1、線性代數(shù),第一章 行列式,第二章 矩陣及其運(yùn)算,第三章 矩陣的初等變換及線性方程組,第四章 向量組的線性相關(guān)性,第五章 相似矩陣及二次型,一、二元線性方程組與二階行列式,用消元法解二元(一次)線性方程組:,第一章 行列式,(1) (2),(1)a22:,a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2)a12:,a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,兩式相減消去x2, 得,(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;,1.1 二階與三階行列式,方程組的解為,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.,由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表,定義,即,主對(duì)

2、角線,副對(duì)角線,對(duì)角線法則,二階行列式的計(jì)算,若記,對(duì)于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為,例1,解,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,(1)沙路法,三階行列式的計(jì)算,(2)對(duì)角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號(hào),說明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,若記,或,記,即,得,得,則三元線性方程組的解為:,例,解,按對(duì)角線法則，有,例3,解,方程左端,例4 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,同理可得,故方程組的解為:,二階和三階行

3、列式是由解二元和三元線性方 程組引入的.,三、小結(jié),思考題,思考題解答,解,設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為,由題意得,得一個(gè)關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又,得,故所求多項(xiàng)式為,1.2 全排列及其逆序數(shù),引例: 用1, 2, 3三個(gè)數(shù)字, 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,這是一個(gè)大家熟知的問題, 答案是: 3! = 6.,將此問題推廣: 把n個(gè)不同的元素按先后次序排成一列, 共有多少種不同的排法.,定義: 把 n 個(gè)不同的元素排成一列, 叫做這 n 個(gè)元素的全排列(或排列). n 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用 pn 表示, 稱為排列數(shù).,pn = n (n1) (n2) 2 1 = n!,一

4、、全排列,二、排列的逆序數(shù),定義: 在一個(gè)排列 i1 i2 is it in 中, 若數(shù) isit, 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.,例如: 排列32514 中,我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序. 以 n 個(gè)不同的自然數(shù)為例, 規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,3 2 5 1 4,定義: 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).,前面的數(shù)比后面的數(shù)大,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,故此排列的逆序數(shù)為: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.,例如: 排列32514 中,計(jì)算排列逆序數(shù)的方法,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列; 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,方法1: 分別計(jì)算出排在1,

5、2, , n 前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即先分別算出 1,2, , n 這 n 個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).,方法2: 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).,方法3: 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素后面比它小的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).,例1: 求排列32514的逆序數(shù).,解: 在排列32514中,3排在首位, 則3的逆序?yàn)?;,2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3, 故2的逆序?yàn)?;,3 2 5

6、1 4,沒有比5大的數(shù), 故其逆序?yàn)?;,個(gè), 故其逆序?yàn)?;,4的前面比4大的數(shù)有1個(gè), 故逆序?yàn)?.,5的前面,1的前面比1大的數(shù)有3,即,于是排列32514的逆序數(shù)為 t = 0+1+0+3+1 = 5.,解:,此排列為偶排列.,例2: 計(jì)算下列排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性.,(1) 217986354.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列217986354的逆序數(shù)為:,t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.,(2) n(n1)(n2) 21,解:,n (n1) (n2) 2 1,0,1,2,(n1),(n2),t = 0+

7、1+2+ +(n2)+(n1),于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為:,此排列當(dāng) n=4k, 4k+1 時(shí)為偶排列; 當(dāng) n=4k+2, 4k+3 時(shí)為奇排列.,(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.,(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k,解:,0,1,2,1,2,3,3,(k1),(k1),k,t = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k,于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為:,此排列當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)為偶排列, 當(dāng) k為奇數(shù)時(shí)為奇排列.,1. n個(gè)不同的

8、元素的所有排列種數(shù)為n!個(gè); 2. 排列具有奇偶性; 3. 計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法.,三、小結(jié),1.3 n 階行列式的定義,一、概念的引入,三階行列式,說明(1) 三階行列式共有6項(xiàng), 即3!項(xiàng).,說明(2) 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積.,說明(3) 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)(行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列).,例如 a13a21a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為,t (312)=1+1=2, 偶排列. a13a21a32 的前面取+號(hào).,例如 a11a23a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為,t (132)=0

9、+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取號(hào).,其中是對(duì)列下標(biāo)的所有排列求和(3!項(xiàng)), t 是列下標(biāo)排列 p1p2p3 的逆序數(shù).,二、n 階行列式的定義,定義: 設(shè)由 n2 個(gè)數(shù)排成一個(gè) n 行 n 列的數(shù)表,作出表中位于不同行不同列的 n 個(gè)數(shù)的乘積, 并冠以符號(hào)(1)t, 得到形如,其中 p1p2 pn 為自然數(shù)1, 2, , n 的一個(gè)排列, t為排列p1p2 pn的逆序數(shù).,的項(xiàng),所有這 n! 項(xiàng)的代數(shù)和,稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的) n 階行列式.,記作,簡記作 det(aij). 數(shù) aij 稱為行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素.,即,說明1. 行列式

