遞減任意分布。3.2.4 B-樣條函數(shù)的特點(1) 多項式的次數(shù)可以獨立設(shè)定，和控制多邊形的頂點數(shù)無關(guān)。(2) 具有局部修改性。B-樣條是分段函數(shù)，每一段(d-1)次曲線由d個連續(xù)的控制點定義。也就是說，移動一個控制點，至多影響d段曲線。(3) 基函數(shù)依賴于節(jié)點矢量的選取。當(dāng)d和控制頂點決定后，節(jié)點矢量取法不同，曲線形狀也會不同，這樣就增加了靈活性。Bezier曲線是一種特殊的B-樣條。3.5 非均勻有理B-樣條曲線(NURBS)雖然B-樣條方法等自由型曲線有很多優(yōu)點，卻無法精確地表示除拋物線以外的其它二次曲線（二次曲線是指圓弧、橢圓弧、拋物線弧和雙曲線等圓錐曲線）。這就給幾何外型

7、的數(shù)學(xué)描述帶來不便。所以有必要引入一套包容性更大的曲線描述方法。分子和分母各為多項式的分式可以精確表示二次曲線。如 （） （式3-13）表示單位圓在第一象限的圓弧。這種用分式表示的樣條函數(shù)稱為有理樣條。一條(d-1)次的非均勻有理B-樣條曲線(NURBS，Non-Uniform Rational B-Spline)定義如下： （式3-14）其中（k=0,1,n）稱為權(quán)或權(quán)因子(weights)，分別與控制頂點Pk相聯(lián)系；Bk,d(u)是B-樣條的基函數(shù)。定義NURBS的參數(shù)包括：(1) n+1個控制點P0 、P1、 P2Pn；(2) 曲線階次d-1；(3) 由(n+d+1)個u節(jié)點組成的節(jié)點矢

8、量；(4) n+1個控制點的權(quán)w0 、w1、 w2wn例如，式（3-13）表示的圓弧可表示成用以下參數(shù)定義的NURBS：(1) 3個控制點P0 (1,0)、P1(1,1)、 P2(0,1)；(2) 曲線階次為2，即d=3；(3)節(jié)點矢量0,0,0,1,1,1；(4) 3個控制點的權(quán)1 、和1。當(dāng)w0 =w1=w2=wn=1時，由于，所以這說明：權(quán)為1時，NURBS是B-樣條。如果用齊次坐標(biāo)表示P(u)、Pk，并用wk作為Pk的第三項（對于2D曲線），即P(u) =(x (u) y (u)：(xh(u), yh(u), h(u)Pk =(x k yk)： (xwk , ywk, wk )那么式（

9、3-14）分別表達(dá)為令則這說明：齊次坐標(biāo)下的NURBS具有一般B-樣條的數(shù)學(xué)形式。3.6比較3.6.1 Hermite、Bezier、 B樣條曲線的比較 在要求過型值點擬合曲線時，三次參數(shù)樣條，待別是以累計弦長為參數(shù)的三次樣條應(yīng)用較廣，插值效果較好，計算可靠。 Bezier曲線直觀性好，動態(tài)改變形狀容易。 B樣條曲線更逼近于控制多邊形，局部修改形狀容易。3.6.2 NURBS優(yōu)點 對標(biāo)準(zhǔn)的解析形狀(如圓錐曲線、二次曲面、回轉(zhuǎn)面等)和自由曲線、曲面提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表示，無論是解析形狀還是自由格式的形狀均有統(tǒng)一的表示參數(shù)，便于工程數(shù)據(jù)庫的存取相應(yīng)用。 可通過控制點和權(quán)因子來靈活地改變形狀。 容易處

10、理節(jié)點的增刪、移動、曲線分割、幾何插值等的幾何操作。 具有透視投影變換和仿射變換的不變性。3D的NURBS的透視投影可以通過以下操作得到：第一步對曲線的控制點作透視投影變換，第二步根據(jù)變換后的控制點生成所要求的曲線。 非有理B樣條、有理及非有理Bezier曲線、曲面是NUBS的特例表示3.6.3 NURBS缺點： 比一般的曲線、曲面定義需要更多的存儲空間和處理時間。 權(quán)因子選擇不當(dāng)會造成形狀畸變。3.7樣條曲面3.7.1曲面的表示顯式隱式參數(shù)式矢量式例如，平面：隱式參數(shù)式矢量式雙三次曲面的參數(shù)方程一般描述為其中A是4*4系數(shù)矩陣。3.7.1 Coons曲面Coons 曲面是Hermite曲線的

11、拓展，是插值型曲面。方程其中表示邊界信息。設(shè)計Coons曲面時，需要用到切矢，而且還要用到扭矢，這不直觀，而且難于控制，因此Coons曲面的應(yīng)用受到限制。3.7.1 Bezier曲面Bezier曲面是Bezier曲線的3D拓展，屬于自由曲面。(m+1)*(n+1)個控制點Pij構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)定義曲面，方程為雙三次Bezier曲面簡記為P是由空間16個控制點組在的幾何矩陣，即空間控制網(wǎng)格。控制網(wǎng)格的四個角點與曲面的四個角點重合，其余控制點都不在曲面上。3.7.2 B-樣條曲面雙三次均勻B-樣條曲面：其中P是由空間16個控制點組在的幾何矩陣，即空間控制網(wǎng)格；習(xí)題：1. 已知一三次樣條曲線經(jīng)過以下4個點(1.0,2.0),、(2.5,2.5)、(4.0,4.5)和(