10、是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的; 說明2. n 階行列式是 n! 項(xiàng)的代數(shù)和; 說明3. n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列 n 個(gè)元素的乘積,的符號(hào)為(1)t;,說明4. 一階行列式的符號(hào) | a | = a, 不要與絕對(duì)值符號(hào)相混淆, 一般不使用此符號(hào).,例1: 計(jì)算對(duì)角行列式,解: 分析.,展開式中項(xiàng)的一般形式是,從而這個(gè)項(xiàng)為零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.,所以只能 p1=4;,若p14, 則,即行列式中非零的項(xiàng)為:,(1) t (4321) a14 a23 a32 a41,即,例2: 計(jì)算上三角行列式,解:

11、 分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,所以非零的項(xiàng)只可能是: a11 a22 ann .,從最后一行開始討論非零項(xiàng). 顯然,pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1,即,顯然,= 1458,同理可得下三角行列式,對(duì)角行列式,例5: 設(shè),證明: d1=d2.,中b的指數(shù)正好是 a的行標(biāo)與列標(biāo)的差,證: 由行列式定義有,由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以,故,行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式. n 階行列式共有n!項(xiàng), 每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列的 n 個(gè)元素的乘積, 正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.,三、小結(jié),思考題,已知多項(xiàng)式,求 x3

12、 的系數(shù).,思考題解答,含 x3 的項(xiàng)有僅兩項(xiàng), 即,對(duì)應(yīng)于,= x3,+ (2x3),故 x3 的系數(shù)為(1).,(1)t(1234)a11a22a33a44,+ (1)t(1243)a11a22a34a43,一、對(duì)換的定義,1.4 對(duì) 換,定義: 在排列中, 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 其余元素不動(dòng), 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 叫做相鄰對(duì)換.,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al b a b1 bm,a1 a2 al a b1 bm b c1 cn,a1 a2 al b b1 bm a c1 cn,例如,二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系,定理1: 一個(gè)排列中

13、的任意兩個(gè)元素對(duì)換, 排列改變奇偶性.,即除 a, b 外, 其它元素的逆序數(shù)不改變.,證明: 先考慮相鄰對(duì)換的情形.,a1 a2 al a b b1 bm,a1 a2 al b a b1 bm,例如,因此, 相鄰對(duì)換排列改變奇偶性.,當(dāng) ab 時(shí), 對(duì)換后 a 的逆序數(shù)增加1, b 的逆序數(shù)不變;,當(dāng) ab 時(shí), 對(duì)換后 a 的逆序數(shù)不變, b 的逆序數(shù)增加1;,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,對(duì)一般對(duì)換的情形, 例如,經(jīng)過m次相鄰對(duì)換, 排列a1a2alab1bmbc1cn對(duì),換為a1a2alabb1bmc1cn,再經(jīng)過m+1次相鄰對(duì)換, 對(duì),換為a1a

14、2albb1bmac1cn,共經(jīng)過了2m+1次相鄰對(duì)換.,所以, 由相鄰對(duì)換的結(jié)果知: 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換, 排列改變奇偶性.,所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變 奇偶性.,對(duì)一般對(duì)換的情形, 例如,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,推論: 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).,證明: 由定理1知, 對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的,變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),論成立.,因此, 推,下面討論行列式的另一種定義形式. 對(duì)于行列式的任一項(xiàng),其中12ijn為自然排列, 其逆序數(shù)0, t 為列標(biāo)排列p1

15、p2pipjpn的逆序數(shù),對(duì)換元素,此時(shí), 行標(biāo)排列12jin的逆序?yàn)槠鏀?shù), 而列標(biāo)排列p1p2pjpipn的逆序也改變了一次奇偶性.,換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變, 即t(1jin)+t(p1pjpipn)與t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性.,因此, 對(duì),故,一般地, 經(jīng)過若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng)乘積元素的位置后得到的符號(hào)仍為(1)t.,因此, 總可以經(jīng)過,若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng), 得,其中 s 為行下標(biāo)排列 q1q2 qn 的逆序數(shù).,定理2: n 階行列式也可定義為,其中s為行標(biāo)排列q1q2qn的逆序數(shù), 并按行標(biāo)排列求和.,定理3: n 階行列式也可定義為,其

16、中 t 為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.,因此, 我們可以得到行列式的另一種定義形式:,根據(jù)以上討論, 還可以如下定義,例1: 試判斷 a14a23a31a42a56a65 和a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項(xiàng).,解: a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列, 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:,t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù)),所以 a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項(xiàng).,將a32a43a14a51a25a66的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為: t (4

17、52316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶數(shù)) 所以 a32a43a14a51a25a66 不是六階行列式中的項(xiàng).,解: 將a23a31a42a56a14a65的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為: t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶數(shù)) 所以 a23a31a42a56a14a65 的前邊應(yīng)帶正號(hào).,例2: 在六階行列式中, 下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào). (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .,項(xiàng)a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之和為 t (341562)+t (

18、234165),=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶數(shù)) 所以 a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號(hào).,例3: 用行列式的定義計(jì)算,解: 由于行列式dn每行每列中僅有一個(gè)非零元素, 所以 dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an n,dn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!,即,而,t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2,所以,三、小結(jié),1. 對(duì)換排列中的任意兩個(gè)元素, 排列改變奇偶性. 2. 行列式的三種定義方法:,其中 r 為

19、行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.,思考題,證明在全部 n 階排列中(n2), 奇偶排列各占一半.,思考題解答,證: 設(shè)在全部 n階排列中有s個(gè)奇排列, t 個(gè)偶排列,則 s + t = n！現(xiàn)來證 s = t .,若將所有 s個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這 s 個(gè)奇排列全變成偶排列,故必有s = t =,若將所有 t 個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這 t 個(gè)偶排列全變成奇排列,如此產(chǎn)生的 s 個(gè)偶排列不會(huì)超,過所有的 s 個(gè)奇排列, 所以 t s .,過所有的 t 個(gè)偶排列, 所以 s t .,如此產(chǎn)生的 t 個(gè)奇排列不會(huì)超,1.

20、5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式dt稱為行列式d的轉(zhuǎn)置行列式.,記,將d的行列互換就得到,證明: 記行列式 d=det(aij) 的轉(zhuǎn)置行列式為:,性質(zhì)1: 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即dt = d.,按定義,即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),又由行列式的另一種表示得,所以, dt = d, 結(jié)論成立,說明: 性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的結(jié)論, 對(duì)列也同樣成立.,性質(zhì)2: 互換行列式的兩行(列), 行列式變號(hào).,證明: 設(shè)行列式,是由行列式,互換 i, j (i j)兩列得到.,即, 當(dāng) k i, j 時(shí), bpk=

21、apk; 當(dāng) k = i, j 時(shí), bpi= apj, bpj= api;,于是,其中 t 為排列 p1 pi pj pn的逆序數(shù), 設(shè) s 為排列p1 pj pi pn的逆序數(shù).,顯然 t 與 s 的奇偶性不同, 即(1)t = (1)s, 所以,例如,推論: 如果行列式有兩行(列)完全相同, 則此行列式為零.,證明: 互換相同的兩行, 則有d = d,所以d = 0.,性質(zhì)3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù)k乘此行列式.,即,推論: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.,性質(zhì)4: 行列式中如果有兩行(列)元素成比例, 則此行列式為

22、零,證明:,性質(zhì)5: 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和, 例如,則d等于下列兩個(gè)行列式之和:,證明:,故結(jié)論成立.,性質(zhì)6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式不變.,例如,引入記號(hào): 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在計(jì)算行列式時(shí), 我們經(jīng)常利用性質(zhì)2,3,6對(duì)行列式進(jìn)行變換. 利用性質(zhì)2交換行列式的第 i, j 兩行(列), 記作 ri rj ( ci cj );,利用性質(zhì)6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一數(shù) k 然后加到第 i 行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去, 記作 ri + rj k ( ci + cj k

23、 );,利用性質(zhì)3行列式的第 i 行(列)乘以數(shù)k, 記作 ri k ( ci k );,二、行列式計(jì)算,計(jì)算行列式常用方法: 利用性質(zhì)2,3,6, 特別是性質(zhì)6把行列式化為上(下)三角形行列式, 從而, 得到行列式的值,結(jié)論：上（下）三角行列式、主對(duì)角線行列式的值 等于其主對(duì)角元的乘積.,例1: 計(jì)算5階行列式,解:,例2 計(jì)算,解：,解: 將第2, 3, , n 列都加到第一列得:,例3: 計(jì)算 n 階行列式,第2, 3, , n 行都減去第一行得:,例4: 設(shè),證明: d = d1d2.,證明: 對(duì)d1作行運(yùn)算 ri + t rj , 把d1化為下三角形行列式:,對(duì)d2作列運(yùn)算 ci+k

24、cj , 把d2化為下三角形行列式:,先對(duì)d的前k行作行運(yùn)算 ri+trj , 然后對(duì)d的后n列作列運(yùn)算 ci+kcj , 把d化為下三角形行列式:,故, d = p11 pkk q11 qnn,= d1d2.,例5 計(jì)算2n階行列式,其中未寫出的元素為0.,解：,將d2n中的第2n行依次與前面的行對(duì)換，,換至,第二行；,再將d2n中的第2n列依次與前面的列對(duì)換，,換至第二列，共做2(2n-2)次對(duì)換，得,若,則稱d為對(duì)稱行列式；,若,則稱d為反對(duì)稱行列式；,證明：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為0.,反對(duì)稱行列式的主對(duì)角元全為0,證明：設(shè) n 階反對(duì)稱行列式為：,由行列式的性質(zhì)1可知：,每行提?。?

25、）,n為奇數(shù),所以d0.,行列式的6個(gè)性質(zhì). 行列式中行與列具有同等的地位, 行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. 計(jì)算行列式常用方法: (1) 利用定義; (2) 利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式, 從而算得行列式的值.,三、小結(jié),思考題,其中已知 abcd=1.,計(jì)算行列式,思考題解答,1.6 行列式按行(列)展開,一、余子式與代數(shù)余子式,引例, 考察三階行列式,在 n 階行列式d中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素劃去后, 留下來的 n1 階行列式叫做(行列式d的關(guān)于)元素aij 的余子式, 記作 mij . 即,記 aij = (1)i+j mij, 稱

26、 aij 為元素 aij 的代數(shù)余子式.,例如,行列式的每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)余子式和唯一的一個(gè)代數(shù)余子式.,引理: 如果一個(gè) n 階行列式d的第 i 行元素除 aij 外都為零, 那么, 行列式 d 等于 aij 與它的代數(shù)余子式 aij的乘積, 即 d = aij aij .,= aij aij .,證: 當(dāng) aij 位于第一行第一列時(shí),又由于 a11=(1)1+1m11=m11,由上節(jié)例4, 即教材中的例10得: d = a11m11 .,從而 d = a11a11, 即結(jié)論成立.,再證一般情形,此時(shí),把d的第 i 行依次與第 i 1行,第 i 2行, , 第1行交換, 得,再

27、 把d的第 j 列依次與第 j 1列, 第 j 2列, , 第1列交換, 得,=(1)i+j aij m11,顯然, m11恰好是aij在d中的余子式mij, 即m11=mij,因此, d = (1)i+j aij mij = aij aij, 故引理結(jié)論成立.,定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即 d = ai1ai1 + ai2ai2 + + ainain ( i =1, 2, , n); d = a1ia1i + a2ia2i + + aniani ( i =1, 2, , n).,二、行列式按行(列)展開法則,證:,d = ai1ai1 + a

28、i2ai2 + + ainain ( i =1, 2, , n).,由引理得:,引理的結(jié)論常用如下表達(dá)式:,( i =1, 2, , n),推論: 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即 ai1aj1 + ai2aj2 + + ainajn = 0, i j ; a1ia1j + a2ia2j + + anianj = 0, i j .,證: 把行列式d = det(aij) 按第 j 行展開, 得,把 ajk 換成 aik (k=1, 2, , n ), 當(dāng) i j 時(shí), 可得,第 j 行,第 i 行,同理 a1ia1j + a2ia2j + + a

29、nianj = 0, i j,所以, ai1aj1 + ai2aj2 + + ainajn = 0, i j,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),其中,說明：由證明過程可知,例1: 計(jì)算行列式,解:,解: 按第一行展開, 得,例1: 計(jì)算行列式,如果按第二行展開, 得,例2: 計(jì)算行列式,解: d,例3: 證明范德蒙德(vandermonde)行列式,說明：（1）范德蒙德(vandermonde)行列式的特點(diǎn)是：,每列（行）元素都是分別是同一個(gè)數(shù)的不同,方冪，方冪的次數(shù)從上到下（自左至右）按,遞升次序排列, 從0到 n1次.,（2）范德蒙德(vandermonde)行列式的結(jié)果是,滿足條件,的所有因子,

30、的連乘積，共有,個(gè)因子.,證: 用數(shù)學(xué)歸納法,所以, 當(dāng) n=2 時(shí), (1)式成立.,假設(shè)對(duì) n-1 階范德蒙德行列式, (1)式成立.,對(duì) n 階范德蒙德行列式, 作如下變換, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得,按第一列展開, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就,有:,n1階范德蒙德行列式,則根據(jù)歸納假設(shè)得證:,例4: 計(jì)算,解: dn中各行元素分別是同一個(gè)數(shù)的不同方冪, 方冪的次數(shù)自左至右按遞升次序排列, 但不是從0到 n1, 而是從1遞升至 n. 若提出各行的公因子, 則方冪的次數(shù)便是從0升到 n1, 于是得:,上面等式右端行列式為 n 階

31、范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置, 由范德蒙行列式知,評(píng)注: 本題所給行列式各行(列)都是某元素的不同方冪, 而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同, 需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子, 調(diào)換各行(列)的次序等)將此行列式化成范德蒙行列式.,例5: 計(jì)算,解：考慮行列式,一方面，,這是一個(gè)關(guān)于 y 的 n 次多項(xiàng)式，其中,的系數(shù)是,另一方面，將,按最后一列展開：,其中,是,的系數(shù).,比較可得：,這種方法稱為：加邊法（升階法）.,例6. 計(jì)算行列式,解：,例4. 已知,求,解：,1. 行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.,三、小結(jié),2.,思考題,求第一行各元素的代

32、數(shù)余子式之和: a11+a12+ +a1n .,設(shè) n 階行列式,思考題解答,解: 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,a11+a12+ +a1n,1.7 克拉默(cramer)法則,設(shè)線性方程組,若常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn不全為零, 則稱此方程組為非齊次線性方程組; 若常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn全為零, 則稱此方程組為齊次線性方程組;,(1),齊次線性方程組,易知，,一定是(2)的解， 稱為零解。,若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。,定理1: (克拉默(cramer)法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零, 即,那么, 線性方程組(1)有解, 且解是唯一的,

33、 解可以表為,其中dj 是把系數(shù)行列式d中第 j 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 n 階行列式, 即,證明: 用系數(shù)行列式d的第 j 列元素的代數(shù)余子式a1j, a2j, anj依次乘方程組(1)的n個(gè)方程, 得,再把 n 個(gè)方程相加, 得,d,由行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, 上式中xj 的系數(shù)等于d, 而 xi (i j) 的系數(shù)均等于0, 等式右端為dj .,于是,因此, 當(dāng) d0 時(shí), 方程組(2)有唯一解:,dxj=dj ( j=1, 2, , n),(2),由于方程組(2)與方程組(1)等價(jià),故,也是方程組(1)的唯一解.,定理2: 如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一

34、, 則它的系數(shù)行列式必為零.,定理3: 如果齊次線性方程組(3),的系數(shù)行列式 d0, 則齊次線性方程組(3)沒有非零解.,(3),定理4: 如果齊次線性方程組(3)有非零解, 則它的系數(shù)行列式 d 必為零.,在后面我們將證明: 齊次線性方程組(3)有非零解的充分必要條件為(3)的系數(shù)行列式 d 必為零.,例1: 用克拉默法則解方程組,解:,所以,解:,例2: 用克拉默法則解方程組,所以,例2: 問 取何值時(shí), 齊次方程組,有非零解?,由于齊次方程組有非零解的充分必要條件為d=0,解:,則 =0, =2或=3時(shí), 齊次方程組有非零解.,解：,假設(shè)這3點(diǎn)位于直線,上，其中,a, b, c 不同時(shí)

35、為 0, 即有,3點(diǎn)共線等價(jià)于上述關(guān)于a, b, c 的齊次線性方程組有非零,解，其充要條件是,例4. 證明 n 次多項(xiàng)式至多有 n 個(gè)互異的根.,證明：用反證法,假設(shè) n 次多項(xiàng)式,有 n 個(gè)互異的根：,即有,上述關(guān)于,的齊次線性方程組的系數(shù),行列式為：,因?yàn)?互不相等，,所以,從而齊次方程組只有零解，,這與,矛盾，,故結(jié)論成立！,用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件: (1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù); (2)系數(shù)行列式不等于零.,2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系. 它主要適用于理論推導(dǎo), 并不適用于實(shí)際計(jì)算.,小結(jié),思考題,當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí), 能否用

36、克拉默法則解方程組? 此時(shí)方程組的解為何?,思考題解答,不能. 此時(shí)方程組可能為無解, 或有無窮多解.,2.1 矩 陣,一、矩陣概念的引入,1. 線性方程組,的解取決于系數(shù)aij和常數(shù)項(xiàng)bj ( i =1, 2, , n, j =1, 2, , m ).,對(duì)線性方程組的 研究可轉(zhuǎn)化為對(duì) 這張數(shù)表的研究.,線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為,2. 某航空公司在a, b, c, d四城市之間開辟了若干航線, 如圖所示表示了四城市間的航班圖, 如果從a到b有航班, 則用帶箭頭的線連接a與b.,四城市間的航班圖情況常用表格來表示:,這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.,二、矩陣的定義,定義: 由m

37、n個(gè)數(shù) aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的 m 行 n 列的數(shù)表:,稱為m行n列的矩陣. 簡稱 mn 矩陣. 記作,簡記為: a = amn = ( aij )mn = ( aij ). 這mn個(gè)數(shù)aij稱為矩陣a的(第 i 行第 j 列)元素.,矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別, 行列式是一個(gè)算式, 其行數(shù)和列數(shù)相同，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算 可求得其值, 而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表, 它的行數(shù)和 列數(shù)可以不同.,元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣, 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.,例如:,是一個(gè)24實(shí)矩陣;,是一個(gè)33復(fù)矩陣;,是一個(gè)14(實(shí))矩陣;,是一個(gè)31(實(shí))矩陣;,

38、是一個(gè)11(實(shí))矩陣.,幾種特殊矩陣,(1) 行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣a, 稱為n階方陣. 也可記作an,對(duì)于方陣，可以計(jì)算其行列式，但要注意：,方陣和方陣的行列式是不同的含義.,記作,稱為對(duì)角 矩陣(或?qū)顷嚕?,(3) 如果en= diag(1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 則稱en為(n階)單位矩陣, 或簡稱單位陣. 簡記為e.,(4) 只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量).,(5) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣, mn 階零矩陣記作omn或o.,ao,|a| = 0,|a| = 0,ao,若 |a| = 0, 稱 a 為奇異矩陣；,對(duì)于 n 階

39、方陣a,(6) 設(shè)a = ( aij )為 n 階方陣, 對(duì)任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 則稱a為對(duì)稱矩陣; 如果aij = aji 都成立, 則稱a為反對(duì)稱矩陣;,例如:,a為對(duì)稱矩陣, b為反對(duì)稱矩陣.,例1: 設(shè),解: 由于矩陣a =b, 則由矩陣相等的定義,已知a =b, 求x, y, z.,x=2, y=3, z=2.,得:,2. 兩個(gè)矩陣a = ( aij )與b = ( bij )為同型矩陣, 并且對(duì)應(yīng)元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 則稱矩陣a與b相等, 記作a=b.,同型矩陣與矩陣相等的概念,

40、1. 兩個(gè)行列數(shù)對(duì)應(yīng)相等的矩陣稱為同型矩陣.,三、矩陣的應(yīng)用,線性變換.,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,若線性變換為,稱之為恒等變換.,單位陣.,線性變換,這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心 旋轉(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換.,(1) 矩陣的概念: m行n列的數(shù)表,三、小結(jié),(2) 特殊矩陣,方陣,行矩陣與列矩陣;,單位矩陣;,對(duì)角矩陣;,零矩陣.,一、矩陣的加法,定義: 設(shè)兩個(gè)同型的 mn 矩陣a = ( aij )與b = ( bij ), 那末矩陣a與b的和定義為(aij+bij), 記作a+b, 即,對(duì)應(yīng)元素相加,2.2 矩陣的運(yùn)算,例如:,說明: 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), 才能進(jìn)行加法運(yùn)

41、算.,矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律,交換律: a+b = b+a. (2) 結(jié)合律: (a+b)+c = a+(b+c).,(4),稱為矩陣a的負(fù)矩陣.,(5) a+(a) = o, ab = a+(b).,(3) a+o=a,二、數(shù)與矩陣相乘,定義: 數(shù)與矩陣a=(aij)的乘積定義為(aij), 記作 a 或a, 簡稱為數(shù)乘. 即,注意： 與 不同！,設(shè)a, b為同型的mn 矩陣, , 為數(shù): 1 a=a. (2) ()a = (a). (3) (+)a = a+a. (4) (a+b) = a+b.,矩陣的數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律,矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算, 統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.,三、矩陣與矩陣相乘,引例：設(shè)

42、有兩個(gè)線性變換,將（2）代入（1）：,這個(gè)線性變換稱為線性變換（1）和（2）的乘積.,線性變換（1）對(duì)應(yīng)的矩陣為：,線性變換（2）對(duì)應(yīng)的矩陣為：,（1）和（2）的乘積對(duì)應(yīng)的矩陣為,由此引出矩陣乘法的定義：,定義: 設(shè)a = ( aij )是一個(gè) ms 矩陣, b = ( bij )是一個(gè) sn 矩陣, 定義矩陣a與矩陣b的乘積 c = ( cij )是一個(gè) mn 矩陣, 其中,( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘積記作c=ab.,是 a 中的第 i 行元素與 b 中第 j 列的對(duì)應(yīng)元素 相乘再相加.,例1:,例2:,當(dāng)運(yùn)算可行或作為運(yùn)算結(jié)果時(shí)，一階矩陣可以與數(shù) 等同看待！,

43、例3: 求ab, 其中,注意: 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣 的行數(shù)時(shí), 兩個(gè)矩陣才能相乘.,利用矩陣的乘法：若記,則線性變換可記作,對(duì)于線性方程組,則方程組可以表示為：,線性方程組的矩陣表示形式,若記,則上述方程組可以表示為,線性方程組的向量表示形式,矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,結(jié)合律: (ab)c = a(bc); 分配律: a(b+c) = ab+ac, (b+c)a =ba+ca; (3) (ab) = (a)b = a(b), 其中為數(shù);,當(dāng) ab 有意義時(shí)，ba 可能無意義！,例如:,不存在.,有意義，但是,注意: （1）矩陣乘法一般不滿足交換律, 即: ab ba，,因此要注意矩

44、陣相乘的次序.,一般，ab稱為a左乘b，或者b右乘a.,ab 和 ba都有意義時(shí)，它們可能不是同型矩陣.,例如：,是一階方陣，但是,是三階方陣.,即使 ab 和 ba都有意義，也是同型矩陣，它們,也可能不相等.,例如: 設(shè),ab ba.,當(dāng) ab ba 時(shí)，稱 a 與 b 不可交換；,當(dāng) ab=ba 時(shí)，稱 a 與 b 可交換，,(2) 矩陣的乘法一般不滿足消去律，即,或,從上述例子還可以看到：,此時(shí) a 與 b 必為同階方陣。,若,但ab=o,則稱 b 是 a 的右零因子， a 是 b 的左零因子.,特殊矩陣與矩陣相乘的有關(guān)結(jié)論：,單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù) 1 在數(shù)的,乘法中的作用

45、.,若 a 為方陣，則有,左乘 a 等于用,乘以a中第 i 行的元素.,右乘 a 等于用,乘以a中第 i 列的元素.,若,則,例4: 計(jì)算下列矩陣乘積:,解:,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,當(dāng)矩陣為對(duì)稱矩陣時(shí), 結(jié)果為,n 階方陣,若當(dāng) i j 時(shí)，,則稱 a 為上三角矩陣.,若當(dāng) ij 時(shí)，,則稱 a 為下三角矩陣.,結(jié)論：兩個(gè)上（下）三角矩陣的積仍然是上（下） 三角矩陣.,證明：設(shè)

46、 a,b 是兩個(gè)上三角矩陣，且c=ab,當(dāng) ij 時(shí),即 c為上三角矩陣.,方陣的冪和方陣的多項(xiàng)式,定義,設(shè) a 是 n 階方陣，k 個(gè) a 的連乘積稱為 a 的,k 次冪，記作,即,當(dāng) m，k 為正整數(shù)時(shí)，有,只有方陣能定義冪,當(dāng)ab不可交換時(shí)，一般,當(dāng)ab可交換時(shí)，,定義 設(shè),是 x 的 k 次多項(xiàng)式，a 是 n 階方陣，則稱,為方陣 a 的 n 次多項(xiàng)式.,若 f(x)，g(x) 為多項(xiàng)式，a、b為 n 階方陣，則,f(a) g(a) = g(a) f(a),當(dāng) ab 不可交換時(shí)，一般,特別當(dāng)矩陣為對(duì)角陣=diag(1, 2, n ) 時(shí),則,f()=a0e + a1 +akk,方陣a的

47、多項(xiàng)式可以類似一般多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.,例如,(e + a)(2 e a) = 2 e + a a2, (e a)3 = e 3a + 3a2 a3.,因?yàn)閱挝痪仃?e 與任意同階方陣可交換，所以有,解:,例4:,由此歸納出,用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)k=2時(shí), 顯然成立.,假設(shè), 當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立, 對(duì) k=n+1時(shí),所以對(duì)于任意的 k 都有:,也可利用二項(xiàng)式 定理展開計(jì)算.,記,于是,注意到：,即當(dāng),時(shí)，,所以,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,定義: 把矩陣a 的行列互換, 所得到的新矩陣, 叫做矩陣a 的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作at.,例如:,(1) (at)t = a; (2) (a+b)t = at +

48、 bt; (3) (a)t = at; (4) (ab)t = btat;,轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì),一般地,證明（4）,設(shè),首先容易看到,與,為同型矩陣.,因?yàn)?所以,的第 i 行第 j 列,的元素為,又因?yàn)?中第 i 行的元素為 b 中第 i 列的元素,中第 j 列的元素為 a 中第 j 行的元素,于是,的第 i 行第 j 列元素為,故,解法1: 因?yàn)?所以,解法2:,(ab)t=btat,例6：設(shè),（1）,的第 i 行第 j 列的元素為,（2）,的第 i 行第 j 列的元素為,（3）,的第 i 行第 j 列的元素為,設(shè)a = ( aij )為 n 階方陣, 對(duì)任意 i, j, 如果aij =

49、aji 都成立, 則稱a為對(duì)稱矩陣; 如果aij = aji 都成立, 則稱 a為反對(duì)稱矩陣;,顯然，若 a 是反對(duì)稱矩陣，那么對(duì)任意 i，有,由矩陣轉(zhuǎn)置和對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的定義可得:,方陣a 為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是: a=at. 方陣a 為反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是: a=at.,證明: 因?yàn)?例7: 設(shè)列矩陣x = (x1 x2 xn)t, 滿足xtx = 1, e為n 階單位矩陣, h = e 2xxt, 證明: h為對(duì)稱矩陣, 且hht = e.,ht = (e 2xxt)t = et 2(xxt)t = e 2xxt = h.,所以, h為對(duì)稱矩陣.,= e2 e(2xxt)

50、 (2xxt)e + (2xxt)(2xxt) = e 4xxt + 4(xxt)(xxt) = e 4xxt + 4x(xtx)xt = e 4xxt + 4xxt = e,hht = h2 = (e 2xxt)2,例8: 證明任一n 階方陣a 都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和.,證明: 設(shè) c = a + at,所以, c為對(duì)稱矩陣.,從而, 命題得證.,則 ct = ( a + at)t = at + a = c,設(shè) b = a at,則 bt = ( a at)t = at a = b,所以, b為反對(duì)稱矩陣.,五、方陣的行列式,定義: 由n 階方陣a 的元素所構(gòu)成的行列式叫做 方陣a

51、的行列式, 記作 | a | 或 deta .,例如:,則,方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì),| at | = | a |; | ka | = kn| a |; (3) | ab | = | a | | b | = | b | | a | = | ba |.,定理：設(shè)a、b是兩個(gè) n 階方陣，則,思路：利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)6及矩陣乘法的定義.,對(duì)于同階方陣a和b，一般ab ba ，但是|ab|=|ba|,繼續(xù)做,重要例子,例9.,設(shè),矩陣a的伴隨矩陣 注意其元素的下標(biāo),證：設(shè),其中,于是,兩邊取行列式得:,因?yàn)?所以,類似可證：,六、共軛矩陣,定義: 當(dāng) a = (aij) 為復(fù)矩陣時(shí), 用

52、 表示aij 的共軛復(fù)數(shù), 記 , 稱 為a 的共軛矩陣.,運(yùn)算性質(zhì),設(shè)a, b為復(fù)矩陣, 為復(fù)數(shù), 且運(yùn)算都是可行的, 則:,矩陣運(yùn)算,加法,數(shù)與矩陣相乘,矩陣與矩陣相乘,轉(zhuǎn)置矩陣,對(duì)稱陣與伴隨矩陣,方陣的行列式,共軛矩陣,五、小結(jié),(1) 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), 才能進(jìn)行加法運(yùn)算. (2) 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí), 兩矩陣才能相乘, 且矩陣相乘不滿足交換律. (3) 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的性質(zhì)3不同.,注意,思考題,思考題解答,設(shè)a與b為 n 階方陣, 等式a2b2 = (a+b)(ab)成立的充要條件是什么?,答: 因?yàn)?(a + b) (a b) = a2

53、 + ba ab b2,故等式a2 b2 = (a + b)(a b)成立的充要條件是:,ab = ba.,在數(shù)的運(yùn)算中, 當(dāng)數(shù) a 0 時(shí), 有 aa-1 = a-1a = 1.,在矩陣的運(yùn)算中, 單位陣 e 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的1, 那么, 對(duì)于矩陣a, 如果存在一個(gè)矩陣a-1, 使得,aa-1 = a-1a = e,則矩陣a稱為可逆矩陣, 稱a-1為a逆陣.,一、逆矩陣的概念和性質(zhì),2.3 逆 矩 陣,或者從線性變換的觀點(diǎn)來看：,給定線性變換,若記其 系數(shù)矩陣,則線性變換可記為：,若,記,則上式可以寫作：,這是一個(gè)從 y 到 x 的線性變換，,它是線性變換,的逆變換.,為恒等變換,則

54、有：,定義: 對(duì)于n 階方陣a, 如果存在一個(gè)n 階方陣b, 使得 ab = ba = e 則稱矩陣a是可逆的, 并稱矩陣b為a的逆矩陣. a的逆 矩陣記作a-1, 即,（1）a與,為同階方陣；,（2）若 b 是 a 的逆矩陣，那么 a 也是 b 的逆矩陣;,(3),例如: 設(shè),由于 ab = ba =e,所以 b 為 a 的逆矩陣.,說明: 若a是可逆矩陣, 則a的逆矩陣是唯一的.,事實(shí)上: 若設(shè)b和c是a的逆矩陣, 則有,所以, a的逆矩陣是唯一的, 即,ab = ba = e, ac = ca = e,可得:,b = eb = (ca)b = c(ab) = ce =c.,b = c =

55、 a-1.,解: 利用待定系數(shù)法.,即,則,又因?yàn)?則,解得,所以,即,ab = ba = e,如上求逆矩陣的方法對(duì)于方陣的階較高時(shí)顯然是不可行的, 必須尋求可行而有效的方法.,證明: 若a可逆, 則有a-1, 使得aa-1 = e.,定理1: 矩陣a可逆的充要條件是| a | 0, 且,其中a*為矩陣a的伴隨矩陣.,故 | a | a-1 | = | e | = 1,所以, | a | 0.,由伴隨矩陣的性質(zhì): aa*= a*a = | a | e, 知,當(dāng)| a | 0時(shí),按逆矩陣的定義得,說明：,（1）該定理揭示了矩陣可逆的充要條件，,并給出了逆矩陣的一種求法公式法.,(2) 上（下）三

56、角矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng),主對(duì)角元全不為0，且當(dāng),時(shí),這里逆矩陣由定義得到！,若,當(dāng) 12n 0時(shí)，a 可逆，且,例2、當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，矩陣 a 不可逆，其中,解：,由矩陣可逆的充要條件可知：,當(dāng)a=1或b=2時(shí)，a不可逆.,當(dāng)| a | = 0 時(shí), 稱a為奇異矩陣, 否則稱a為非奇異矩陣.,由此可得, a是可逆矩陣的充分必要條件是a為非奇異矩陣.,若a可逆，那么由,ab = o,b = o,由ab = ac,b = c,證明: 由 ab = e 得, | a | | b | = | e | = 1,推論: 若 ab=e (或 ba=e), 則 b=a-1.,故| a | 0.,因而, a-1存在,于是,b = eb = (a-1a)b = a-1(ab) = a-1e = a-1.,故結(jié)論成立.,推論說明：若 abe，則一定有 bae.,當(dāng)| a | 0 時(shí), 定義,a0 = e, a-k = (a-1)k (k為正整數(shù)).,且此時(shí)對(duì)任意整數(shù), , 有,aa = a+, (a) = a.,逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì),(1) 若